第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路

第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
预习设计 基础备考
知识梳理
1．平面向量的数量积 若两个 向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作
规定：零向量与任一向量的数量积为
两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度∣a ∣与b 在a 方向上的投影 的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
=⋅=⋅e a a e )1(
(2)非零向量⇔⊥b a b a ,,
(3)当a 与b 同向时，=⋅b a
当a 与b 反向时，=⋅b a =⋅a a , =||a
=θcos )4(
||)5(b a ⋅
.|||b a
4．平面向量数量积满足的运算律
=⋅b a )1( （交换律）；
=⋅=⋅)())(2(b a b a λλ （A 为实数）；
=+c b a ).)(3(
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量),,(),,(
2211y x b y x a ==则=⋅b a 由此得到：
(1)若),,(y x a =则=2||a ，或=||a
(2)设),,(),,(
2211y x B y x A 则A ，B 两点间的距离=||AB =||
(3)设),,(),,(
2211y x b y x a ==则⇔⊥b a
典题热身
1．下列四个命题中真命题的个数为 ( )
①若,0=⋅b a 则;b a ⊥
②若,c b b a ⋅=⋅且,0=/b 则⋅=c a
);().(C b a c b a ⋅⋅=⋅③
.)(222b a b a ⋅=⋅④
4.A 2.B 0.c 3.D
答案：C
2．在△ABC 中，,10,2,3===BC AC AB 则=⋅. ( )
23.-
A 32.-
B 32.c 23.D 答案：D
3．已知平面向量b a b a +-=-=λ),2,4(),3,1(与a 垂直，则=λ( )
1.-A 1.B
2.-c 2.D
答案：A
4．已知),7,4(),3,2(-==b a 则a 在b 上的投影为( )
13.A 513.B 565.c 65.D
答案：C
5．已知,2)(,6||,1||=-⋅==a b a b a 则向量a 与b 的夹角是( )
6π⋅A 4π⋅B 3
π⋅c 2π⋅D 答案：C
课堂设计 方法备考
题型一 平面向量的数量积运算和向量的模
【例1】已知向量),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==且⋅-∈]4
,3[ππx (1)求b a ⋅及|;|b a +
(2)若|,|)(b a b a x f +-⋅=求)(x f 的最大值和最小值，
题型二 利用向量的数量积求其夹角
【例2】已知,2
1)()(,21,1||=+⋅-=⋅=b a b a b a a 求 (l)a 与b 的夹角；
(2)a-b 与a+b 的夹角的余弦值．
题型三 利用向量的数量积解决平行与垂直问题
【例3】设向量,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(βββαα===c b a ).sin 4β-
(1)若a 与b-2c 垂直，求)tan(βα+的值；
(2)求||c b +的最大值；
(3)若,16tan tan =βα
求证：.//b a
题型四 平面向量数量积的应用
【例4】已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量),,(b a m =),sin ,(sin A B n = ).2,2(--=a b p
(1)若,//n m 求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若,p m ⊥边长,2=c 角,3π
⋅=C 求△ABC 的面积．
技法巧点
1．向量数量积性质的应用 向量数量积的性质⇔=⋅⋅=⋅=0,|
|||cos ,||b a b a b a a a a θ,b a ⊥因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．
2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法
(1)要证,CD AB =可转化证明22
CD =或.||||=
(2)要证两线段,//CD AB 只要证存在一实数,0=/λ使等式λ=成立即可．
(3)要证两线段,CD AB ⊥只需证.0..= 失误防范
1．数量积a ·b 中间的符号“．”不能省略，也不能用“×”来替代．
0.2=⋅b a 不能推出0=a ，或.0=b 因为0=⋅b a 时，有可能.b a ⊥
)0(.3=/⋅=⋅a c a b a 不能推出.c b =
4．一般地，,).()(a c b c b a =/⋅即乘法的结合律不成立．因b a ⋅是一个数量，所以c b a )(⋅表示一个与c 共线的向量，同理右边a c b )(⋅表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下.)()(a C b c b a ⋅=/⋅
5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，><,应为,120 而不是.60
随堂反馈
1．（2011．清远调研）在△ABC 中，已知a ，b ，c 成等比数列，且,4
3cos ,3=
=+B c a 则⋅等于 ( ) 23.A 2
3.-B 3.c 3.-D
答案：B
2．（2011,台州一模）已知向量a ，b 的夹角为,1||,120=a ,5||=b 则|3|b a -等于( )
7.A 6.B 5.C 4.D
答案：A
3．(2011．湖北高考)若向量),1,1(),2,1(-==b a 则b a +2与b a -的夹角等于( )
4.π-
A 6π⋅
B 4π⋅c 43.πD 答案：C
4．(2011．全国卷)设向量a ，b 满足=⋅==b a b a ,1||||,2
1-则=+|2|b a ( ) 2.A 3.B 5.c 7.D
答案：B
5．（2011．江苏高考）已知21,e e 是夹角为
32π的两个单位向量，⋅+=-=2121,2e ke b e e a 若,0=⋅b a 则实数k 的值为 答案：4
5 高效作业 技能备考
一、选择题
1．(2010．安徽高考)若向量),2
1
,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( ) ||||.b a A = 2
2.=
⋅b a B b a c -.与b 垂直 b a D //. 答案：C
2．(2010．重庆高考)若向量a ，b 满足===⋅||,1||,0b a b a ,2则=-|2|b a ( )
0.A 22.B 4.C 8.D
答案：B
3．(2010．四川高考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC -=+=162
那么||等于 ( ) 8.A 4.B 2.C 1.D
答案：C
4．（2010．辽宁高考）平面上O ，A ，B 三点不共线，若,a =,b =则△OAB 的面积等于( )
222)(|.|.b a b a A ⋅- |222)(|.b a b a B ⋅+⋅
222)(||||21.b a b a c ⋅-⋅ 22
2)(21.b a b a D ⋅+⋅ 答案：C
5．(2010．杭州质检)向量.2),1,(),2,1(b a c x b a +===,2b a d -=若,//d c 则实数x 的值等于（ ）
21.A 21.-B 61.c 6
1.-D 答案：A
6．(2011．汕头模拟)如图所示，在△ABC 中，=∠==ABC BC AB ,4,30 AD 是边BC 上的高，则. 的值等于( )
0.A 4.B 8.c 4.-D
答案：B
二、填空题
7．（2011．天津高考）已知直线梯形ABCD 中，,//BC AD ,90 =∠ADC ,2=AD P BC ,1=是腰DC 上的动点，则|3|+的最小值为
答案：5
8．（2010．浙江高考）若平面向量),0(,b a a b a =/=/满足=||b ,1且a 与b-a 的夹角为,120
则||a 的取值
范围是
答案：)3
32,
0(
9．（2011．浙江高考）若平面向量βα、满足,1||,1||≤=βα且以向量βα、为邻边的平行四边形的面积为
,2
1则βα和的夹角θ的取值范围是 答案：]65,6[ππ
三、解答题
10．（2010．江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点).1,2(),3,2()2,1(----C rB A
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足,0)(=⋅-t 求t 的值．
11．(2011．湖南高考)已知向量).2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ
(1)若a∥b，求θtan 的值；
(2)若,00|,|||π<<=b a 求θ的值．
12．(2011．江苏高考)已知向量]).0,[)(sin ,(cos πααα-∈=OA 向量),5,0(),1,2(-==n m 且
).(n OA m -⊥
(1)求向量;
(2)若,0,102)cos(πβπβ<<=
-求).2cos(βα-。