事件发生的概率
随机事件的概率
古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用. 箱中摸球 分球入箱
随机取数 是常见的几种模型 .
分组分配
三、概率的几何定义
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法. 请看演示 几何概率
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n回地摸取3张
这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm …； 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
一、概率的统计定义
1、频率
若设n A是n次试验中事件 A发生的次数， nA 则比值 称为事件A发生的频率，记为 n n A f n ( A)，即 f ( A)
n
n
nA称为事件A发生的频率。
频率具有下列性质： 性质1
性质2 性质3
0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
若事件A与事件B互斥，即AB ，则 f n ( A B ) f n ( A) f n ( B )
概率初步的知识点总结
概率初步的知识点总结一、基本概念1. 随机试验和样本空间随机试验是指在一定条件下，试验的结果是随机的，无法预测的现象。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
2. 事件事件是样本空间的一个子集，表示一种可能发生的结果。
事件的概率表示该事件发生的可能性大小。
3. 概率的定义概率是事件发生的可能性大小的度量，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1，即0≤P(A)≤1。
4. 频率与概率频率是指事件发生的次数与总次数的比值，当试验次数足够大时，频率趋近于概率。
二、基本概率1. 古典概率古典概率是指在有限个等可能结果的随机试验中，事件发生的概率等于事件的发生方式数与总的可能方式数的比值。
2. 几何概率几何概率是指在连续型随机试验中，利用几何形状和相似性来求事件的概率。
3. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。
4. 乘法公式乘法公式是指用条件概率来计算复合事件的概率，其计算公式为P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)。
5. 全概率公式和贝叶斯定理全概率公式用于求解复杂事件的概率，贝叶斯定理则是在已知条件概率的情况下，用来求解逆向概率问题。
三、随机变量与概率分布1. 随机变量随机变量是指取值不确定，但在一定范围内有规律可循的变量。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
2. 离散型随机变量离散型随机变量的取值是可数的，通常用概率分布列来表示其各个取值对应的概率。
3. 连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数来表示其取值的概率分布情况。
4. 期望和方差期望是随机变量的平均值，方差是随机变量取值偏离期望的平均程度。
四、常见概率分布1. 二项分布二项分布是指在n次独立试验中，事件发生的次数符合二项分布的概率分布。
2. 泊松分布泊松分布是指在单位时间或单位空间内，发生次数符合泊松分布的概率分布。
随机事件的概率
第一节 随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。
4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。
5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。
如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。
7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。
二、例题： 例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。
”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。
” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的． 例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。
概率的定义
概率的定义表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
它是随机事件出现的可能性的量度,同时也是概率论最基本的概念之一。
人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。
但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。
概率的频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。
另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。
R.von 米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。
百万分之一概率黑白配双胞胎概率的严格定义设E是随机试验，S是它的样本空间。
对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。
这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），则有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……概率的古典定义如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总概率数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。
有关概率的公式
有关概率的公式
以下是一些常见的概率公式：
1. 随机事件发生的概率公式：
P(A) = n(A)/n(S)
其中，P(A)代表事件发生的概率，n(A)代表事件A发生的可能性，n(S)代表样本空间中所有可能事件的总数。
2. 复合事件发生的概率公式：
P(A and B) = P(A) × P(B|A)
其中，P(A and B)代表事件A和事件B同时发生的概率，P(A)代表事件A发生的概率，P(B|A)代表在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率。
3. 反复试验发生某一事件的概率公式：
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k)代表在n次独立重复试验中出现k次事件X的概率，C(n,k)代表从n个中选择k个的组合数，p代表单次试验中事件X发生的概率，(1-p)代表单次试验中事件X不发生的概率。
4. 贝叶斯公式：
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
其中，P(A|B)代表在事件B发生的情况下事件A发生的概率，P(B|A)代表在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率，
P(A)代表事件A发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
初中概率知识点讲解
初中概率知识点讲解初中阶段是学习概率的起点，概率是现代数学的一个重要组成部分。
在我们的日常生活中，处处都能见到概率的影子。
比如，我们可以通过研究某种现象发生的可能性来预测未来的结果。
本文将为大家讲解初中阶段常见的概率知识点。
一、常见的概率概念1.概率的定义概率是指在某种试验中，事件发生的可能性大小的度量。
符号通常用P来表示。
概率的大小是介于0和1之间的实数，即0≤P(A)≤1。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A肯定会发生；当0<P(A)<1时，表示事件A可能会发生或者不会发生。
2.随机事件随机事件是指在一次试验中，发生或者不发生的事情。
比如，抛一次硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。
3.样本空间样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合。
比如，抛一次硬币的样本空间为{正面，反面}。
4.事件的并、交、差事件的并指的是两个或者多个事件中至少有一个事件发生的情况，通常用符号“∪”表示。
事件的交指的是两个或者多个事件同时发生的情况，通常用符号“∩”表示。
事件的差指的是指事件A发生而事件B不发生的情况，通常用符号“A-B”表示。
二、概率的计算方法1.经典概率法经典概率法是指根据样本空间的元素个数来计算事件发生的概率。
比如，如果一枚硬币只有正反两面，那么正面朝上的概率就是1/2。
2.几何概率法几何概率法是指通过测量实验中各类事件出现的面积或者长度来计算事件发生的概率。
比如，扔一枚硬币，正面朝上和反面朝上出现的面积相等，所以正面朝上的概率是1/2。
3.统计概率法统计概率法是指根据已有的统计数据来计算事件发生的概率。
比如，如果在过去的10次抛硬币中，有6次是正面朝上，那么正面朝上的概率就是6/10=0.6。
三、概率的性质1.互斥事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，比如在一次抛硬币的试验中，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
2.独立事件独立事件是指事件A的发生或者不发生与事件B的发生或不发生无关，比如，抛一次硬币，前后两次抛硬币的结果是相互独立的。
概率的基本原理和计算
概率的基本原理和计算概率是数学中的一个重要概念，它是研究随机事件发生可能性的一门学科。
在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的概率问题，比如掷骰子、抽卡片等等。
了解概率的基本原理和计算方法，对于我们解决问题、做出决策具有重要的指导作用。
一、概率的基本原理概率的基本原理可以用来描述一个事件发生的可能性大小。
在数学中，我们用一个介于0和1之间的数来表示概率。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。
概率的基本原理可以归纳为以下三个规则：1. 事件的概率不会小于0，也不会大于1。
概率的取值范围在0到1之间。
2. 如果两个事件互斥（即不能同时发生），那么它们的概率之和等于各自的概率之和。
例如，掷一枚硬币，正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2，两个事件互斥，因此它们的概率之和为1/2+1/2=1。
3. 如果两个事件相互独立（即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生），那么它们的概率乘积等于各自的概率之积。
例如，从一副牌中抽取一张牌，第一次抽到黑桃的概率为1/4，第二次再抽到黑桃的概率也为1/4，两次抽取相互独立，因此它们的概率乘积为1/4*1/4=1/16。
二、概率的计算方法在实际问题中，我们经常需要计算事件发生的概率。
下面介绍几种常见的概率计算方法。
1. 等可能概型当实验的结果有限且各个结果发生的可能性相等时，我们可以使用等可能概型来计算概率。
例如，掷一枚骰子，每个面的概率都是1/6，我们可以通过计算总数除以有利结果的个数来得到概率。
比如掷出偶数的概率为3/6=1/2。
2. 排列组合法当事件的发生与次序有关时，我们可以使用排列组合法来计算概率。
排列组合法是数学中一个重要的计数方法，它可以帮助我们计算事件发生的可能性。
例如，从一副牌中抽取3张牌，计算抽到3张红桃的概率，我们可以先计算红桃的个数，然后计算总数，最后将两者相除。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习：事件发生的概率
教学目标：
1、会对事件按其发生的可能性进行分类，并能正确判断各类事件。
2、会求简单事件的概率。
3、能运用列举法（包括列表法和画树状图）计算简单事件发生的概率。
重点、难点：能运用列举法（包括列表法和画树状图）计算简单事件发生
的概率。
教学过程：
一、 事件的分类
1、确定事件（必然事件、不可能事件）
2、不确定事件（随机事件）
例1、下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A 、某个数的绝对值小于0
B 、某个数的相反数等于它本身
C 、某两个数的和小于0
D 、某两个负数的积大于0
练习：下列事件哪些是必然事件、哪些是不可能事件、哪些是随机事件？
1、打开电视机，它正在播广告。
2、从一个装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球。
3、两次抛正方体骰子，掷得的数字之和大于13。
4、抛掷一枚硬币1000次，第1000次正面朝上。
5、太阳从西边落下。
6、12名同学中，有两人的出生月份相同。
二、 了解概率的意义，并能求出简单事件的概率
1、概率：表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率在0~1之间。
2、概率通常用字母P 表示。
3、举例
例2、下列说法中，正确的是（ ）
A 、“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨。
B 、“抛掷一枚硬币正面朝上的概率是0．5”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上。
C 、“彩票中奖的概率是1％”表示买100张彩票一定有1张中奖。
D 、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天。
例3、在一个不透明的袋子中装有除颜色不同外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率为多少？ 解：P （摸出红球）=322 =52（强调：概率=全部
部分） 4、练习：计算下列事件的概率
① 在一个暗箱里，装有3个红球，5个黄球和7个绿球，它们除了颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球为红球的概率。
② 从分别写有-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4的九张一样的卡片中，
任意抽取一张，则所抽取的卡片上数字的绝对值小于2的概率。
③ 练习册114页第3题。
④ 练习册115页第10题。
三、用列表法或画树状图计算简单事件发生的概率
例4 、一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相等，那么这3个婴儿中出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
（画树状图解答）
例5、有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球（不放回去），再随机地摸出一个小球。
① 利用树状图或列表法列出两次摸球出现的所有可能的结果。
② 求摸出的两个球号码之和等于5的概率。
练习：
练习册115第11、12题。
四、小结：
1、事件的分类
2、概率的计算（概率=所有事件发生的次数
关注的事件发生的次数） 五、教后反思：
1、从具体事例出发，复习有关概率的概念，效果较好。
2、选择与生活密切相关的事实作为例子，能引起学生强烈的求知欲。
3、精讲精练，能加快初三的复习课效率。