高校应用数学学报!辑圆型限制性三体问题中双恒星系统的存在性

其中
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实际上!上述方程是以 D0 )’3-@’/.@’8/-.@2-@./ B3-!.8为 EFGHFIGJ函 数 的 EFGHFIGJ方 程%以下采取极坐标系!令 -0KLMNO!.0KNPIO!则
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所以!当 N;2P0时!在 MN(#*内!有 "T2(&!,*"; N0V 0(U0$ (2$ U*0*’令 T2(&!,*. N0T0(&!
,*!则 T0在 MN(#*内有一致的界(与 N无关*’以 T(&!,*. 2&$N0T0(&!,*代入(5*!对 N展开! 有
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. 的 >?@ABCDEA?E系 统<对 给 定 的 +#设 ’P$ 是 函 数 Q$ 0’1%’($’
高 校应 用数学学报!辑 "##$%$&’$()**+ &#
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圆型限制性三体问题中双恒星系统的存在性
雷 锦 志 $%管 克 英 "
’$=北京航空航天大学 数学系%北京 $###>?@"=北方交通大学 数学系%北京 $###AA(
摘 要)在圆型限制性三体问题的研究中%研究较多的是在其中一体附近的运 动.本文研究远离 两个大质量 恒星 的 行星 的 运 行情 况.在此范 围内%使 用 B!/ 理 论 研 究 大 振 幅 轨 道 的 存 在 性 %说 明 了 星 系 中 双 恒 星 系 统 的 存 在 性 %而 这 一 现 象 已 被 天文学家所观察到.
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由3)8!对给定的 V0^可局部解出
雷 锦 志 等 X圆 型 限 制 性 三 体 问 题 中 双 恒 星 系 统 的 存 在 性
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易知!对任意 <;N(S2*和 适 当 的 #!MN(#*非 空’由 上 面 的 分 析!系 统 ()*的 初 值 在 MN(#*内
的轨线也保持在 MN(#*内!特别地!有 2P&;N’由于
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对 充分小的 ")存在 !"#$%的具有正测度的子集 6)当初值在 6内时)扰动系统的轨线仍 保持在不变环面上&
由于不变环面的存在)对于两自由度 的动 力 系 统)由 于能 量积 分的 限制)夹 在两个 不变 环 面 之 间 的 轨 线 不 能 到 达 不 变 环 面 的 外 面 )因 此 )这 些 轨 道 即 使 不 能 保 持 在 环 面 上 也 是 被 环 面 界住的&对应原双恒星系统#7%)以上的分析表 明)当 行 星的轨 道半 径足够 大时)如果系 统 的 总 能 量 8 和 角 动 量 ,9满 足 一 定 条 件)则 行 星 的 轨 道 半 径 +将 永 远 被 限 制 在 两 个 正 数 之 间)即存在围绕两颗恒星的大振幅运动&这一结 论解 释 了引 言中所 提到的天 文观测 结果&以 下 的 一 些 数 值 计 算 的 结 果 也 支 持 上 面 的 理 论 分 析 结 果&下 面 计 算 中)使 用 四 阶 龙 格 : 库 塔 法)对#3%中的 ’;分支进行计算&各初值和参数分别如下5,+#(%<()$<:7&(=2>?)@<(&?) ABCD<(&((1&图 1是从 9<(到 9< 7E的 FGHIJKLM映 射N图 7是 ,9随 时 间 O的 变 化&从 计 算 结果可以看到明显存在 -./ 不变环面)且当 +较大时),9近似守恒&
这一节中#先研究 中 心 位 势 的 情 况#即 在 系 统 中 以 H6’代 替 /0’#"1<这 时 系 统 是 可 积 的#对应的 >?@ABCDEA?E函数为
与 之 对 应 #系 统 0=1变 为
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经 研 究 了 未 受 扰 系 统!该 系 统 的 初 值 在 MN(#*内 的 轨 线 是 概 周 期 的!始 终 在 不 变 环 面 上!且
雷 锦 志 等 5圆 型 限 制 性 三 体 问 题 中 双 恒 星 系 统 的 存 在 性
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保持在 !"#$%内&由于 ’()* #+),+%在 !"#$%内满足柯尔莫哥洛夫非退化条件)由 -./ 理论) 可 有 #见 01)2)34%5
关键词)限制三体问题@双恒星系统@B!/ 理论 中 图 分 类 号 )C$D*="$%C?$D%E$A> 文献标识码)! 文章编号)$###FAA"A’"##$(#$F##**F#&
S$ 引 言
星系中的大多数恒星都与别的恒星构成 双 恒星 或 更多 恒星的 系统%在 以前 的双恒 星系 统中所发现的行星是环绕其中一颗恒星公转的.而天文学家最近’$GGG年 &月(发现了一颗 大 小 与 木 星 相 似 的 环 绕 两 颗 恒 星 公 转 的 行 星 $.如 果 上 述 报 道 属 实 %那 么 %这 是 人 类 第 一 次 看 到 这 种 现 象 .根 据 报 道 %这 两 颗 恒 星 的 体 积 和 亮 度 都 不 及 太 阳 %它 们 互 相 环 绕 飞 行 %相 距 约 为 $=*亿英里%而 在大约 &=*亿英里 以外 的 地方 有 一 颗大 小 与木 星 相 似 的 行 星 环 绕 这 对 恒 星 运行.在这样的系统中%如果行星的质量相 对较 小%可 以 近似 为限制 性三体 问题.因此%双 恒 星系统为研究限制性三体问题提出了一个问题)限 制 性三 体问 题中 是否 存在稳 定的 大振幅 解 %甚 至 %是 否 有 大 振 幅 的 周 期 解 %而 这 个 问 题 又 是 三 体 问 题 中 的 经 典 难 题 .
收 稿 日 期 )$GGGF$$F#> 基 金 项 目 )博 士 点 基 金
$英 国 万广 播方公数司据%>月 $>日%211,)HH67I8-.12-8.JJK.KL.MNH25H76O-582H8K5H17K2H67I85PQ A"A###H
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高 校 应 用 数 学 学 报 #辑
由上式不难算出
%A(=*((=1%*5$2*.2! %B(=*.1 5(=1%*(02%1A(%=**5($212%A(=**’ 并且在上述条件下!
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该 系 统 当 N. <时 是 可 积 的!@2!W (&!/&!,*在 MN(#*内 是 有 界 的!且 关 于 ,以 0>为 周 期’这
样!就可以万把方原数远据离中心的圆型限制性三体问题看成是可积 系 统 的 周 期 扰 动’在 E5中!已
我 们 采 取 旋 转 坐 标 系 ,-.!-轴 指 向()(+’!.轴 与 -轴 垂 直!在 轨 道 平 面 上%取 *)/*’ 为质量单位!且令 *’01!*)0)2134516)7’8!取 (’绕 ()的轨道周期 9除以 ’:作为时 间单位!(’绕 ()的椭圆半长径 ;作为距离单位!则上述系统的运动方程为3见<’=8>
第 )_卷第 )期
引力场近似看成是中心对称场的周期扰动!可以使用 "#$ 理论研究该范围内行星的运动! 由 "#$ 环面的存在性保证了大振幅解的存在稳定性%由数值计算的结果表明!这一分析方 法与数值计算的结果是相吻合的%