高等代数2011
陕西师范2011年高等代数解析
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 ( )( )−1 ( ) ( ) I 0 I x I x (I + xxT )−1 0 = −xT 1 −xT 1 0 1 0 1 )( ) )( )( )−1 ( ) ( I −x (I + xxT )−1 0 I 0 I x I 0 , = = 0 1 0 1 xT 1 −xT 1 xT 1 )( ) ) ( )( (I + xxT )−1 0 I x I 0 , = 0 1 0 1 xT 1
其中t = xT Q−1 x.由Q正定,从而Q−1 也正定,故t > 0,于是 0< 即结论成立. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程组 x1 + x2 + · · · + xn = 0 与 x1 = x2 = · · · = xn t < 1. 1+t
Dn+1
解:将Dn+1 的第一行乘以(−x)加到其余各行,得 0 1 1 1 −x 0 = 1 0 −x . . . . . . . . . 1 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . . −x
Dn+1
1 (1)若x ̸= 0,从最后一列开始,每一列乘以 加到第一列,可得 x n 1 1 x 0 −x 0 = 0 0 −x . . . . . . . . . 0 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . −x = n(−x)n−1 .
∗ ∗ (A1 B1 )∗ = B1 A1
上式两边矩阵的元素都是x的多项式,且有无穷多x的值使得等号成立.从而等号恒成立.从 而x = 0时结论也成立. 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 证明:1.易知I + xxT 是实对称矩阵.对任意的非零n维列向量y 有 y T (I + xxT )y = y T y + y T xxT y = y T y + (y T x)2 > 0. 从而I + xxT 是正定矩阵. 由 I xT ( I 0 上两式两边取逆,有 ) (I )−1 ( )( ( I 0 I x I x = −xT 1 −xT 1 0 1 0 0 1 1 + xT x ) ( )( )( ) ( ) 0 I x I −x I 0 = 1 −xT 1 0 1 0 1 + xT x )( )( ) ( ) −x I x I 0 I + xxT 0 = 1 −xT 1 xT 1 0 1
华南农业大学2011年高等代数期末试卷与答案
2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素*732537425A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵，则A =（ B ）A . 0B . -1C . 1D . 以上答案都不对 分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4所以按照A 的第一行元展开得111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++⨯⨯⨯（1）41。
注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3.3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n =C . 方程组0Ax =有非零解D . A 的行（列）向量组线性无关 分析：n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠⇔判断矩阵可逆的常用方法0(A)=n A A R ≠⇔⇔满秩(A)=n A R A n n ⇔⇔的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关00A Ax ≠⇔=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ）A . AB A B +=+ B . AB BA =C . ()T T T AB B A =D . ()T T T A B A B +=+分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式AB BA =，课本175页定理1；C ，D 见课本174页公式（17）（18）. 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则0AX =的通解为（ A ）A . 1k αB . 2k αC . 12()k αα+D . 12()k αα- 分析：方程组0AX =含“5”个未知数，其基础解系解向量个数n-r(A)=1,1212121+--0αααααααα≠r，，，中只有，其它不能保证非零，从而无法保证无关 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 .此题不考2. 设,A B 均为3阶方阵，且1,12A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵,则12A B *-=－2分析：312*112||||=8A 2BB A B A *--=注意：n 阶方阵A ：11*1A A ,A ,A A n n Aλλ--=== 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为10312011010001100000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭（阶梯型矩阵），那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 3 ，它的一个极大线性无关组为124,,ααα.注意：初等行（列）变换不改变矩阵的秩；（矩阵求秩的原理） 初等行变换不改变列向量组的相关性；（求极大无关组依据） 初等列变换不改变行向量组的相关性；4. 当x = -1 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出.分析：向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出，因此3个向量构成相关组，因此111001201x x -=⇒=-- 5. 若二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的， 则t 的取值范围为405t -<<.分析：二次型正定，所有顺序主子式去全大于零。
中科院2011年高等代数参考解答
(α, β, γ )E = A(α + 2β + γ, 3β + 4γ, 4β + 5γ ) = A(α, β, γ )B = (α, β, γ )AB, 于是AB = E,即A = B −1 .由 A(α, 2β + γ, γ ) = A(α, β, γ )C = (α, β, γ )AC = (α, 2β + γ, γ )C −1 AC, 可知A在基α, 2β + γ, γ 下的矩阵的矩阵为 1 0 0 C −1 AC = C −1 B −1 C = 3 −3 2 . −8 8 −5 2 2 −2 5 −4 5.(24分)已知矩阵A = 2 −2 −4 5 (1)求A的特征多项式,并确定其是否有重根; (2)求一个正交阵P 使得P AP −1 为对角阵; (3)令V 是所有与A可交换的实矩阵全体,证明V 是实数域上的一个线性空间,并确 定V 的维数. 解: (1)A的特征多项式为 f (λ) = | − A| = (λ − 1)2 (λ − 10). (2)取属于特征值1的特征向量为 α1 = (−2, 1, 0)T , α2 = (2, 0, 1)T 正交单位化为 −2 1 2 4 5 β1 = ( √ , √ , 0)T , β2 = ( √ , √ , √ ) 5 5 3 5 3 5 3 5 α3 = (1, 2, −2)T 单位化为 1 2 2 β3 = ( , , − )T 3 3 3
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(3)令V 是所有与A可交换的实矩阵全体,证明V 是实数域上的一个线性空间,并确 定V 的维数. 6.(20分)设A, B 是两个n阶复方阵,n > 1. (1)如果AB = BA,证明A, B 有公共的特征向量; (2)如果AB − BA = µB,其中µ是一个非零复数,那么A, B 是否有公共的特征向量?回 答“是”请给出证明,回答“否”请给出反例. 7.(15分)设A是n阶矩阵,其特征多项式有如下分解 p(λ) = det(λE − A) = (λ − λ1 )r1 (λ − λ2 )r2 · · · (λ − λs )rs 其中E 为n阶单位方阵,诸λi 两两不等.试证明A的Jordan标准形中以λi 为特征值的Jordan块 的个数等于特征子空间Vλi 的维数. 8.(15分)设A是n阶实方阵.证明A为实对称矩阵当且仅当AAT = A2 ,其中AT 表示矩 阵A的转置. 休息一下,来张美图欣赏一下吧.
华南师大2011年考研试卷(高等代数)
华南师大 2011 年考研试卷（高等代数）
一、1．写出四条矩阵 A的秩为 r 的充要条件；
2．写出欧式空间中子空间的正交补定义；
3．写出关于多项式 f(x)的代数基本定理；
4．写出 n 阶方阵 A的伴随矩阵的定义和基本结论；
5．写出对称变换的定义。
二、写出方程组
当 a、b 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解？并求无穷多 解的通解。
三、设多项式 f(x)=x 4 +4kx+1(k 为整数)，证明 f(x)在有理数域 Q 上不 可约。
四、A、B为 n 阶方阵，证明：
r（A）+r（B）=
五、给定实二次型 f(x1,x2,x3)=x1 2 +2x2 2 +5x3 2 2x1x2+2tx1x3+6x2x3，试求 t 的值，使得该二次型正
定。
六、设 V 是有限维欧式空间，又 σ 为 V 的一个正交变换，记 V1= ｛α∈V|σ（α）=α｝，
V2={ασ（α）|α∈V}，证明：
1、 V1、V2 都是 V 的子空间；
2、 V1⊥V2
3、 V=V1 V2
七、设 W1 和 W2 是 n维向量空间 V 的两个子空间，且维数之和为 n， 证明：存在 V 上的线性变换 σ，使 ker(σ)=W1,Im(σ)=W2。
2011陕西师范大学高等代数答案解析
高等代数资源网 October 21, 2012
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( ) Ir 0 ,其中Ir 是r阶 七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 0 0 单位矩阵,r = r(A). 八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V.
证明: ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的;
3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间 的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射. 消息一下,来张美图欣赏一下吧.
3 参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充 要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为
北京大学高等代数 I_2011 期末答案
北京大学数学学院期末试题2011－2012学年第一学期考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日姓 名 学 号一. （10分）已知n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011001 , B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 321332122211111 . 求矩阵X , 使得 A X = B .解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1n 2101110022101101110001011110001n 3211111033211112221001111110001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→100010000110010011100010111100012n 1001100011001001110001011110001故 X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100110111 .二.（15分）设 A : X A X 是R 3上的线性变换, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200211011.(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基;(2) 求矩阵A 的特征值与特征向量;(3) 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.解: (1) 在标准基下, A 像空间就是矩阵A 的列空间, 它的一组基为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡220011,, 维数是2 .(2)A 的特征值为λ = 2 (代数二重), 0 .对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100011000211011通解为x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x x α1 = [ 1 1 0 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.22)2λ(λ)λ2λ()2λ(1λ111λ)2λ(2λ0021λ1011λλ-=--=-----=------=-|A I |对λ = 0解齐次方程组 A X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100011200211011通解为x 1 = - x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T 构成λ = 0特征子空间的一组基.(3) 由于特征值 λ = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,A 不能否对角化.三．（35分）填空题 (多选) .1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A 3 – 3 A 2 = .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101121010100121010100002100010012101011// 2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 .3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.4. 设α是n 维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 α αT | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | I m –A B | = | I n –B A | .5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},⎥⎦⎤⎢⎣⎡+421211t t相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010212D 103010001C 010131010B 101010101A ,,,6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选).a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵, Q 是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J 的形式, P 是可逆矩阵, J 是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R 的形式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201,, 其中由任意一个 向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.2) 设A 是m ⨯ n 矩阵. 若存在矩阵B 与C, 使得 BA = I n , AC = I m , 则必有m = n , 且 B = C .解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n.五.（20分）设 f = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 是三元二次型.(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;(3) 求二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12 + x 22 + x 32 = 1上的最大、最小值, 并确定在何处取到.解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==321321T AX X f x x x x x x 011101110A 的特征值为λ = - 1 (代数二重), 2 .对λ = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111111111111通解为x 1 = - x 2 - x 3 , x 2 、x 3为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011323232321x x x x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成λ = -1特征子空间的一组基. 对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000110101000112121211121112通解为 x 1 = x 3 , x 2 = x 3 , x 3为自由变量. 向量形式:)2λ()1λ()2λλ()1λ(1λ0011λ112λ1λλ101λ111λλ111λ111λλ22-+=--+=+-----=+------=------=-|A I |⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1113333321x x x x x x x 于是α3 = [ 1 1 1 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.(2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 正交化:令β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=2112101121101β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21161β||β||1γ,01121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11131γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] 为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==T 3T 2T 1321γγγ211]γγγ[T P D P A (3) 做正交替换X = P Y ,f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T D Y = - y 12 - y 22 + 2 y 32 . 由于P 正交, x 12 + x 22 + x 32 = 1 当且仅当 y 12 + y 22 + y 32 = 1.当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≤ 2( y 12 + y 22 + y 32 ) = 2,等号成立当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即X 取λ = 2特征子空间中的单位向量 ± γ3时成立.类似地, 当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≥ - ( y 12 + y 22 + y 32 ) = -1,等号成立当且仅当X 取λ = -1特征子空间中的单位向量时成立.六.（8分）设 A 是一个n 阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .证明: a 11 a 22 . . . a nn ≥ | A | .证法1. 对 n 应用数学归纳法.当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.以下设命题对n -1成立, 考察A 是n 阶矩阵的情况.记A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn αT αα1n A , 其中A n-1是n - 1阶正定矩阵, α是 n - 1 维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----αααααα1-1-n 1n 1-1-n 1n 1n 1-1-n 1n A 00A 1A 0I A 1A 0I T T T T nn T nn αα 于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α ) .由归纳假设, | A n-1 | ≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由A n-1 正定知A n-1 的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵A n-1-1的特征值也都大于0, 故A n-1-1 也正定. 特别地, 有αT A n-1-1 α ≥ 0 .综上所述, | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α )≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 a nn .故命题对所有n ≥成立.证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A都可写成A = L T L,其中L是对角元都> 0的实上三角矩阵.设L 的( i , j ) 元为b i j , 则有a j j = b1 j2+ b2 j2 + … +b j j2 ≥b j j2 .故 a 11 a22 . . . a nn ≥b112 b222. . . b nn2 = | L T L | =| A |.。
(2021年整理)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案
（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。
(完整word版)湖南大学年高等代数真题
湖南大学2011年高等代数真题一．计算n 阶行列式x y z xy zx y z xy z xD n +++++=11111，其中，yz x =。
二．已知多项式)(x f 满足,1)4(,0)3(==f f 求)(x f 除以)4)(3(--x x 的余式。
三．设)1()!2(1!41!211)(242≥++++=k x k x x x f k ，证明)(x f 不存在三重根。
四．设矩阵A,B 分别为n m ⨯和m n ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，且矩阵A 的秩为r(r<n)。
并且A(C+BA)=0, 证明：（1）矩阵C+BA 的秩为n-r ；（2）线性方程组0=Ax 的通解为z BA C x )(+=，其中z 为任意的n 维列向量。
五．设()n n ij a A ⨯=，且0=A ，证明：A 的伴随矩阵*A 的n 个特征值中至少有n-1个为0，且一个非零特征值（如果存在）等于nn A A A +++ 2211，其中ij A 为矩阵A 的关于元素ij a 的代数余子式。
六．设A 为n 阶实对称矩阵，()'=n b b b b ,,,21 为n 维实的列向量，证明：（1）若0>A ,则01>-A ,这里0>A 表示A 为正定矩阵。
（2）若0>'-b b A ，则0>A 且11<'-b A b 。
七.设n n P A ⨯∈，且n E A =2，其中n E 为n 阶单位矩阵，令{}x Ax P x V n =∈=|1， {}x Ax P x V n -=∈=|2，证明：（1）1V 和2V 均为n P 的子空间；（2）21V V P n ⊕=,其中⊕表示子空间的直和。
八.设V 是复数域C 上的线性空间，σ和τ均为V 上的线性变换，且满足τσστ=，又设0λ为σ的一个特征值，证明：（1）0λV 为τ的不变子空间，其中{}αλσααλ0|0=∈=V V 为σ的特征子空间；（2）σ与τ至少有一个公共的特征向量。
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科目代码:
881
科目名称:
高等代数
适用专业:
基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、系统理论
提示：
1、请将所有答案写于答题纸上，写在试题上的不给分；
2、请填写准考证号后6位：____________。
一．填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.设 都是数域 上的多项式， ，则 _________。
2.如果 次可微函数组 在实数域上线性相关，那么行列式
_________。
3.如果 是 阶实对称正定矩阵，则 的特征多项式：
的所有系数至少有________个 。
4.设 是 阶矩阵， 为 矩阵，则矩阵方程 其中的一个解为_________。
5.如果 是正交矩阵，那么齐次线性方程组
的解空间（ ），
（1）分别求出 和 的维数和一组基；
（2）证明
四．（20分）在 中，定义变换 为
（1）证明 是 的线性变换；
（2）求 的特征值和相应的线性无关的特征向量。
五．（20分）用 表示实数域，用 表示所有形如 的二阶实数矩阵组成的集合: ,
（1）证明 关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘是 上的线性空间；
的一个基础解系是_________。
6.如果 1是 阶矩阵 的特征值，那么 _________。
7.设 阶矩阵 的特征多项式是 ，并且 相似于一个对角矩阵，那么属于特征值1的特征子空间的维数 _________。
8.如果向量组 线性相关，那么 _________。
二．（15分）计算行列式：
三．（15分）设 是数域 上的线性方程 的解空间， 是数域 上线性方程组
（2）求 的维数；
（3）对任意的 ，证明 关于下面定义的二元函数：
成为欧氏空间；
（4）取矩阵 ，对任意的 ，定义变换 为：
证明： 是 的一个正交变换。
六．（15分）设 都是数域 上的多项式，
，
如果 ，证明： 。
七．（15分）设 是反对称实数矩阵，证明：
（1） 的特征值是零或纯虚数；
（2）如果 都是非退化的，那么 是正交矩阵，且不以-1为特征值；
（3）证明 都是非退Байду номын сангаас的。
八．（10分）设 是 列满秩实数矩阵，秩 ，其中 是 的转置矩阵，证明：（1） 是正定矩阵；
（2） 是半正定矩阵；
（3）存在 列正交矩阵 （ 的列向量是两两正交的单位向量， ），使得
（4）求 的特征值。