方程求根的数值方法

1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,
1.125 1.1875 x 1.15625 2
*
有根区间(1.125,1.25)
有根区间(1.125,1.1875)
1.1875 1.125 误差 0.03125 2
（2）点迭代法
一般迭代法：将f(x)=0适当变形为x=φ (x),在根的 邻近找一个点x0作为初始点，作迭代 若数列{xk} 收敛，则极限值就是准确根。满足 x=φ (x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程 求解的不动点法。
1) x1 x0 f 0 / f1 ; 2) x0 x1 ; 3)转（2） ; endwhile ; (4) 输出: x1。
例1`：用牛顿法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根， 初值为1.5。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解：
f ( x) x4 x 3, f / ( x) 4x3 1, x0 1.5
但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,1· · ·
仍取x0=1.5，则有 x1=2.375，x2=12.39，显然结果
越来越大，{xk} 是发散序列。 作业： 证明函数 (x) 3 x 1 在区间[1，2]上满足 迭代收敛条件。
牛顿迭代法：方程f(x)=0，求导f’(x)，在根的 邻近找一个点x0 作为初始点，作迭代
令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) 0 x1 x0 解得 x1 x0 x2 x1 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 ) xn x0 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( x0 ) ( n 1,2,...)
作业：求下面方程的数值解。
x x 9 0
3
x sin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
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看作近似同解方程。取
x=x-f(x)/f’(x)
作为迭代函数。
Newton迭代法几何解释
Newton 迭 代 法 算 法 框 图
Newton迭代法算法
(1) (2) (3) 输入x0 , ; f 0 f ( x0 ); f1 f ( x0 ); while | f 0 | 做
再由x0 , x2计算x3 ...... xn 1
称之为定端点弦截法 .
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1 , x 2 计算x3 ,以此类推 x n 1 x n x n 1 xn f ( xn ) f ( x n ) f ( x n 1 ) (n 1,2,...)
称之为变端点弦截法 , 又称快速弦截法 .
注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。 迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、 迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件
x1 , x2 [a, b]
(3) while
1) x2 x1
2) x0 x; x1 x2 ; f 0 f1 ; f1 f 2 ; 3)if L N then输出失败信息 , 停止计算
endwhile; (4)输出x2 , L。
通常求方程的根时：
先分析确定单根区间，保证不漏根；
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根； 最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
例1：用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个 根，误差0.05。 解：设f(x)=x4+x-3。则
f (1) 1 1 3 0,
4
f (2) 2 2 3 0
4
f (1) 0, f (2) 0,
4
有根区间是(1,2)
f (1.5) 1.5 1.5 3 0 有根区间(1,1.5) f (1.25) 0 有根区间(1,1.25)
区间迭代法 1）对分法 点迭代法 1）简单迭代法 2）黄金分割法 2）牛顿切线法
3）单点割线法
4）两点割线法
（1）区间迭代法（缩小有根区间） 对分法 就是将已知有根区间[a,b]一分为二，比较三 个数
的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。 黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区 间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分 割比例）
定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程 f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该 方程的一个有根区间。 若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个 单根区间。 确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法 进行求近似解。常用的方法有
逐步搜索法、 图形放大法、 数值迭代逼近法
( x1 ) ( x2 ) L x1 x2
0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
迭代法的几何意义
yx x ( x) 交点的横坐标即为f(x)=0的根。 y ( x)
误差小于0.0001.
弦截法 Newton 迭代法有一个较强的要求是存在导 函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似 的替代f’(x) 。
设f ( x)在[a, b]上有唯一零点x*，取x0 a, x1 b, 则过P0 ( x0 , f ( x0 ))及P1 ( x1 , f ( x1 ))得弦的方程 f ( x1 ) f ( x0 ) y f ( x1 ) ( x x1 ) x1 x0
y=x y=φ(x)
x * x2
x1
x0
简单迭代收敛情况的几何解释
例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2) 内的实根。 解：由 x
3
x 1 建立迭代关系：
xk 1 3 xk 1
k=0,1,2,3…….
x 1.32472

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