计算机图形学基础教程课件之习习题课2第二版孙家广胡事民编著
及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得：
P [1] 1
t t1 t4 t1
P1
t4 t t4 t1
P0
2 tP1
2(1 2
t ) P0
1 2
P1
1 2
P0
(45 ,5)
P [1] 2
t t2 t5 t2
P2
t5 t t5 t2
P1
tP 2
(1 t ) P1
1 4
1 2
P [1] 2
1 2
P [1] 1
(40 ,10 )
P [2] 3
t t3 t5 t3
P [1] 3
t5 t t5 t3
P [1] 2
tP
[1] 3
(1
t)
P [1] 2
1 4
P [1] 3
3 4
P [1] 2
(46 .875 ,20 .625 )
P [3] 3
t t3 t4 t3
根据Bézier曲线的递推算法：
P1 P02
P01
P0
P11 P03 T
P2 P12 P21
P3
构造过程：
P1 T
P0
P2 P3
习题3-6 计算以(30,0)，(60,10)，(80,30)， (90,60)，(90,90)为控制顶点的4次Bézier曲线 在t=1/2处的值，并画出de Casteljau三角形。
(1) 在Q1，Q2点与Q Q1，Q Q2相切； (2) 分别在Q，Q1和Q，Q2间生成一段直线段； (3) 在Q是一尖点。
答：首先了解均匀三次B样条曲线的端点性质。 对于每一段曲线， 已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7] 所以：k－1≤j≤n 即 j=3，t∈[t3,t4)
习题课
习题3-1 参数曲线曲面有几种表示形式？
(1) 代数形式 一条三次曲线的代数形式是：
xy((tt))aa33xytt33aa22xytt22aa11xyttaa00xy z(t)a3zt3 a2zt2 a1zta0z
t[0,1]
(2) 几何形式 描述参数曲线的条件有：端点位矢、端
点切矢、曲率等。
P [2] 3
t4 t t4 t3
P [2] 2
2
tP
[ 3
2
]பைடு நூலகம்
2(1 2
t ) P2[ 2 ]
1 2
P [2] 3
1 2
P [2] 2
(43 .4375 ,15 .3125 ) P ( 1 ) 4
习题3-11 Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上的5个 点。请设计一条均匀三次B样条曲线，使曲 线经过这5个点，且满足如下设计要求：
起点：t=3
P (3 )P 3 [3 ](t3 )P 3 [2](4t)P 2 [2]P 2 [2]t 22P 2 [1 ]42 tP 1 [1 ] 1 2P 2 [1 ]1 2P 1 [1 ]1 2(1 3P 23 2P 1)1 2(3 2P 11 3P 0)1 6P 03 2P 11 6P 2
习题3-8 用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)， (80,30) ， (90,60) ， (90,90) 为 控 制 顶 点 ， 以 T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]为节点向量的三次B样 条曲线在t=1/4处的值。
∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4
∴5个控制顶点控制两段三次B样条曲线，分 别在区间[t3,t4)和[t4,t5)
∵t3≤t=1/4≤t4 ∴P(t=1/4) 在 第 一 段 三 次 B 样 条 曲 线 上 ，
t∈[t3,t4)，该段曲线只与前四个顶点相关
由de Boor递推公式
Pi[r](t) P tii,tkr rt i0t,ii Pi[rj 1](kt)1,ttiijk krkr tt2 i ,P i[ r,11 j](t), r1,2,,k1;ijkr1,jkr2,,j
P0(30,0) P1(60,10) P2(80,30) P3(90,60) P4(90,90)
P10(45,5) P11(70,20) P12(85,45) P13(90,75)
P02(57.5,12.5) P12(77.5,32.5) P22(87.5,60)
P30(67.5,22.5) P13(82.5,46.25) P04(75,34.37)5
xy((tt))((11tt))33xy0033tt((11tt))22xy1133tt22((11tt))xy22tt33xy33
习题3-5 设一条三次Bézier曲线的控制顶点为 P0，P1，P2，P3。对曲线上一点P(0.5)，及 一个给定的目标点T，给出一种调整Bézier 曲线形状的方法，使得P(0.5)精确通过点T。
P2
3 4
P1
(35 ,15 )
P [1] 3
t t3 t6 t3
P3
t6 t t6 t3
P2
tP 3
(1 t ) P2
1 4
P3
3 4
P2
(82 .5,37 .5)
P [2] 2
t t2 t4 t2
P [1] 2
t4 t t4 t2
P [1] 1
2
tP
[1] 2
2(1 2
t
)
P [1] 1
3
P(t) PiBi,3(t)(1t)3P0 3t(1t)2P1 3t2(1t)P2 t3P3 i0
P(0.4)(0.6)3P0 1.2(0.6)2P1 1.8(0.4)2P2 (0.4)3P3
0.2160 00.43248 960.2881201200.064216 72 69.12 80.64
P ( t ) F 0 P 0 F 1 P 1 G 0 P 0 G 1 P 1 t [ 0 , 1 ]
上 式 是 三 次 Hermite(Ferguson) 曲 线 的 几 何 形 式 ， F0 ， F1 ， G0 ， G1 称 为 调 和 函 数 （或混合函数）。
习题3-2 设有控制顶点为P0(0,0)，P1(48,96)， P2(120,120)，P3(216,72)的三次Bézier曲线 P(t)，试计算P(0.4)的(x,y)坐标，并写出 (x(t),y(t))的多项式表示。
同理，终点：t=4
P(4)P 3[3] (t3)P 3[2](4t)P 2[2] P 3[2] 1 2P 3[1]1 2P 2[1] 1 6P 13 2P 21 6P 3
起点和终点的切线方向：
P (3 ) 1 2 (P 2 P 0 ) P (4 ) 1 2 (P 3 P 1 )
P [1] 1
t t1 t4 t1
P1
t4 t t4 t1
P0
2 tP1
2(1 2
t ) P0
1 2
P1
1 2
P0
(45 ,5)
P [1] 2
t t2 t5 t2
P2
t5 t t5 t2
P1
tP 2
(1 t ) P1
1 4
1 2
P [1] 2
1 2
P [1] 1
(40 ,10 )
P [2] 3
t t3 t5 t3
P [1] 3
t5 t t5 t3
P [1] 2
tP
[1] 3
(1
t)
P [1] 2
1 4
P [1] 3
3 4
P [1] 2
(46 .875 ,20 .625 )
P [3] 3
t t3 t4 t3
根据Bézier曲线的递推算法：
P1 P02
P01
P0
P11 P03 T
P2 P12 P21
P3
构造过程：
P1 T
P0
P2 P3
习题3-6 计算以(30,0)，(60,10)，(80,30)， (90,60)，(90,90)为控制顶点的4次Bézier曲线 在t=1/2处的值，并画出de Casteljau三角形。
(1) 在Q1，Q2点与Q Q1，Q Q2相切； (2) 分别在Q，Q1和Q，Q2间生成一段直线段； (3) 在Q是一尖点。
答：首先了解均匀三次B样条曲线的端点性质。 对于每一段曲线， 已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7] 所以：k－1≤j≤n 即 j=3，t∈[t3,t4)
习题课
习题3-1 参数曲线曲面有几种表示形式？
(1) 代数形式 一条三次曲线的代数形式是：
xy((tt))aa33xytt33aa22xytt22aa11xyttaa00xy z(t)a3zt3 a2zt2 a1zta0z
t[0,1]
(2) 几何形式 描述参数曲线的条件有：端点位矢、端
点切矢、曲率等。
P [2] 3
t4 t t4 t3
P [2] 2
2
tP
[ 3
2
]பைடு நூலகம்
2(1 2
t ) P2[ 2 ]
1 2
P [2] 3
1 2
P [2] 2
(43 .4375 ,15 .3125 ) P ( 1 ) 4
习题3-11 Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上的5个 点。请设计一条均匀三次B样条曲线，使曲 线经过这5个点，且满足如下设计要求：
起点：t=3
P (3 )P 3 [3 ](t3 )P 3 [2](4t)P 2 [2]P 2 [2]t 22P 2 [1 ]42 tP 1 [1 ] 1 2P 2 [1 ]1 2P 1 [1 ]1 2(1 3P 23 2P 1)1 2(3 2P 11 3P 0)1 6P 03 2P 11 6P 2
习题3-8 用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)， (80,30) ， (90,60) ， (90,90) 为 控 制 顶 点 ， 以 T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]为节点向量的三次B样 条曲线在t=1/4处的值。
∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4
∴5个控制顶点控制两段三次B样条曲线，分 别在区间[t3,t4)和[t4,t5)
∵t3≤t=1/4≤t4 ∴P(t=1/4) 在 第 一 段 三 次 B 样 条 曲 线 上 ，
t∈[t3,t4)，该段曲线只与前四个顶点相关
由de Boor递推公式
Pi[r](t) P tii,tkr rt i0t,ii Pi[rj 1](kt)1,ttiijk krkr tt2 i ,P i[ r,11 j](t), r1,2,,k1;ijkr1,jkr2,,j
P0(30,0) P1(60,10) P2(80,30) P3(90,60) P4(90,90)
P10(45,5) P11(70,20) P12(85,45) P13(90,75)
P02(57.5,12.5) P12(77.5,32.5) P22(87.5,60)
P30(67.5,22.5) P13(82.5,46.25) P04(75,34.37)5
xy((tt))((11tt))33xy0033tt((11tt))22xy1133tt22((11tt))xy22tt33xy33
习题3-5 设一条三次Bézier曲线的控制顶点为 P0，P1，P2，P3。对曲线上一点P(0.5)，及 一个给定的目标点T，给出一种调整Bézier 曲线形状的方法，使得P(0.5)精确通过点T。
P2
3 4
P1
(35 ,15 )
P [1] 3
t t3 t6 t3
P3
t6 t t6 t3
P2
tP 3
(1 t ) P2
1 4
P3
3 4
P2
(82 .5,37 .5)
P [2] 2
t t2 t4 t2
P [1] 2
t4 t t4 t2
P [1] 1
2
tP
[1] 2
2(1 2
t
)
P [1] 1
3
P(t) PiBi,3(t)(1t)3P0 3t(1t)2P1 3t2(1t)P2 t3P3 i0
P(0.4)(0.6)3P0 1.2(0.6)2P1 1.8(0.4)2P2 (0.4)3P3
0.2160 00.43248 960.2881201200.064216 72 69.12 80.64
P ( t ) F 0 P 0 F 1 P 1 G 0 P 0 G 1 P 1 t [ 0 , 1 ]
上 式 是 三 次 Hermite(Ferguson) 曲 线 的 几 何 形 式 ， F0 ， F1 ， G0 ， G1 称 为 调 和 函 数 （或混合函数）。
习题3-2 设有控制顶点为P0(0,0)，P1(48,96)， P2(120,120)，P3(216,72)的三次Bézier曲线 P(t)，试计算P(0.4)的(x,y)坐标，并写出 (x(t),y(t))的多项式表示。
同理，终点：t=4
P(4)P 3[3] (t3)P 3[2](4t)P 2[2] P 3[2] 1 2P 3[1]1 2P 2[1] 1 6P 13 2P 21 6P 3
起点和终点的切线方向：
P (3 ) 1 2 (P 2 P 0 ) P (4 ) 1 2 (P 3 P 1 )
合集下载
02-计算机图形学基础(第二版)PPT课件
透镜组
光 孔
触钮开关
导线
笔体 光导纤维
图2.3 光笔的结构
2021/7/22
7
图形输入设备
触摸屏(touch screen) 当用手指或者小杆触摸屏幕时，触点位置
便以光学的（红外线式触摸屏）、电子的（电 阻式触摸屏和电容式触摸屏）或声音的（声音 探测式）方式记录下来。
2021/7/22
8
图形输入设备
随机扫描（random-scan）的图形显示器中电 子束的定位和偏转具有随机性，即电子束的扫 描轨迹随显示内容而变化，只在需要的地方扫 描，而不必全屏扫描。
2021/7/22
31
随机扫描的图形显示器
2
Y
2
3
1
1
3
t
1
X
2
3
图2.16 随机扫描图形显示器的工作原理
2021/7/22
32
随机扫描的图形显示器
2021/7/22
52
2.4 显示子系统
光栅扫描图形显示子系统的结构 绘制流水线 相关概念
2021/7/22
53
光栅扫描图形显示子系统的结构
CPU
系统 主存
显示 控的光栅图形显示子系统
2021/7/22
54
光栅扫描图形显示子系统的结构
CPU
系统 主存
帧缓存
2021/7/22
41
液晶显示器——原理
液晶分子的排列在微弱的外部电场、磁场或者 应力、温度变化等作用下非常容易改变。当液 晶分子的某种排列状态在电场作用下变为另一 种状态时，液晶的光学性质随之改变，这种产 生光被电场调制的现象称为液晶的电光效应。
2021/7/22
《计算机图形学》课件
04
光照模型与阴影生成算法的应用广泛，例如在游戏开发、虚拟现实和 电影制作等领域。
纹理映射算法
纹理映射算法用于将图像或纹理贴图映射到三维物体 的表面。
输标02入题
常用的纹理映射算法包括纹理坐标、纹理过滤和纹理 压缩等。
01
03
纹理映射算法的应用广泛，例如在游戏开发、虚拟现 实和数字艺术等领域。
04
工业设计
使用CAD等技术进行产品设计和原型制作 。
游戏开发
创建丰富的游戏场景和角色，提供沉浸式 的游戏体验。
科学可视化
将复杂数据以图形方式呈现，帮助人们理 解和分析数据。
虚拟现实与增强现实
构建虚拟环境，实现人机交互，增强现实 感知。
02
计算机图形学基础知识
图像与图形的关系
图像
由像素组成的二维或三维数据，通常 用于表示真实世界或模拟的视觉信息 。
全息投影技术
总结词
全息投影技术能够实现三维立体显示，为观众提供沉浸式的 观影体验。
详细描述
全息投影技术利用干涉和衍射原理，将三维物体以全息图像 的形式呈现出来，使观众能够从不同角度观察到物体的立体 形态。这种技术将为电影、游戏和其他娱乐领域带来革命性 的变化。
增强现实技术
总结词
增强现实技术能够将虚拟信息与现实世界相结合，提供更加丰富的交互体验。
HSL和HSV模型
基于色调、饱和度和亮度（或 明度）来描述颜色。
RGBA模型
在RGB基础上增加透明度通道 。
图像处理技术
滤波和锐化
通过改变图像的像素值 来减少噪声、突出边缘
或细节。
色彩调整
改变图像中颜色的分布 和强度，以达到特定的
视觉效果。
图像分割
光照模型与阴影生成算法的应用广泛，例如在游戏开发、虚拟现实和 电影制作等领域。
纹理映射算法
纹理映射算法用于将图像或纹理贴图映射到三维物体 的表面。
输标02入题
常用的纹理映射算法包括纹理坐标、纹理过滤和纹理 压缩等。
01
03
纹理映射算法的应用广泛，例如在游戏开发、虚拟现 实和数字艺术等领域。
04
工业设计
使用CAD等技术进行产品设计和原型制作 。
游戏开发
创建丰富的游戏场景和角色，提供沉浸式 的游戏体验。
科学可视化
将复杂数据以图形方式呈现，帮助人们理 解和分析数据。
虚拟现实与增强现实
构建虚拟环境，实现人机交互，增强现实 感知。
02
计算机图形学基础知识
图像与图形的关系
图像
由像素组成的二维或三维数据，通常 用于表示真实世界或模拟的视觉信息 。
全息投影技术
总结词
全息投影技术能够实现三维立体显示，为观众提供沉浸式的 观影体验。
详细描述
全息投影技术利用干涉和衍射原理，将三维物体以全息图像 的形式呈现出来，使观众能够从不同角度观察到物体的立体 形态。这种技术将为电影、游戏和其他娱乐领域带来革命性 的变化。
增强现实技术
总结词
增强现实技术能够将虚拟信息与现实世界相结合，提供更加丰富的交互体验。
HSL和HSV模型
基于色调、饱和度和亮度（或 明度）来描述颜色。
RGBA模型
在RGB基础上增加透明度通道 。
图像处理技术
滤波和锐化
通过改变图像的像素值 来减少噪声、突出边缘
或细节。
色彩调整
改变图像中颜色的分布 和强度，以达到特定的
视觉效果。
图像分割
计算机图形学基础教程PPT课件
真实感绘制的主要任务是模拟真实物体的物理属性，简单 的说就是物体的形状，光学性质，表面的纹理和粗糙程度， 以及物体间的相对位置，遮挡关系等等。
经典的真实感图形学
光照模型
• 简单光照模型 • 局部光照模型 • 整体光照模型
绘制方法
• 光线跟踪 • 辐射度
加速算法及其他
• 包围体树、自适应八叉树等 • 阴影算法、纹理合成
Xfrog3.0生成的挪威云杉
1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH 年会， 并取得了巨大的成功
图形学的杂志和会议
会议：Siggraph， Eurograph， Pacific Graphics
Computer Graphics International，
Graphics Interface
杂志: ACM Transaction on Graphics
基于多层阴影翼的软影绘制
研究热点
真实感图形实时绘制
• 物体网格模型的面片简化，LOD, Occlusion culling
• 吴建华的牛头ห้องสมุดไป่ตู้
• 基于图象的绘制、基于Vedio绘制 • 画中游
画中游
Video from HKUST:
野外自然景物的模拟：山、水、云、树、草、火等
清 华 山 水
1999
1964年MIT的教授Steven A. Coons提出了超限插值的 新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面。
• 58年提出“CAD”概念 • 图形学最高奖以他名字命名。
70年代
光栅图形学迅速发展
• 区域填充、裁剪、消隐等基本图形概念、及其相应算法 纷纷诞生
图形软件标准化
• 1974年，ACM SIGGRAPH的与ACM成立图形标准化委 员会，制定“核心图形系统”（Core Graphics System）
经典的真实感图形学
光照模型
• 简单光照模型 • 局部光照模型 • 整体光照模型
绘制方法
• 光线跟踪 • 辐射度
加速算法及其他
• 包围体树、自适应八叉树等 • 阴影算法、纹理合成
Xfrog3.0生成的挪威云杉
1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH 年会， 并取得了巨大的成功
图形学的杂志和会议
会议：Siggraph， Eurograph， Pacific Graphics
Computer Graphics International，
Graphics Interface
杂志: ACM Transaction on Graphics
基于多层阴影翼的软影绘制
研究热点
真实感图形实时绘制
• 物体网格模型的面片简化，LOD, Occlusion culling
• 吴建华的牛头ห้องสมุดไป่ตู้
• 基于图象的绘制、基于Vedio绘制 • 画中游
画中游
Video from HKUST:
野外自然景物的模拟：山、水、云、树、草、火等
清 华 山 水
1999
1964年MIT的教授Steven A. Coons提出了超限插值的 新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面。
• 58年提出“CAD”概念 • 图形学最高奖以他名字命名。
70年代
光栅图形学迅速发展
• 区域填充、裁剪、消隐等基本图形概念、及其相应算法 纷纷诞生
图形软件标准化
• 1974年，ACM SIGGRAPH的与ACM成立图形标准化委 员会，制定“核心图形系统”（Core Graphics System）
计算机图形学基础教程习题课2(第二版)(孙家广-胡事民编著)
(1)在Q1，Q2點與Q Q1，Q Q2相切；
(2)分別在Q，Q1和Q，Q2間生成一段直線段；
(3)在Q是一尖點。
答：首先了解均勻三次B樣條曲線の端點性質。
對於每一段曲線，
已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7]
所以：k－1≤j≤n即j=3，t∈[t3,t4)
起點：t=3
同理，終點：t=4
習題3-8用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)為控制頂點，以T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]為節點向量の三次B樣條曲線在t=1/4處の值。
∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4
∴5個控制頂點控制兩段三次B樣條曲線，分別在區間[t3,t4)和[t4,t5)
∵t3≤t=1/4≤t4
∴P(t=1/4)在第一段三次B樣條曲線上，t∈[t3,t4)，該段曲線只與前四個頂點相關
由de Boor遞推公式
及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得：
習題3-11Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上の5個點。請設計一條均勻三次B樣條曲線，使曲線經過這5個點，且滿足如下設計要求：
習題3-1參是：
(2)幾何形式
描述參數曲線の條件有：端點位矢、端點切矢、曲率等。
上式是三次Hermite(Ferguson)曲線の幾何形式，F0，F1，G0，G1稱為調和函數（或混合函數）。
習題3-2設有控制頂點為P0(0,0)，P1(48,96)，P2(120,120)，P3(216,72)の三次Bézier曲線P(t)，試計算P(0.4)の(x,y)坐標，並寫出(x(t),y(t))の多項式表示。
習題3-5設一條三次Bézier曲線の控制頂點為P0，P1，P2，P3。對曲線上一點P(0.5)，及一個給定の目標點T，給出一種調整Bézier曲線形狀の方法，使得P(0.5)精確通過點T。
(2)分別在Q，Q1和Q，Q2間生成一段直線段；
(3)在Q是一尖點。
答：首先了解均勻三次B樣條曲線の端點性質。
對於每一段曲線，
已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7]
所以：k－1≤j≤n即j=3，t∈[t3,t4)
起點：t=3
同理，終點：t=4
習題3-8用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)為控制頂點，以T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]為節點向量の三次B樣條曲線在t=1/4處の值。
∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4
∴5個控制頂點控制兩段三次B樣條曲線，分別在區間[t3,t4)和[t4,t5)
∵t3≤t=1/4≤t4
∴P(t=1/4)在第一段三次B樣條曲線上，t∈[t3,t4)，該段曲線只與前四個頂點相關
由de Boor遞推公式
及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得：
習題3-11Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上の5個點。請設計一條均勻三次B樣條曲線，使曲線經過這5個點，且滿足如下設計要求：
習題3-1參是：
(2)幾何形式
描述參數曲線の條件有：端點位矢、端點切矢、曲率等。
上式是三次Hermite(Ferguson)曲線の幾何形式，F0，F1，G0，G1稱為調和函數（或混合函數）。
習題3-2設有控制頂點為P0(0,0)，P1(48,96)，P2(120,120)，P3(216,72)の三次Bézier曲線P(t)，試計算P(0.4)の(x,y)坐標，並寫出(x(t),y(t))の多項式表示。
習題3-5設一條三次Bézier曲線の控制頂點為P0，P1，P2，P3。對曲線上一點P(0.5)，及一個給定の目標點T，給出一種調整Bézier曲線形狀の方法，使得P(0.5)精確通過點T。
计算机图形学基础教程课件之附录(第二版)(孙家广 胡事民编著)
(6) 矩阵的逆
对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n 的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆， 记为B=A-1，同时A则被称为非奇异矩阵。
矩阵的逆是相互的，A同样也可记为B=A-1， B也是一个非奇异矩阵。
任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。
(7) 矩阵运算的基本性质 ① 矩阵加法适合交换律与结合律 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C ② 数乘矩阵适合分配律与结合律 α(A+B)=αA+αB α(A·B)=(αA)·B=A·αB
A.4 线性方程组的求解
对于一个有n个变量的方程组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1 a22x2 a2nxn b2
an1x1 an2x2 annxn bn
可将其表示为矩阵形式：AX=B，A为系数 矩阵。该方程有惟一解的条件是A为非奇异 矩阵，则方程的解为：X=A-1B。
用矩阵表示为：
xv a 0 bxw
yv
0
c
d
yw
1 0 0 1 1
B.2 二维图形的几何变换
用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因 此在附录B中所有的几何变换都将采用齐次 坐标进行运算。
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
a b c
d
e
f
g h i
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
附录
附录A 计算机图形学的数学基础 附录B 图形的几何变换 附录C 形体的投影变换
附录A 计算机图形学的数学基础
A.1 矢量运算
矢量是一有向线段，具有方向和大小两个 参数。设有两个矢量V1(x1, y1, z1)，V2(x2, y2, z2)。
计算机图形学基础 ppt课件
第二章 计算机图形学基础
机械CAD/CAM
虚拟现实（Virtual Reality
第二节 图形的几何变换
图形变换指对图形的几何信息经过几何变换后产生新 的图形，提出的构造或修改图形的方法。
除图形的位置变动外，可以将图形放大或缩小，或者对图形
作不同方向的拉伸来使其扭曲变形…
• 图形变换基本知识
• 二维图形基本几何变换
（4）图形编辑
如何对图形进行组合、分解、插入、裁剪等技术。
第二章 计算机图形学基础
三 计算机图形学的应用
（1）在机械设计中的应用
机械CAD/CAM
（a）工程图
（b）线框图 （c）实体图
第二章 计算机图形学基础
机械CAD/CAM
（2）科学计算可视化
广泛应用于医学、流体力学、有限元分析及气候分析中。
（3）计算机动画
第二章 计算机图形学基础
机械CAD/CAM
（4）过程监控
用曲线来模拟火箭发射的飞行轨迹，同时不断修正参数。
（5）计算机辅助教学
利用计算机图像可以清楚的表现数学曲线、几何曲面的形成。
（6）虚拟现实技术
用计算机技术来生成一个逼真的三维视觉、听觉、 触觉或嗅觉等感觉世界，让用户可以从自己的视点出发， 利用自然的技能和某些设备对这一生成的虚拟世界客体 进行浏览和交互考察。
平移变换
图形的每一个点在给定的方向上移动相同距离所得的变换称为 平图移形变在换x轴。方向的平移量为l， 在y轴方向的平移量为m，
则坐标点的平移变换：
几何关系
x' x l
y
'
ym
矩阵形式
1 0 0
x y 1＝x y 1 0
计算机图形学课后习题答案(孙家广)
第一章：P561、列出在你过去学习工作中用过与计算机图形学有关的程序c语言：#include <graphics.h>main(){int graphdriver = VGA, graphmode=VGAHI;initgraph(&graphdriver,&graphmode,””);setbkcolor(BLUE);setcolor(WHITE);setfillstyle(1,LIGHTRED);bar3d(100,200,400,350,100,1);floodfill(450,300,WHITE);floodfill(250,450,WHITE);setcolor(LIGHTGREEN);rectangle(450,400,500,450);floodfill(470,420,LIGHTGREEN);getch();closegraph();}JA V A语言：例1、画点Import java.io.*;Class point{int ax;int ay;int bx;int by;public point(int ax, int ay, int bx, int by){float k ; //计算斜率float b;k=(by-ay)/(bx-ax);b=ay-ax*k;system.out.println(“直线的方程为：y=”+k+”x”+”+”+b);}}例2、画矩形class DrawPanel extends Jpanel{public void paint(Graphics g){super.paint(g);Graphics2D g2= (Graphics 2D);Double leftx=200;Double topy=200;Double width=300;Double height=250;Rectangle2D rect= new Rectangle2D.double(leftx,topy,width,height);G2.draw(rect);}}2、列出你所用过的窗口系统中与观感有关的元素的功能，如图标、滚动棒、菜单等使用滚动条当文档、网页或图片超出窗口大小时，会出现滚动条，可用于查看当前处于视图之外的信息。
计算机图形学基础(第二版)部分习题答案
华中科技大学计算机图形学课后习题指导一、第五章5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
分析：这是典型的算法推导题，推导时需要首先确定最大位移方向，然后根据最大位移方向确定候选点，并利用候选点的中点构造判别式；根据判别式确定选择候选点的条件，然后确定判别式的递推公式以及初值。
解：5.7 利用中点Bresenham画圆算法的原理推导第一象限x＝y到y＝0圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。
分析：这是典型的算法推导题，推导时需要首先确定最大位移方向，然后根据最大位移方向确定候选点，并利用候选点的中点构造判别式；根据判别式确定选择候选点的条件，然后确定判别式的递推公式以及初值。
圆算法应该注意的是算法是从理想圆与坐标轴交点开始的。
解：在x=y到y=0的圆弧中，（R, 0）点比在圆弧上，算法从该点开始。
最大位移方向为y，由（R, 0）点开始，y渐增，x渐减，每次y方向加1，x方向减1或减0。
（注意算法的起始点）设P点坐标（xi, yi）,下一个候选点为Pr（xi, yi+1）和Pl（xi－1, yi+1），取Pl和Pr的中点M（xi－0.5, yi+1），设理想圆与y=yi+1的交点Q，构造判别式：d=F(xM, yM)=(x－0.5)2+(y+1)2－R2当d<0时，M在Q点左方，取Pr（xi,yi+1）；当d>0时，M在Q点右方，取Pl（xi－1,yi+1）；当d＝0时，M与Q点重合，约定取Pl（xi－1, yi+1）。
5.11 如图所示多边形，若采用扫描转换算法（ET边表算法）进行填充，试写出该多边形的ET表和当扫描线Y＝4时的有效边表（AET表，活性边表）。
分析：改进的有效边表算法是用软件方法实现扫描转换效率较高的算法，它利用了边表来构造有效边表。
需要注意的有以下几点：（1）构造边表时，水平边不需要构造，算法能够获取到水平边的两个端点，配对填充后水平边被填充，因此水平边的数据不参与计算。
计算机图形学完整ppt课件
工业设计
利用计算机图形学进行产品设计、仿 真和可视化，提高设计效率和质量。
建筑设计
建筑师使用计算机图形学技术创建三 维模型，进行建筑设计和规划。
计算机图形学的相关学科
计算机科学
计算机图形学是计算机科学的一个重 要分支，涉及计算机算法、数据结构、 操作系统等方面的知识。
物理学
计算机图形学中的很多技术都借鉴了 物理学的原理，如光学、力学等，用 于实现逼真的渲染效果和物理模拟。
02
03
显示器
LCD、LED、OLED等，用 于呈现图形图像。
投影仪
将计算机生成的图像投影 到大屏幕上，用于会议、 教学等场合。
虚拟现实设备
如VR头盔，提供沉浸式的 3D图形体验。
图形输入设备
键盘和鼠标
最基本的图形输入设备，用于操 作图形界面和输入命令。
触摸屏
通过触摸操作输入图形指令，常 见于智能手机和平板电脑。
多边形裁剪算法
文字裁剪算法
判断一个多边形是否与另一个多边形相交， 如果相交则求出交集部分并保留。
针对文字的特殊性质，采用特殊的裁剪算法 进行处理，以保证文字的完整性和可读性。
05
光照模型与表面绘制
光照模型概述
光照模型是计算机图形学中用于模拟光线与物体表面交互的数学模型。
光照模型能够模拟光线在物体表面的反射、折射、阴影等效果，从而增强图形的真 实感。
二维纹理映射原理
根据物体表面的顶点坐标和纹理坐标，计算出每个像素点对应的纹 理坐标，从而确定像素点的颜色值。
二维纹理映射实现方法
使用OpenGL中的纹理映射函数，将纹理图像映射到物体表面。
三维纹理映射技术
三维纹理坐标
定义在三维空间中的坐标，表示纹理图像上的位置。
计算机图形学课件讲义
齐东旭 计算机动画，分形艺术
潘云鹤 智能CAD，纺织CAD
计算机艺术——艺术领域
计算机平面绘画艺术 计算机绘画（Computer Painting）
主要指人们利用鼠标或数字压感光笔直接在屏幕或 数字化板上进行的绘画
软件包括：Corel Painter 或 Adobe Photoshop 等 该类绘画最接近于传统绘画，其画风细腻、形象生
科学和艺术是不可分割的，就像一枚硬币 的两面……”
——诺贝尔物理学奖 李政道
计算机艺术——艺术领域
含义很广 以计算机为工具，可以完成多种艺术品的 制作和设计，如绘画（平面图形）、雕塑 （立体图形）、音乐、平面构成、空间结构， 还有体操舞蹈设计等等。
其中，美术作品占比重最大 因此，计算机艺术由主要指计算机美术
计算机图形学
考核
平时成绩20% 实验成绩20% 期末成绩60%
教材
苏小红、李东、唐好选、赵玲玲等 编著，计算机图形学实用教程（第 三版），人民邮电出版社，2014年9 月
陈元琰，张晓竟，计算机图形学实用技 术，科学出版社，2000
David F. Rogers 著，石教英，彭群生等译，
参
Procedural Elements for Computer Graphics (Second Edition)计算机图形学的
动自然。但画幅一般较小，要求绘画者有较高的美 术功底。 优势为：易于修改、效果丰富、成本较低、但对于 电脑设备要求较高。
近期广泛应用于手绘动画和漫画创作。
计算机艺术——艺术领域
计算机平面合成艺术 计算机数字图像合成艺术（Computer Image
Editing and Montage Art） 主要指利用电脑对扫描或数字相机导入的
潘云鹤 智能CAD，纺织CAD
计算机艺术——艺术领域
计算机平面绘画艺术 计算机绘画（Computer Painting）
主要指人们利用鼠标或数字压感光笔直接在屏幕或 数字化板上进行的绘画
软件包括：Corel Painter 或 Adobe Photoshop 等 该类绘画最接近于传统绘画，其画风细腻、形象生
科学和艺术是不可分割的，就像一枚硬币 的两面……”
——诺贝尔物理学奖 李政道
计算机艺术——艺术领域
含义很广 以计算机为工具，可以完成多种艺术品的 制作和设计，如绘画（平面图形）、雕塑 （立体图形）、音乐、平面构成、空间结构， 还有体操舞蹈设计等等。
其中，美术作品占比重最大 因此，计算机艺术由主要指计算机美术
计算机图形学
考核
平时成绩20% 实验成绩20% 期末成绩60%
教材
苏小红、李东、唐好选、赵玲玲等 编著，计算机图形学实用教程（第 三版），人民邮电出版社，2014年9 月
陈元琰，张晓竟，计算机图形学实用技 术，科学出版社，2000
David F. Rogers 著，石教英，彭群生等译，
参
Procedural Elements for Computer Graphics (Second Edition)计算机图形学的
动自然。但画幅一般较小，要求绘画者有较高的美 术功底。 优势为：易于修改、效果丰富、成本较低、但对于 电脑设备要求较高。
近期广泛应用于手绘动画和漫画创作。
计算机艺术——艺术领域
计算机平面合成艺术 计算机数字图像合成艺术（Computer Image
Editing and Montage Art） 主要指利用电脑对扫描或数字相机导入的