非线性电路中的混沌现象实验报告

非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。

根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。

实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。

对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。

因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。

0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。

应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。

曲线关于原点对称可以得到区间 U>0 的非线性负电阻 IU 曲线：3、观察混沌现象：(1) 双周期：周期Vc 1 -t加倍（2）双倍周期：Vc 1 -t的两倍(3) 四倍期：四倍周期Vc 1 -t (4) 单吸引子：单吸引子爆发混沌三重周期Vc 1 -t (5) 双吸引子：双吸引子Vc 1 -t4. 使用计算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）：算法核心：四阶龙格-库塔数值积分法文件 1：chua.m函数 [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01；a=h/2；aa=h/6;xx=[];对于 j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a；k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a；k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h；k3=chua_map(x1,时变,aaa);x = x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；xx = [xx x]；结尾chua_initial.m第2条：函数 [x0] = chua_initial (x, aaa)h = 0.01； a = h/2; aa = h/6;x = [-0.03 0.6 -0.01] ';k0 = chua_map (x, 1, aaa);x1 = x+k0*a；k1 = chua_map (xl, 1, aaa);x1 = x+k1*a；k2 = chua_map (x1,1, aaa);x1 = x+k2*h；k3 = chua_map (x1,1, aaa);x = x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);对于 k = 2：400kO = chua_map (x, k, aaa);x1 = x+k0*a；k1 = chua_map (x1, k, aaa);x1 = x+k1*a；k2 = chua_map (x1, k, aaa);x1 = x+k2*h；k3 = chua_map (xl, k, aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3)；结尾x0=x;文件3：chua_map.m:函数[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0；m1=2/7.0；如果 xx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1；elseif abs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);别的hx=m1*xx(1)-m0+m1；结尾A=[0 9.0 01.0 -1.0 1.0o aaa 0];x=A*xx；x=x+[-9*hx 0 O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');数字;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); (2)对于这个实验，微分方程的解也可以离散化。

具体代码如下：（Matlab 代码）函数离散柴dt=0.04；c1=1/9；c2=1;L=1/7；G=0.7；N=10000；a0=0.8;a1=0.1;MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1] ;UVI=零（3，N）；UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];对于 k=1:N-1；bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd；结尾情节（UVI（1,1：结束），UVI（2,1：结束））；xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');数字;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');经验证，该代码的执行效率高于四阶龙格-库塔数值积分法，但初始精度稍差。

(2)数值模拟结果：改变G的值，当G=0.7时，数值模拟出现双吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：I-Uc1-Uc2图同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：改变 G 的值，使 G=0.35，数值模拟中出现单个吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以制作I-Uc1-Uc2的三维图：同时，Plot 可用于制作 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线：从结果可以看出，计算机数值模拟的相图特性与前述示波器非常相似。

同时，使用计算机可以很方便地改变系统参数，充分显示了计算机仿真的优越性。

六、选择做实验：费根鲍姆常数的测量：以G 为系统参数，从一个较大的值逐渐减小R V1 + R V2 ，记录倍周期分岔发生时的参数值Gn ，得到倍周期分岔之间连续参数间隔的比值：nn n n n G G G G --=+-∞→11lim δ 测量时， δn 值越大，越接近费根鲍姆常数。

由于本实验中的限制，需要使用费根鲍姆常数的近似值：132321)()(R R R R R R --≈δ 实验发现：R 1 =8700 Ω； R 2 =11060 Ω； R 3 =11829 Ω。

代入上式，我们得到：≈δ 4.1728七、实验后思考题：1. 什么是相图？为什么要使用相图来研究混沌现象？本实验的相图是如何得到的？1 (t) 和y=V2 (t) 中消去时间变量t 得到的空间曲线在非线性理论中称为相图。

在非线性理论中，我们会看到利用运动状态之间的关系更有利于揭示事物的本质，从而突出了电路系统运动的全局概念。

本实验中，示波器CH1端接Vc 1电压，CH2端接Vc 2电压，即可得到Vc 1 -Vc 2相位图。

2、什么是倍周期分岔，它在相图上有什么特点？答：系统更改某些参数后，运动周期变为原来的两倍，即系统需要两倍的时间才能恢复原来的状态。

这在非线性理论中称为倍周期分岔。

倍周期分岔在相图上显示，原来的一个椭圆变成了两个分岔的椭圆，运动轨迹从一个椭圆跑到另一个椭圆，然后在重叠点又回到原来的椭圆。

3.什么是混沌？相图有什么特点？答：混沌一般包括以下主要内容：（1） 该系统执行看似单向运动，但决定其运动规律的基本动力学是确定性的；（2） 具体结果敏感地依赖于初始条件，因此它们的长期行为是不可预测的；（3） 这种不可预测性不是由外部噪声引起的；（4） 系统的长期行为具有独立于初始条件的某些全局性和普遍性特征。

混沌出现在相图上，因为围绕某一侧的轨道似乎是随机的，但这种随机性与真正随机系统中不可预测的不规则性不同。

因为相位点似乎在不规则地四处游荡，它不会重复已经走过的路径，但也不是在具有连续概率分布的相位平面上随机游走。

类似于“线圈”的轨道本身是有界的，其中显然有一些规律。

.4. 什么是吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？相图有什么特点？答：在一定的系统条件下，无论它有什么初始条件，最终都会落入各自的最终状态集，称为“吸引子”。

周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。

5. 什么是费根鲍姆常数？在这个实验中如何测量它的近似值？ 答：对于某个系统，改变参数r ，当r=r 1时，可以看出系统从稳定周期1变为周期2，并继续改变r 。

当r=r 2时，周期2变得不稳定，同时出现周期4。

， 等等。

定义：nn n n n r r r r --=+-∞→11lim δ 常数δ称为费根鲍姆常数。

测量时， δn 值越大，越接近费根鲍姆常数。

由于本实验中的限制，需要使用费根鲍姆常数的近似值：132321)()(R R R R R R --≈δ 6、如何测量非线性电阻R 的伏安特性？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用了哪条曲线？答：测量非线性电阻R 时，从电路中取出电感，使有源非线性负电阻R 脱离移相器的连接。