圆周长、弧长

圆周长、弧长
知识点辅导
1、圆周长公式：R C π2=，其中C 为圆周长，R 为圆的半径。

把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

2、弧长公式：180
R
n l π=，其中l 为n ︒的圆心角所对弧长，R 为圆的半径。

弧长公式的推导过程为：360︒的圆心角所对的弧长为︒⇒=12R C π的圆心角所对的弧长为 ︒⇒=n nR R 1803602π的圆心角所对的弧长为︒
180R
n π。

应当注意的是：公式中的n 表示的1︒的圆心角的倍数，它不带单位。

3、圆面积公式：圆面积S 与半径R 之间的关系如下：2
R S π=。

4、扇形面积公式：圆心角为n ︒，半径为R 的扇形面积为：lR R n S 2
1
3602=π＝
扇形。

其中l 表示n ︒的圆心角所对的弧长。

（1）扇形面积公式的推导：
360︒的圆心角的扇形面积为︒⇒12
R π的圆心角的扇形面积为
︒⇒n R 360
2
π的圆心角的
扇形面积为
lR R R n S R n l R n 2
1
·180·211803602==πππ＝，故。

又因扇形。

（2）扇形面积公式与三角形面积公式的比较：
如果把扇形的弧看成一个“三角形”的“底”，把扇形的半径看成是“高”，那么扇形面积公式与三角形面积公式是类同的。

5、弓形面积的计算方法。

弓形面积的计算问题可转化为扇形面积和三角形面积的计算来进行。

（1）弧长小于半圆的弓形面积等于一个扇形面积减去一个三角形的面积。

（2）弧长等于半圆的弓形面积等于半圆面积。

（3）弧长大于半圆的弓形面积等于一个扇形面积加上一个三角形面积。

6、对一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为有面积计算公式的几何图形的面积的和或差。

知识点讲解
例1、如图∠AOB ＝120︒，圆O'的半径为r , 圆O'与、
OA 、OB 相切于点C 、D 、E 。

求
的长。

分析：要求
的长，只需求出
所在圆的半径即可。

连结OC ，由圆O'与相切知，C 、O'、O 三点共线，因
O'C =r ,故只需求OO'即可。

为此，连结O'E , 则∆O'OE 为Rt ∆，且O'E =r ，∠O'OE = 60︒，故OO'易求。

解：连结OC 、O'E 。

圆O'与
相切于点C ⇒O'在OC 上
圆O'与OA 、OB 相切
r O O E O O O 3
3
260sin ='⇒︒'=
'⇒
∴r O O C O OC ⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+='+'=1332 ∴l
()
r r ππ9
3
3221801332·120+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-
例2、如图，正方形ABCD 的边长为a ，分别以A 、D
为圆心，a 为半径作圆弧相交于E ，圆O 分别与外切，
与
内切，且与AB 相切。

求圆O 的周长。

分析：求圆O 的周长，关键是求圆O 的半径，而圆O
受到两条弧和边AB 的制约，故应充分利用这些相切的条件。

解：连结OD 、OA ，作OM ⊥AB ，OF ⊥DA 于F ， 设圆O 的半径为r 。

则OD ＝a + r ，AO ＝a –r OM ＝F A ＝r ，DF ＝a –r
在Rt ∆DOF 中，OF 2＝DO 2–DF 2 ＝(a + r )–(a –r )2 在Rt ∆FOA 中，OF 2＝OA 2–F A 2 ＝(a –r )2–r 2
∴(a + r )2–(a –r )=(a –r )2–r 2
解得：6
a r =
∴圆O 的周长3
2a
r C ππ=
=
注意：两圆相切时的计算问题（计算圆周长、弧长等），往往是通过相切的性质，构成直角三角形，因此常作连心线、圆M 和切点的连线等作辅助线。

例3、如图，A 为圆O 外一点，AO 交圆O 于P ，AB 切圆O 于B ，AP ＝ 5cm ，AB ＝35cm 。

求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分面积计算无公式可用；可转化为Rt ∆OBA 与扇形OBP 的面积差。

解：连结OB ，因AB 为圆O 的切线，故OB ⊥AB 设圆O 的半径r 在Rt ∆OBA 中，OB ＝r ，AB ＝35， OA ＝5+r
则有()
()2
2
2
53
5r r +=+
解得r =5
∵2
1
105cos ===
∠OA OB O ∴︒=∠60O
∴O BP O BA S S S 扇形阴影＝-∆
()
2
26
252325360
5·6035521cm ππ-=-⨯⨯＝
注意：本例求半径r 时，还可用切割线定理。

例4、如图，AB 为半圆的直径，C 、D 为的三等分点。

求证：
图中阴影部分的面积等于半圆面积的3
1。

分析：要证阴影部分的面积等于半圆面积的1/3，只需证阴影部
分的面积等于O CD ACD O CD S S S ∆∆＝即可，故只需证扇形。

证明：连结OC 、OD 、CD 。

C 、D 三等分半圆⇒
＝60︒
⇒∠CDA ＝∠DAB ⇒CD AB
⇒CDO CDA S S ∆∆=⇒COD S S 扇阴＝
∠COD ＝60︒⇒半圆扇＝S S COD 3
1
⇒半圆阴＝S S 3
1
例5、如图，扇形OAB 的半径为2，∠AOB ＝90︒，M 是以OB
为直径的半圆的圆心，MP OA 交于P ，MP 与半圆交于N 点，
求图中阴影部分的面积。

分析：直接从图中不宜拼凑，但作辅助线，连结OP 就容易看出：图中阴影部分的面积＝O AP MO P BMN O AB S S S S 扇形扇形扇形---∆。

解：连接OP ，已知M 是OB 的中点，则OM ＝1，OP ＝2，又MP ⊥OB ∴∠MOP ＝60 ︒，∠AOP ＝30︒，于是可得
πππ4
1
·2·412＝＝扇形扇形BMN OAB S S =
2
31253234
3
3602·30232---
-
---=
∆∆πππ
ππ
π＝＝＝则＝，＝扇形扇形扇形阴影扇形OAP MOP BMN OAB OAP MOP S S S S S S S
有些问题就更复杂，需要运用综合知识去分析不同的情况。

例6、如图，已知：圆O 半径33＝R ，A 为圆O 上一点，
过A 作一半径为r =3的圆O'。

（1）问OO'何时最长？最长时值是多少？何时最短？最短时值是多少？
（2）若两圆有另一交点为B ，且∠O'AO =90︒，求图中阴影部
分的面积。

解：（1）两圆外切时OO'最长，此时OO'=333+ 两圆相内切时OO'最短，此时OO'=333- (2)令AB 与OO'交点为C ，则AB ＝2AC ，AB ⊥OO' ∵∠O'AO =90︒，AO'=3，AO ＝33 ∴OO'=6
3332
3
22=⨯
==AC AB
2332332
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛-='C O
∠AO'C =60︒，连结O'B ，则
3
4
9
120sin 321333
1
22=︒⨯⨯⨯'∆'＝＝＝扇形AB O AB O S S π
π
∴34
9
3-
π＝阴影部分S （平方单位）
说明：一般地说，弓形面积常用面积扇形面积减去三角形面积。

有时要利用面积关系去解决线段的关系，如
例7、如图，已知：Rt ∆ABC 中，AC ＝BC ，
圆心为A ，如果图
中两个阴影部分面积相等，求AD ︰DB 。

分析：要求AD ︰DB ，实求
AD
AB AD
-，只要能求出AD 与DB 的长
就可以了，而条件中没给出边的长度，于是可设某线段边长为a （参数）即可。

解：设AC ＝ BC ＝a ,
∵︒=∠90ACB
∴a AB 2=
∵图中两个阴影部分面积相等。

∴ADF ABC S S 扇形=∆ ∴︒∠45＝A
∵228
36045AD AD S ADF π
π＝＝
扇形 又∵22
1·21a BC AC S ABC =∆＝ ∴
228
21AD a π
= ∴a AD π
2
=
∵
π
π
ππ2
22
222
-
=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=-=a
a
AD AB AD DB AD
∴2
2
2-+=ππDB AD
说明：两个阴影部分面积相等，使人很难下手，但都加上公共部分的面积转化为
ADF ABC S S 扇形=∆是一个关键步骤，这种转化方法应该注意。

有些图形的拼凑需我们更细致
地分解。