易错汇总-上海市七宝中学高一上学期数学期中试卷带答案

第 3 页（共 22 页）
| ＜1 则称 y=f（x）为 “西瓦 ”函数，否则为非 “西瓦 ”函数，判断 y=g（ x）是否是 D 上的西瓦函数？是则给出证明；如不是，说明理由并找出 D 的一个子集 M ，使 得 y=g（x）是 M 上的西瓦函数，并给出证明．
第 4 页（共 22 页）
2014-2015 学年上海市七宝中学高一（上） 期中数学试卷
10．（ 3 分）设二次函数 f （x）=ax2+bx+c（ a≠ 0），若 f（ x1）=f（x2）（其中 x1≠
x2），则
等于
．
【解答】 解：若 f（ x1）=f（x2），
则对称轴为直线
，
故
=
故答案：
．
11．（ 3 分） x，y∈ R，若 | x|+| y|+| x﹣ 1|+| y﹣1| ≤ 2，则 x+y 的取值范围为 [ 0， 2] ． 【解答】 解：根据绝对值的意义可得 | x|+| x﹣1| 表示数轴上的 x 对应点到 0、1 对应点的距离之和，其最小值为 1； | y|+| y﹣1| 表示数轴上的 y 对应点到 0、1 对应点的距离之和，其最小值为 1； 故 | x|+| y|+| x﹣1|+| y﹣ 1| 的最小值为 2． 再根据 | x|+| y|+| x﹣1|+| y﹣1| ≤2，可得 只有 | x|+| y|+| x﹣ 1|+| y﹣1| =2， 此时， 0≤x≤1，0≤y≤1，∴ 0≤x+y≤2， 故答案为： [ 0， 2] ．
则 x 的取值范围是 （﹣ 1， 3） ． 【解答】 解：∵偶函数 f（x）在 [ 0，+∞）单调递减， f（ 2） =0， ∴不等式 f（ x﹣1）＞ 0 等价为 f（ x﹣ 1）＞ f（ 2）， 即 f（ | x﹣1| ）＞ f（2）， ∴ | x﹣1| ＜ 2， 解得﹣ 1＜x＜3， 故答案为：（﹣ 1，3）
（二）填空题（ 4 分） 22．（ 4 分）对于 c＞0，当非零实数 a，b 满足 4a2﹣2ab+4b2﹣ c=0 且使 | 2a+b| 最
大时， ﹣ + 的最小值为
．
（三）解答题 12 分 23．（ 12 分）已知函数 y=g（ x）=x3﹣3x，定义域 D：﹣ 1≤ x≤ 1． （ 1）判断 y=g（ x）在 D 上的单调性； （ 2）对于函数 y=f（x），如果存在一个正常数 a，使得定义域 D 内任意两个不相 等的值 x1、x2 都有 | f（ x1）﹣f（ x2）| ＜a| x1﹣ x2| 成立，则称 y=f（ x）是 D 上的 “菜 普利茨函数 ”．证明： y=g（x）是 D 上的菜普利茨函数 （ 3）对于函数 y=f（x），对定义域 D 内任意两个值 x1，x2 都有 | f （x1）﹣ f（x2）
③若 P∪M=R，则 f（P）∪ f（M ）=R；
④若 P∪M ≠ R，则 f （P）∪ f（M ）≠ R．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
15．（ 4 分）函数 f（x）=
，若 f（0）是 f（ x）的最小值，则 a
的取值范围为（
）
A．[ ﹣1，2] B．[ ﹣1，0]
C． [ 1，2] D． [ 0，2]
．
3．（3 分） M={ x| 2x2﹣5x﹣3=0} ，N={ x| mx=1} ，若 N? M，则实数 m 的取值集
合是
．
4．（ 3 分）“＞ｘ2”是“ ”的
（填 “必要不充分 ”、“充分不必要 ”或“充要 ”）
条件．
5．（3 分）若不得式 x2﹣ax+1≤0 和 ax2+x﹣1＞0 均不成立，则 a 的取值范围
二、选择题（每小题 4 分） 12．（ 4 分）用反证法证明命题 “设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实
根 ”时，要做的假设是（
）
第 8 页（共 22 页）
A．方程 x3+ax+b=0 没有实根 B．方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C．方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D．方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 【解答】 解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， ∴用反证法证明命题 “设 a，b 为实数， 则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ”时，要 做的假设是：方程 x3+ax+b=0 没有实根．
2．（3 分）集合 M={ x|| x﹣ 3| ≤4} ，N={ y| y=

} ，则 M ∩ N= { 0} ．
【解答】 解：由 | x﹣3| ≤ 4，得﹣ 4≤x﹣3≤4，即﹣ 1≤ x≤ 7．
∴ M={ x|| x﹣ 3| ≤4} ={ x| ﹣ 1≤ x≤7} ，
由
，得 x=2．
∴ N={ y| y=
第 5 页（共 22 页）
故满足条件的实数 m∈{ 0，﹣ 2， } ． 故答案为： { 0，﹣ 2， } ．
4．（3 分） “＞ｘ2”是“ ”的 充分不必要 （填 “必要不充分 ”、“充分不必要 ”
或 “充要 ”）条件．
【解答】 解：
等价于 ﹣ ＜0，即
0，即 x（x﹣2）＞ 0，解得 x＞2
或 x＜0， 故 “＞ｘ2”? “ ”，
但由 “ ”推不出 “＞ｘ2”，
故 x＞2”是“ ”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．
5．（3 分）若不得式 x2﹣ ax+1≤0 和 ax2+x﹣1＞0 均不成立，则 a 的取值范围是 （﹣ 2，﹣ ] ． 【解答】 解：根据题意，关于 x 的不等式 x2﹣ax+1≤0，ax2+x﹣1＞0 均不成立， 则不等式 x2﹣ax+1＞0，ax2+x﹣1≤0 都恒成立． 若不等式 x2﹣ax+1＞0 恒成立， 则△ =a2﹣4＜0，解得﹣ 2＜a＜ 2； 即当﹣ 2＜a＜2 时，不等式 x2﹣ax+1＞0 恒成立； 若不等式 ax2+x﹣1≤0 恒成立， a=0 时不满足题意，应舍去； 当 a≠0 时， a 满足 a＜0，△ =1+4a≤0，解可得 a≤﹣ ， 即当 a≤﹣ 时，不等式 ax2+x﹣ 1≤ 0 恒成立； 综上可得：当﹣ 2＜a≤﹣ 时，不得式 x2﹣ax+1≤ 0 和 ax2+x﹣ 1＞ 0 均不成立，
第 2 页（共 22 页）
（ 2）若满足③的 x 值至少满足①和②中的一个，求 m 的取值范围． 18．（ 10 分）若 a＞0，b＞0，且 + = ． （Ⅰ）求 a3+b3 的最小值； （Ⅱ）是否存在 a， b，使得 2a+3b=6？并说明理由． 19．（ 12 分）设函数 f （x） =| x+ |+| x﹣a| （ a＞ 0）． （Ⅰ）证明： f（x）≥ 2； （Ⅱ）若 f（ 3）＜ 5，求 a 的取值范围． 20．（ 14 分）已知元素为实数的集合 S 满足下列条件：① 0?S，1?S；②若 a∈S， 则 ∈S．
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题 3 分） 1．（3 分）已知 M={ x| x≤1，x∈R} ， N={ x| p＜x，x∈R} ，要使 M∩N≠?，则 p 所满足的条件为 p＜ 1 ． 【解答】 解： M={ x| x≤ 1， x∈ R} ，N={ x| p＜ x，x∈R} ， 当 p≥1 时， M ∩N=?， 若 M ∩N≠ ?， 则 p＜1． 故答案为： p＜1．
是
．
6．（3 分）含有三个实数的集合既可表示为
也可表示为 { a2，
a+b， 0} ，则 a2014+b2014=
．
7．（3 分）一元二次方程 ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不
必要条件是
．
8．（3 分）（不等式选做题）
已知 a，b，m，n 均为正数，且 a+b=1，mn=2，则（ am+bn）（bm+an）的最小值
14．（ 4 分）函数 f（ x）=
其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规
定 f（ P）={ y| y=f（x），x∈P} ，f（M ）={ y| y=f（x），x∈M } ．给出下列四个判断，
其中正确判断有（
）
①若 P∩M=?，则 f（P）∩ f（M） =?；
②若 P∩M ≠ ?，则 f （P）∩ f （M）≠ ?；
为
．
9．（ 3 分）已知偶函数 f（x）在[ 0，+∞）单调递减， f（ 2）=0，若 f（x﹣1）＞0，
则 x 的取值范围是
．
10．（ 3 分）设二次函数 f （x）=ax2+bx+c（ a≠ 0），若 f（ x1）=f（x2）（其中 x1≠
x2），则
等于
．
11．（3 分）x，y∈ R，若| x|+| y|+| x﹣1|+| y﹣ 1| ≤2，则 x+y 的取值范围为
（ a2+b2）（c2+d2）≥（ ac+bd） 2
可得（ am+bn）（bm+an）≥（
+
）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当
即 m=n 时，取得最小值 2．
故答案为： 2．
9．（ 3 分）已知偶函数 f（x）在[ 0，+∞）单调递减， f（ 2）=0，若 f（x﹣1）＞0，
第 7 页（共 22 页）
条件是
解得 a＜ 0．
∴一元二次方程 ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的一个充分不必要 条件是 a＜﹣ 1． 故答案为： a＜﹣ 1．