【考试】东北三省四市长春哈尔滨沈阳大连高三第一次联合考试数学理科
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学理试题word版
哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第一次高考模拟考试理科 数 学本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0。
5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠,不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}A x x x =-≤,{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 — 4iC ．4 — 2iD ．4 + 2i3．在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为A ．10B ．-10C ．5D ．-54．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =5．直线m ，n 均不在平面α，β内,给出下列命题:① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③ 若m ⊥n ，n ⊥α,则m ∥α； ④ 若m ⊥β,α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．46．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2 + a 4 + a 6 = 12,则S 7的值是A ．21B ．24C ．28D ．7 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．23πB ．3πC ．29π D ．169π8．220sin 2xdx π=⎰ A ．0 B ．142π-C ．144π- D ．12π-9．变量x ，y 满足约束条件1,2,314,y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩若使z = ax + y 取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合是A ．{3,0}-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-10．一个五位自然数12345a a a a a ，{0,1,2,3,4,5}i a ∈，1,2,3,4,5i =，当且仅当a 1 > a 2 〉 a 3，a 3 〈 a 4 < a 5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为A ．110B ．137C ．145D ．14611．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ,以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处切线的斜率为33，则双曲线C 的离心率为 A ．31+B ．6C ．23D ．212．已知函数23log (1)1,1()32, x x kf x x x k x a -+-≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩,若存在k 使得函数()f x 的值域是[0,2],则实数a 的取值范围是A ．[3,)+∞B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．{2}第II 卷（非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ～ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i，则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a =______．14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后，与y =cosx −sinx 的图象重合，则实数m 的最小值为______ ．15. 如图，正方形中ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为________．16.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，点D在BC边上，且满足CD=√2AD=3√2，cos∠CAD=2√55．(1)求∠ADC；(2)若AB=√5，求BD．18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的月考数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．20.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．+ax，x>1．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=2，求函数f(x)的极小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81；乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3，又∵81<81+m3，∴m>0，又m∈N，∴m的可能取值集合为{1,2，3，4，5，6，7，8，9}．∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列不等式求出m的取值集合，再计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：(x+1x)10展开式的通项公式为：T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：C103−aC102=30，解得a=2．故选：D．根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，∴ℎ=√62−32=3√3，∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，考查方程思想和函数思想，以及运算能力，属于中档题．运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．解：公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，可得a152=a7a17，即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d)，解得d=−3(d=0舍去)，则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224，由于n为整数，17<1036<18，且1036−17<18−1036，则当n=17时，前n项和S n取得最大值，故选：B．7.答案：B解析：本题考查考查命题真假的判断，考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，若命题都p，￢q是真命题，则命题“p∧q”为假命题；在B中，利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题；在C中，否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”；在D中，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件．解：在A中，若命题p，￢q都是真命题，则p真q假，则命题“p∧q”为假命题，故A错误；在B中，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题，故B正确；在C中，命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C 错误；在D中，解x2−5x−6=0，得x=−1或x=6，故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．8.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程为ax±by=0，圆M：x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25，圆心M(5,0)，半径为5．∵双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，∴圆心到直线的距离为√25−9=4，∴√a2+b2=4，∴e=ca=54故选：A．确定双曲线的渐近线方程，圆心M(5,0)，半径为5，求出圆心到直线的距离，建立方程，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标．解：设P(x,y)，由任意角的三角函数的定义得，sinθ=y ，cosθ=x ． ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ)． 故选A ．10.答案：D解析：本题考查双曲线的概念和性质，属于基础题．由条件可得(2−a )+(3−a )=4，求得a ，继而可得结果． 解：因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，所以{2−a >0a −3<0，解得：a <2．因为焦距为4，所以(2−a )+(3−a )=4，解得：a =12． 所以双曲线方程为：y 232−x 252=1，其渐近线方程为：y =±√155x ．故选D ．11.答案：A解析：本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 画出函数f(x)的图象，数形结合求解是本题的关键． 解：函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图，由方程[f(x)]2−af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a ， 由图可知，f(x)=0只有一个解x =1，要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则f(x)=a有两个均不为1的解，结合图象可知a∈(0,1]．故选：A．12.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=n2，则a4=S4−S3=42−32=7．故选：C．直接利用已知条件求解即可．本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．13.答案：−3解析：本题考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．14.答案：π2解析：解：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4)，所以函数至少向左平移π2个单位，即m的最小值为：π2．故答案为：π2，化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．15.答案：2解析：本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题，属中档题．依题意折叠后的四面体如图1，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球，即可求半径．解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则AG=a，EG=FG=a2，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球．由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2，所以6=32a2，解得a=2．故答案为2．16.答案：x24+y23=1解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|，利用△PF2Q的周长为4，可得结论．解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，则a=2c，b=√3c，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2，∴|PF 2|=2c −12x 1， 连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12，∴|PM|=12x 1，∴|PF 2|+|PM|=2c ， 同理可求|QF 2|+|QM|=2c ， ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c ． ∵△PF 2Q 的周长为4， ∴c =1，∴a =2，b =√3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1．17.答案：解：(1)在△ACD 中，∠CAD ∈(0,π)，∵cos∠CAD =2√55，∴sin∠CAD =√55，∵CD =√2AD =3√2，∴CDAD =√2，∴sin∠CADsin∠DCA =√2，∴sin∠DCA =√1010， ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD)，∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22，∴∠ADC =3π4．(2)由(1)得，∠ADB =π4，在△ABD 中，∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22，∴BD =2√2或√2．解析：(1)结合正弦定理，平方关系，两角和的余弦公式可得； (2)由余弦定理可得．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010，(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)═115；P(X =1)=815；P(X =2)=25；所以X 的分布列为： X 0 1 2 P11581525所以解析：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量期望以及分布列的求法，考查计算能力． (Ⅰ)由直方图，直接求解b ，a 即可．(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数．(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)设直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1y 2=4x ，消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=8， 则△=16m 2−16>0，可得m 2>1，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， 则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4， 故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞)．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20.答案：(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ． 又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， 所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ； 又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，又BD ∩OA 1=O ，BD ⊂平面A 1BD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 故OF ⊥平面A 1BD ；而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB =4，AA 1=3， 则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E (2√3,0,32)， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)， 设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量； 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题。
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈−≤R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
东北三省三校2022届高三第一次联合模拟考试理科数学试题 含答案
毫T 呈哈尔滨师大附中2022年高三第一次联合模拟考试科理东北师大附中辽宁省实验巾学注意事项：1.答卷前，二号哇务必将向己的姓名、谁写证号填写在答题卡上．数应丘�2.回答选择题时，选山每小题答案后，用铅笔把答题卡1-.5｛才应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上元效．3.二号－试结束后，将本民卷和答题卡－·J i'-交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.复数z满足（I + i) 2 z = 2 -4i，则复数z=A.-2 + iB.-2 -iC.I -2i o.2 + i2.已知集合M=jyly=2’，x> I I ,N = !x I y =/h亏了i川IJ MU N等于人② B. J 21 C. [ I , + oo)3.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（P M2.s）的xlJl测值：396 275 268 225 168 166 176 173 188 168D.[O,+oo)141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是A.极差8.中位数C众数。
平均数4.设m,n是两条不同的直线，α，。
，γ是芝个不同的平面，下列四个命题中正确的是A.若m IIα，nllα，则l m II nB.若αiγ，βiγ，贝I J a IIβC.若α矿β，,n cα，凡矿β，则m矿，t0.若αj{3，βIIγ，m土α，则rn土γ5.等差数列iα，，i的前几J'.J i i和为乱，已知何＝10，乌＝44，则Ss=D II·2s.f C.5A.36.直线l:x+y+m=O与困C:(x+l)2+(y-1)2=4交子A,B两点，若IABI=2，则m的值为A.±ffB.±2 c.±./67.已知α，bεR，则““b笋。
2023东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学试题及答案
2023东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学试题及答案2023东北三省三校高三一模数学试题2023东北三省三校高三一模数学试题答案高三数学的答题时间应该怎么分配大家都知道，高考数学考试分为选择题、填空题、解答题三大部分，由于三部分所占的分数份额不同，难度不同，考生可以就自己平时的速度，将这三者的答题时间合理分配。
这三个部分，相对来说，高考数学选择题是可以通过排除法、答案代入法、任意数字代入法等方式得到答案，需要的时间也相对较少，填空题的计算过程通常不会太复杂，每个空格所占的分数也不会很高，因此，高考中要适当地将时间留给更好做数学解答题。
做选择题和填空题时，每道题的答题时间平均为3分钟，容易的题争取一分钟出答案。
选择题有12道，填空题有4道，每道题占5分，争取在48分钟内拿下这80分。
因为基本没有时间回头检查，要力求将试题一次搞定。
做大题时，每道题的答题时间平均为10分钟左右。
基础不同的学生对试题难易的感受不一样，基础扎实的学生如果在前面答题比较顺利，时间充裕，可以冲击最后几道大题;平时学习成绩一般的同学，对后几道大题，能做几问就做几问，争取拿到步骤分;平时成绩薄弱的考生，一般来说应主攻选择题和填空题，大题能做几问就做几问，最后答不出来的题可以选择放弃。
高三如何提高数学成绩一、课后及时回忆如果等到把课堂内容遗忘得差不多时才复习，就几乎等于重新学习，所以课堂学习的新知识必须及时复习。
可以一个人单独回忆，也可以几个人在一起互相启发，补充回忆。
一般按照教师板书的提纲和要领进行，也可以按教材纲目结构进行，从课题到重点内容，再到例题的每部分的细节，循序渐进地进行复习。
在复习过程中要不失时机整理笔记，因为整理笔记也是一种有效的复习方法。
二、定期重复巩固即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。
可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期中、期末进行全面系统的学期复习。
2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案
东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
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【关键字】考试东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理科)本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页，试卷满分150分，做题时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分。
共60分，在每小题的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
请将正确选项填涂在答题卡上)1．复数，则A．1 B．．D．52．已知集合，，则A．B．(1，3) C．(1，) D．(3，)3．已知、为两条直线，、为两个平面，下列四个命题①∥，∥∥；②∥；③∥，∥∥；④∥，其中不正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个4．在中，、分别是角、所对的边，条件“<”是使“>”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列满足，则A．1024 B．．2048 D．20476．过点P(2，3)向圆上作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线方程为A．B．C．D．7．将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象A．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)B．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)C．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)D．先向左平移个单位，然后再沿轴将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)8．已知实数、满足，则的最大值为A．1 B．．8 D．99．四张卡片上分别标有数字“、“、“、“，其中“可当“用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为A．6 B．．18 D．2410．函数在处连续,则=A ．0B ．．一1 D ．211．已知是上的可导函数，对于任意的正实数，都有函数 在其定义域内为减函数，则函数的图象可能为下图中12．定长为的线段的两端点都在双曲线的右支上，则中点的横坐标的最小值为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分。
共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上) 13．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 . 14．已知=(3，2)，=(一1，2)，上，则实数 . 15．,则 .16．已知，且，则关于三个数：； 1221b a b a +；2121b b a a +的大小关系说法：①2211b a b a +最大；②1221b a b a +最小；③2121b b a a +最小；④1221b a b a +与2121b b a a +大小不能确定，其中正确的有(将你认为正确说法前面的序号填上)．三、解答题(本大题共6小题。
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数x x x f 42cos sin )(+=． (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 的值域．18．(本小题满分12分)某次摇奖活动，摇奖机内有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝、黑的4种玻璃球各4个，每次按下摇奖机开关，可随机摇出10个球，按同色球的数目由多到少顺序产生一个四位号码，例如：由3个红球，1个黄球，2个蓝球，4个黑球产生的号码为4321；若是2个红球，3个黄球，3个蓝球，2个黑球，则号码为3322，兑奖规则如下：一等奖号码为4420，可获奖金88元；二等奖号码为4411，可获奖金8元；三等奖号码为4330，可获奖金l 元；其余号码则需付费2元． (1)求摇奖一次中奖的概率；(2)求摇奖一次庄家获利金额的期望值．(最终结果均用最简分数表示)19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2π=∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ∆是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角D PC B --的大小．20．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，且8=AB ，动点P 满足35AP PB =，设点P 的轨迹为曲线C ，定点)0,4(M ，直线PM 交曲线C 于另外一点Q ． (1)求曲线C 的方程； (2)求OPQ ∆面积的最大值．21．(本小题满分12分)设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ．(1)设nn T b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ； (2)设22221n n T T T S +++= 求证：41211-≤<-+n n n a S a ．22．(本小题满分12分)设)0()1ln()(>+=x xx x f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a 、使得关于x 的不等式ax x <+)1ln(在(0，∞+)上恒成立，若存在， 求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由； (3)求证：*∈<+N n e nn,)11( (其中e 为自然对数的底数).东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，满分60分)1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．A 12．C 简答与提示： 1．555243==++=ii z ，故选C .2．∵{}{}),3(,12),,1()1(log 2+∞=∈+==+∞=-==A x y y B x y x A x ∴),3(+∞=B A ，故选D ．3．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ． 4．B A B A b a cos cos >⇔<⇔<，故选C ．5．利用叠加法及等比数列求和公式，可求得1023121010=-=a ，故选B .6．以PO 为直径的圆与圆122=+y x 的公共弦即为所求，直线方程为0132=-+y x ，故 选B ．7．)22sin(2cos π+==x x y ，将x y sin =的图象先向左平移2π个单位得到)2sin(π+=x y 的图象，再沿x 轴将横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变)得到)22sin(π+=x y 的图象，故选A ．8．在点(0，一1)处目标函数取得最大值为9，故选D ．9．先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有23C 种填法，再排另两张卡片有22A 种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成1222223=A C 个四位数，故选B ． 10．依题意112)1)(1(22)1412(lim lim lim 1121=+=+--=---+++→→→x x x x x x x x x ，∴1=a ，故选B ．11．因为函数)()()(x f t x f x g -+=在其定义域内为减函数，所以0)()()(<'-+'='x f t x f x g 恒成立，即)(x f '为减函数(切线斜率减小)，故选A ．12．ca c a FB FA c a c a x c a x x x x B A B A M2222)(21)(21)(21++=+-+-=+=，∵l AB FB FA =≥+，∴2222)2(2)2(2ba a l a c a l a c a c al x M ++=+=+≥，当A 、F 、B 三点共线时取得最小值，故选C ．二、填空题(每题5分．共20分} 13．3 14．51- 15．28 16．①③ 简答与提示： 13．∵V 正四面体 Sr r R S 314)(31⨯=+=，∴r R 3=. 14．∵b b a ⊥+)(λ，∴051)(2=+=+⋅=⋅+λλλb b a b b a ，∴51-=λ．15．∵[][]83831)1(2)1()2()1(--++-=-++x x x x ，∴6262866)1(28)1()1()1(-=--=-x x C x a ，∴286=a ．16．∵0))(()()(212112212211>--=+-+b b a a b a b a b a b a ， ∴12212211b a b a b a b a +>+，∵0)())(()()(211221121211221>-=--=+-+b a a b b a b b a a b a b a ， ∴21211221b b a a b a b a +>+，故①③正确．三、解答题(满分70分)17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质． 解：(1)∵)sin 1(cos sin cos sin )(22242x x x x x x f -+=+=874cos 8142sin 1cos sin 1222+=-=-=x x x x (4分) ∴242ππ==T ． (2)当Z k k x ∈=,24π，即2πk x =时，1)(max =x f ， ， (6分) 当Z k k x ∈+=,24ππ，即42ππ+=k x ，43)(min =x f ，∴函数)(x f 的值域为[43，1]． (10分)18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．解．(1)中一等奖的概率为100191016241224=C C C C ， (2分)中二等奖的概率为1001121016141424=C C C C ， (4分) 中三等奖的概率为100124101634341314=C C C C C ， (6分) ∴摇奖一次中奖的概率为100145100124129=++ (7分) (2) 由(1)可知，摇奖一次不中奖的概率为10019561001451=- (9分) 设摇奖一次庄家所获得的金额为随机变量ξ，则随机变量ξ的分布列为：ξ 88- 8-1- 2 P10019 100112 100124 1001956∴1001100010019562100124)1(100112)8(10019)88(=⨯+⨯-+⨯-+⨯-=ξE ∴摇奖一次庄家获利金额的期望值为10011000元 (12分)19．本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用． 解法一：(1)证明： 取AB 中点为O ，连结PO 、OC ， ∵△PAB 是等边三角形，∴AB PO ⊥又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴⊥PO 底面ABCD ，∴OC 为PC 在底面ABCD 上的射影， 又∵22===AD BC AB ， 2π=∠=∠DAB ABC ，∴OBC DAB ∆≅∆， ∴DBA BCO ∠=∠， ∴OC BD ⊥， ∴PC BD ⊥．(2)取PC 中点E ，连结BE 、DE ， (6分)∵BC PB =． ∴PC BE ⊥．又∵PC BD ⊥，B BD BE = ，∴⊥PC 平面BDE ，∴⊥PC DE ，∴BED ∠是二面角D PC B --的平面角. (9分)∵22===AD BC AB ，2π=∠ABC ，∴5,221=====BD PD PC PE BE ． ∴3=DE ，∴222BD DE BE =+， ∴2π=∠BED ，∴二面角D PC B --的大小为2π(12分) 解法二：证明：(1) 取AB 中点为O ，CD 中点为M ，连结OM ， ∵△PAB 是等边三角形，∴AB PO ⊥，又∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴⊥PO 底面ABCD ，∴以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图， (2分)∵22===AD BC AB ，△PAB 是等边三角形， ∴3=OP ，∴)3,0,0(),0,1,1(),0,2,1(),0,0,1(),0,0,0(P D C B O -． ∴)3,2,1(),0,1,2(-=-=PC BD ． ∵022=+-=⋅PC BD ∴PC BD ⊥．(2)设平面PBC 的法向量为),,(1111z y x n = ∵)0,2,0(),3,0,1(=-=BC PB∴⎩⎨⎧==-0203111y z x令11=z ，则0,311==y x ，∴)1,0,3(1=n (8分)设平面PCD 的法向量为),,(2222z y x n =， ∵)3,1,1(),0,1,2(-==DP DC ，∴⎩⎨⎧=+-=+030222222z y x y x ，令2,122-==y x ，则32-=z ，∴)3,2,1(2--=n (10分)∴0222)3(1)2(013,cos 212121=⨯-⨯+-⨯+⨯=⋅=n n n n n n ，∴2,21π=n n ，∴二面角D PC B --的大小为2π. (12分) 20．本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力解：(1)设),(),,0(),0,(y x P b B a A ，则),(),,(y b x y a x --=-=∵53=,∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-)(5353y b y x a x ，∴y b x a 38,58==， (3分)又822=+=b a AB ，∴192522=+y x ∴曲线C 的方程为192522=+y x (6分) (2)由(1)可知，M (4，0)为椭圆192522=+y x 的右焦点，设直线PM 方程为 4+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+4192522my x y x 消去x 得，08172)259(22=-++my y m ，∴25919025981)259(4)72(22222++=+⨯+⨯+=-m m m m m y y Q P (9分) ∴9251202591902212222++=++⨯=-=∆m m m m y y OM S Q P OPQ2153820191612091611202222=≤+++=+++=m m m m ， 当1916122+=+m m ，即37+=m 时取得最大值， 此时直线方程为01273=-+y x . (12分)21．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n nn n n ， ∴)2(,11≥-=-n T T T n nn (2分) ∴)2(,1111≥-=-n T T n n ， ∵nn T b 1=∴)2(,11≥=--n b b n n . (4分) ∵,1n n a T -=∴11111T a T -=-=，∴211=T ， ∴2111==T b ， ∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴1)1(2+=-+=n n b n ，∴111+==n b T n n ， ∴1111+-=-=n T a n n ． (7分) (2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n n ， ∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n211-=+n a ∴n n S a <-+211 (10分)当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n41112141-=+-+=n a n ， 当1=n 时，41411211-===a T S ，∴41-≤n n a S . (12分)22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质 的方法，考查分析问题和解决问题的能力． 解：(1)∵)0(,)1ln()(>+=x x x x f ∴2)1ln(1)(x x x xx f +-+='， (1分)设)0(),1ln(1)(≥+-+=x x xxx g .∴0)1()1()1(111)1(1)(222≤+-=++-=+-+-+='x xx x x x x x x g ，∴)(x g y =(1+z)在)[∞+,0上为减函数． (3分)∴0)0()1ln(1)(=≤+-+=g x x xx g ， ∴0)1ln(1)(2<+-+='x x x xx f ， ∴函数xx x f )1ln()(+=在),0(+∞上为减函数． (5分)(2)ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立，0)1ln(<-+⇔ax x 在),0(+∞上恒成立， (6分) 设ax x x h -+=)1ln()(，则0)0(=h ，∴a xx h -+='11)(， (7分) 若1≥a ，则)[∞+∈,0x 时，011)(≤-+='a xx h 恒成立，∴ax x x h -+=)1ln()(在)[∞+,0上为减函数 ∴0)0()1ln(=<-+h ax x 在),0(+∞上恒成立，∴ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立， (9分) 若0≤a 显然不满足条件， 若10<<a ，则011)(=-+='a x x h 时，11-=ax ， ∴)11,0-⎢⎣⎡∈ax 时0)(≥'x h ，∴ax x x h -+=)1ln()(在)11,0-⎢⎣⎡a上为增函数， 当)11,0-⎢⎣⎡∈a x 时，0)1ln()(>-+=ax x x h ， 不能使ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立，∴1≥a (10分) (3)由(2)可知1)1ln(<+xx 在),0(+∞上恒成立, ∴1)1ln(1<+xx ， ∴e x x<+1)1(， 取n x =1，即可证得e nn <+)11(对一切正整数n 成立． (12分)此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。