向量法求夹角课件

∵底长为1，棱长为 2
F
E
A
DE1 3 = FE1 又 DF 3
B
∴ △FDE1为等边三角形 ∴∠ FE1D= 60°
D C
解法2：建立如图所示的直角坐标系。
B
3 2
,
3 2
,0
，
C1
1,
3,
2 ， D 0,
3,0 ，
z
E1
1 2
,
3, 2
2 .
A1
BC1
1 2
,
3, 2
2
，DE1
B1
∴ D1B ·n = 0 D1B ⊥ n D1B 平面A1EC1
D1B ∥ 平面A1EC1
2 证明面面垂直 验证两个平面的法向量的点积是否为零。
如图设 n1, n2 分别是平面 、β的法向量 当 n1 ·n2 = 0 时 a⊥β
n1
n2
β
3、求直线和平面所成的角
g1
A
θ
βB C
A
g2
θ
分析:(1)设 OA = a OB = b OC = c
求出 OE ,BF, 然后可求 cos OE ,BF
a
F
c
= OE ·BF
|OE | |BF |
b
A
C
O'
E
(2)可过点O作OO’⊥平面ABC于点O’，若OO’与
B
BF所成的角为θ 0 ，则BF与平面ABC所成的角为
2
2
解:(1)设正四面体O—ABC的棱长为1,
9
3
∴ |OO’| 6 3
c
a
F
cos OO’,BF = OO’ ·BF
|OO’| |BF |
A
=
1(
3
a
+b
+c
)·( 1c－b
2
)
b
C O' E
B
6 3
32
2
1
a• c
1
b•
c
1
c
2
a•
b
2 b
b•
c
3 2
2
2
cos OO’,BF
2
1
a• c
1
b•
c
1
c 2
a•
b
2 b
b•
c

3 2
2
2
O
2 1 1 1 1 1 1 3 4 4 2 2 2
c
a
F
2 3
arccos 2
3
b
A
C
O' E
∴ 评求析B:利F与用平向面量A讨B论C线所面成关的系角不2需作arc辅co助s 线32，但ar需cs要in 正32确
B
设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的 向量。
1 2
,
3, 2
2 .
B1
F1 C1
E1 D1
3
= ∴cos BC1 ,DE1
BC1 ·DE1 2 1 |BC1| |DE1| 3 2 A
F
E
故 BC1 ,DE1= 60°
D
x
B
C
y
∴ E1D与BC1所成的角是60°
故应选 B
一 法向量： 如果一个向量所在直线垂直于平面，则 该向量是平面的一个法向量。
D A
C B
OD1= OB1 B1E = BE
OE ∥BD1 BD1平面A1C1 E
OE 平面A1C1 E
D1
A1
O
E
C1
B1
BD1∥平面A1C1 E
证法二：如图所示建立直角坐标系,且设 正方体的棱长为2, D1(0,0,0),
B(2,2,2), A1(2,0,0), C1(0,2,0), E(2,2,1)
2
O
2
OO’= OC +CO’ = c
2 CE 3
c
a
F
= c 2 ( OE－ OC )
b
3
A
C
=c
2 [1(
32
a
+
b
)－
c
]
O' E
B
1(
3
a
+b
+c
)
|OO’|2 1 ( a +b + c )2
9
1 9
(
|a|2
+
|b|2+|c|2
+2
a
·b
+2 c ·b +2 a ·c
)
O
1 3 3 2
βB
C
设直线BA与平面β的夹角为θ，
n
n 为平面β的法向量,
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1
θ=
2
g1
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2
n
θ=
g
2
2
例1 如图所示,已知正四面体O—ABC， E、F分别是AB、OC的中点。
(1) 求OE与BF所成的角； （2）求BF与平面ABC所成的角。
O
1 2
cos OE ,BF = OE ·BF
1 2
|OE | |BF | 3 • 3
22
2 3
∴OE与BF所成的角为 arccos 2
2
3A
O
c
a
F
b
C
E B
（2）求BF与平面ABC所成的角。
(2)作OO’⊥平面ABC于点O’，设OO’与BF所成
的角为θ 0 ,则BF与平面ABC所成的角为
∴ D1B =(2,2,2)
z
A1E =(0,2,1) C1E =(2,0,1)
D
设平面A1EC1的法向量为 n = (x,y,z)A
∴ A1E ·n =2y+ z =0 C1E ·n =2x+ z =0
令 x =1 时，z =－2 ，y =1
∴ n = (1 ,1, －2 )
D1
xA1
C
B E
C1 y
OA = a OB = b OC = c
则 OE
a
·b
1(
2
= a
c ·b
+b
=
)
a ·c BF
1 |a |= 2
1c－b
2
|b
|=
|c
|=
1
OE ·BF
=
1(
2
a
+b
)·( 1c－b
2
)
a
O
c
F
b
1 ( 1 a ·c
22
+
1 2
b
·c
－a
·b－|b
|2
A
)
E
C
B
1 1 1 1 1
24 4 2
的底面边长为1,侧棱长为 2 ,则这个
棱柱的侧面对角线 E1D与BC1所成的角是（ B ）
A.90° B. 60° C. 45° D. 30° (2002年全国高考）
解法一：连结FE1、FD 、BC1
∴四边形BFE1C1是平行四边形 ∴ FE1∥ BC1
F1 A1
B1
C1
E1 D1
∴∠ FE1D是异面直线E1D与BC1所成的角或补角
向量法求夹角
1 求直线和直线所成的角
利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。
设异面直线a、b的夹角为θ
Ba
AB ·CD
cosθ =| cos AB , CD| =
|AB|·|CD|
A
C
Db
β
θ = AB , CD 或 θ =π－ AB , CD
[例1] 正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1
4.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
a
n1 g n2
b 设 n1 ,n2 = g
l
设a —l —b的平面
角为
g
－g
a
n1 g n2
两个平面的法向量同时指向或背离。
b
l
n1
g
a
n2
设 n1 ,n2 = g
b 设a —l —b的平面
l
角为
g
g
两个平面的法向量一个指向另一个背离。
n1
a
n2
b
二 法向量的主要作用
1 证明线面平行 取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。
设平面β的法向量为 n , a 是 a 的方向向量. a
an
a ·n = 0 aβ
a∥β
β
例1.如图,正方体ABCD——A1B1C1D1 中,E是的BB1中点,
求证:BD1∥平面A1C1 E
法一：证明：连B1D1交A1C1于O 连OE