(高二下数学期中15份合集)山东省德州市高二下学期数学期中试卷合集

高二下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．若全集{}2,1,0,1-=U ，{}3|2<∈=x Z x A ，则=A C U （ ▲ ）A.{}2B.{}2,0C.{}2,1-D.{}2,0,1-2．已知复数z 满足i z i 31)1(-=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在（ ▲ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知 2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则=)]21([f f （ ▲ ）A. 13-B. 13C. 3D. 3-4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ▲ ） A. 若//,//m n αα，则//m n B. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥C. 若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥5．等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“41a a <”的（ ▲ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ▲ ）2cmA. 5B. 325+C. 225+D. 77．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a bya x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在点A ，使1230F AF ∠=，且线段1AF 的中点在y 轴上，则双曲线的离心率是（ ▲ ）A. 32+B. 3C. 332 D. 32 8．把函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向右平移23π个单位长度后与原图像重合，则当ω取最小值时，()f x 的单调递减区间是（ ▲ ）42251055俯视图左视图正视图A.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B.7[,]()1212k k k Z ππππ--∈ C.225[,]()318318k k k Z ππππ-+∈ D.272[,]()318318k k k Z ππππ--∈9．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则)32sin(π+B 的最小值是（ ▲ ）A. 0B. 1-C.23 D. 23- 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误．．的是（ ▲ ）A. 函数)0()(2≥=x x x f 存在“和谐区间”B. 函数)(3)(R x x x f ∈+=不存在“和谐区间”C. 函数)0(14)(2≥+=x x xx f 存在“和谐区间” D. 函数)81(log )(-=xc c x f （0>c 且1≠c ）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．椭圆22143x y +=的长轴长是 ▲ ，离心率是 ▲ ． 12．设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ．则=n a ▲ ；数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，=n ▲ ．13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-020101x y x y x ，则y x z +=2的最大值为 ▲ ；22)1()1(++-y x 的最小值为 ▲ ．14. 若函数221,0(),0(2),0x x x f x a x g x x ⎧+->⎪==⎨⎪<⎩为奇函数，则=a ▲ ，=-)]2([g f ▲ ．15. 已知)cos()(m x x x f ++=为奇函数，且m 满足不等式01582<+-m m ，则实数m 的值为▲ ．16.正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段C A 1上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是▲ ．17．设M 是ABC ∆内一点，32=⋅，︒=∠60BAC ，定义),,()(p n m M f = 其中p n m ,,分别是MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积，若),,2()(y x M f =，a yx =+41，则a a 22+的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 18．（本小题满分14分）已知函数21cos cos sin 3)(2+-=x x x x f . （1）求函数)(x f 的对称轴；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若3,1)(==a A f ，ABC ∆的面积为32，求cb +的值.19．（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面⊥PCD 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，3,4====PD PC AD AB .（1）求证：AD PC ⊥；（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.20．（本小题满分15分）已知函数x x x ae x f x23)(23---= )(R a ∈ （1）当1=a 时，求)(x f y =在0=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在]1,1[-上单调递减，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分15分）已知M 是抛物线C :)0(22>=p py x 上异于原点O 的动点，)10(),20(，，B A -是平面上两个定点.当M 的纵坐标为43时，点M 到抛物线焦点F 的距离为1. （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MA 交C 于另一点1M ，直线MB 交C 于另一点2M ，记直线21M M 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k . 求证：21k k ⋅为定值，并求出该定值.1510ABCP22．（本小题满分15分）已知各项为正的数列{}n a 满足：11=a ，12431++=+n n n a a a （*∈N n ）.（1）求432,,a a a ；（2）证明：0)2)(2(1<--+n n a a （*∈N n ）；（3）记数列{}|2|-n a 的前n 项和为n S ，求证：))31(1(23))173(1(1417n n n S -≤≤-.第二学期高二年级期中联考数学答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11. 4；21 12. 412+-n ；20 13. 7；2214. 0；7- 15.23π 16. ]3,6[ππ 17. ),983[+∞ 三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）18.解：（1）)62sin(2cos 212sin 23)(π-=-=x x x x f …………3分 由Z k k x ∈+=-,262πππ得Z k k x ∈+=,23ππ所以函数)(x f 的对称轴为Z k k x ∈+=,23ππ. …………7分 ()（2）1)62sin()(=-=πA A f),0(π∈A )611,6(62πππ-∈-∴A262ππ=-∴A3π=∴A …………9分ABC ∆ 的面积为323243sin 21==∴bc A bc 8=∴bc …………11分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得24)(2)(922-+=--+=c b bc bc c b33)(2=+∴c b33=+∴c b …………14分19. （1）证明： 侧面⊥PCD 底面ABCD ，⊂AD 平面ABCD 又 平面⋂PCD 平面CD ABCD =，且CD AD ⊥ ⊥∴AD 平面PCDPC AD ⊥∴ …………7分（2）由题易知PCD ∆在CD 上的高为5，所以525421=⨯⨯=∆PCD S 由（1）知⊥AD 平面PCD ，所以523523131=⨯⨯=⨯⨯=∆-AD S V PCD PCD A 由（1）知PD AD ⊥，所以2921=⨯⨯=∆PD AD S PAD 记点C 到平面PAD 的距离为h 则h h h S V PAD PAD C 23293131=⨯⨯=⨯⨯=∆- 因为PCD A PAD C V V --= 所以5223=h ，得354=h …………12分 记直线AC 与平面PAD 所成角为θ则15545354sin ===AC h θ 所以直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值为1554. …………15分 （其他解法，如利用面面垂直找平面PAD 的垂线，作出线面角；或建空间直角坐标系，用空间向量解题，按步酌情给分.）20. 解：（1）1=ax x x e x f x23)(23---=∴ 22)(2---='∴x x e x f x 1)0(-='=∴f k 1)0(=f∴)(x f y =在0=x 处的切线方程为)0(1--=-x y ，即01=-+y x……6分（2）22)(2---='x x ae x f x )(x f 在]1,1[-上单调递减∴022)(2≤---='x x ae x f x在]1,1[-上恒成立 ……8分即xe x x a 222++≤在]1,1[-上恒成立 ……10分 记xex x x g 22)(2++= 0)(2≤-='x ex x g 恒成立，且显然)(x g 不是常数函数.∴)(x g 在]1,1[-上单调递减 eg x g 5)1()(min ==∴ ……13分 ea 5≤∴ ∴实数a 的取值范围是ea 5≤. ……15分 21. 解：（1） 点M 到抛物线焦点F 的距离为1 ∴点M 到准线的距离为1 1432=+∴p ，得21=p ∴抛物线方程为y x =2……5分（2）设)0)(,(2≠m m m M ，),(2111x x M ，),(2222x x Mmm k AM22+=∴直线AM 的方程为：222-+=x mm y ……7分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=yx x mm y 2222，得02222=++-x m m x 由0>∆得22≠m ，即2±≠m 21=mx mx 21=∴ ……10分 同理可得：mx 12-= ……13分 mx x x x x x k 1212122211=+=--=∴m m m k ==22 ……14分 1121=⨯=⋅∴m mk k ∴21k k ⋅为定值1 ……15分22.解：（1）371243112=++=a a a17331243223=++=a a a831671243334=++=a a a ……3分 （2）)2(1211222124321-+-=++-=-++=-+n n n n n n n a a a a a a a ……6分0>n a 0121<+-∴n a21-∴+n a 与2-n a 异号0)2)(2(1<--∴+n n a a ……8分（3）由（2）知)2(12121-+-=-+n n n a a a ))2(121(12111-+-+-=--n n n a a a （2≥n ）)2()12)(12(111-++=--n n n a a a （2≥n ）所以)12)(12(122111++=----+n n n n a a a a （2≥n ） …… 10分 0,01>>-n n a a 1)12)(12(101<++<∴-n n a a （2≥n ）122011<--<∴-+n n a a （2≥n ）21-∴-n a 与21-+n a 同号又0312,01221>=-<-=-a a ∴当)(12+∈-=N k k n 时，02<-n a当)(2+∈=N k k n 时，02>-n a ①当2≥n 且n 为偶数时021<--n a 2211->-∴-+n n a a 11-+>∴n n a a∴数列{})(12+-∈N k a k 递增且各项都小于2②当2≥n 且n 为奇数时021>--n a 2211-<-∴-+n n a a 11-+<∴n n a a∴数列{})(2+∈N k a k 递减且各项都大于2 ∴由①②知，21a a a n ≤≤371≤≤∴n a ……12分 由（2）知|121||121||2||2|1+=+-=--+n n n n a a a a31|121|173≤+≤n a ∴31|2||2|1731≤--≤+n n a a 又1|2|1=-a11)31(|2|)173(--≤-≤∴n n n a ……14分 31)31(1171173(1--≤≤--∴n n n S ） ∴))31(1(23))173(1(1417n n n S -≤≤- ……15分高二下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞3}2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i3．f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．﹣x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）4．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．执行下面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）27．若a=20.5，b=logπ3，c=log2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从大学理工类专业的A班和文史专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试，统计得到成绩与专业的列联表：①K2统计量：（其中n=a+b+c+d）；②独立性检验的临界值表：A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关9．已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．711．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）12．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x成立，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=x+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为．14．已知函f（x）=，f（x0）＞3，x0的取值范围是．15．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为．16．将全集正正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n行的从左到右的第3个数是．三、解答题：本大题共4小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．18．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是．19．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x﹣3＜0}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞3}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先对两个集合进行化简，再根据集合运算的性质求集合（C U A）∩B【解答】解：A={x|x+1＜0}=（﹣∞，﹣1），B={x|x﹣3＜0}=（﹣∞，3），∴C U A=[﹣1，+∞）∴（C U A）∩B=[﹣1，3）故选A2．复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C．3．f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x3﹣ln（1﹣x）B．﹣x3+ln（1﹣x）C．x3﹣ln（1﹣x）D．﹣x3+ln（1﹣x）【考点】3L：函数奇偶性的性质；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】可令x＜0，则﹣x＞0，应用x＞0的表达式，求出f（﹣x），再根据奇函数的定义得，f（x）=﹣f（﹣x），化简即可．【解答】解：令x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x3+ln（1+x），∴f（﹣x）=（﹣x）3+ln（1﹣x），又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣ln（1﹣x），∴当x＜0时，f（x）=x3﹣ln（1﹣x）．故选C．4．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．5．执行下面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C6．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决，【解答】解：∵1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）=（2n﹣1）2，故选B7．若a=20.5，b=logπ3，c=log2，则有（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数和指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，＜log21=0．∴a＞b＞c．故选：A．8．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从大学理工类专业的A班和文史专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试，统计得到成绩与专业的列联表：①K2统计量：（其中n=a+b+c+d）；②独立性检验的临界值表：A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据表中数据计算统计量K2，参考临界数据得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算统计量K2==≈4.912＞3.841，参考临界数据知，有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．故选：D．9．已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．【解答】解：f（x）=x2+2x+1﹣2x=（x+1）2﹣2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）﹣h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（﹣∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h（x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．10．函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】6D：利用导数研究函数的极值；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C11．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②对任意的x1，x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是（）A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】错误：③函数f（x+2）的图象关于Y轴对称，应该是：③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．由条件可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数．根据f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（1），f（6.5）=f（1.5），再利用函数在[0，2]上是增函数可得结论．【解答】解：由①可得函数的图象关于直线x=4对称；，由②可得函数在[0，2]上是增函数；由③可得函数f（x+2）为偶函数，故f（2﹣x）=f（2+x），故函数f（x）的图象关于直线x=2对称．综上可得，函数f（x）是周期等于4的周期函数，且函数在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数．再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），故有 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），故选A．12．在R上定义运算：，若不等式对任意实数x成立，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】依定义将不等式变为x2﹣x﹣（a2﹣a﹣2）≥1，整理得x2﹣x+1≥a2﹣a，对任意实数x 成立，令（x2﹣x+1）min≥a2﹣a，解出a的范围即可求出其最大值．【解答】解：由定义知不等式变为x2﹣x﹣（a2﹣a﹣2）≥1，∴x2﹣x+1≥a2﹣a，对任意实数x成立，∵x2﹣x+1=≥∴a2﹣a≤解得≤a≤则实数a的最大值为故应选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=x+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为9.5 ．【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据得=7， =5.5，利用样本点的中心（，）在线性归回方程对应的直线上，求出，可得线性回归方程，x=12代入，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得=7， =5.5，由（，）在直线=x+，得=﹣，即线性回归方程为=x﹣．所以当x=12时， =×12﹣=9.5，即他的识图能力为9.5．故答案为：9.5．14．已知函f（x）=，f（x0）＞3，x0的取值范围是（8，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，对x的范围分类，分别解不等式f（x0）＞3，求出表达式的解，可得f（x0）＞3，则x0的取值范围．【解答】解：当x≤0时，，可得此时不等式无解，当 x＞0时，log2x0＞3，解得 x0＞8，分析可得，f（x0）＞3，则x0的取值范围是：（8，+∞）故答案为：（8，+∞）15．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为[﹣1，+∞）．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增．由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥﹣1，∴不等式的解集为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．16．将全集正正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n行的从左到右的第3个数是．【考点】F1：归纳推理．【分析】前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，由此能求出第n行第3个数为1+2+…+（n﹣1）+3，整理即得．【解答】解：前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）=个，即第n﹣1行的最后一个数是，所以第n行的=．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】33：函数的定义域及其求法；18：集合的包含关系判断及应用；4K：对数函数的定义域．【分析】要使f（x）有意义，则需由≥0按分式不等式的解法求解，要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，然后按照B⊆A，求解．【解答】解：由≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0由a＜1得a+1＞2a，∴B=（2a，a+1）∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1即a≥或a≤﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[）18．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；26：四种命题的真假关系；3F：函数单调性的性质．【分析】首先要解出命题p是真命题的条件a≤﹣4或a≥4．和命题q是真命题的条件a≥﹣12．然后根据已知因为p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q必为一真一假．所以实数a的取值范围为“a≤﹣4或a ≥4”和“a≥﹣12”的并集，即可得到答案．【解答】解：命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，等价于△=a2﹣16≥0，所以a≤﹣4或a≥4．命题q；关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，等价于﹣≤3，所以a≥﹣12．因为p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假．所以实数a的取值范围为它们的并集即（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）．故答案为（﹣4，4）∪（﹣∞，﹣12）19．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意， =×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x万件，需另投入的成本为C（x）（单位：万元），当年产量小于80万件时，C（x）=x2+10x；当年产量不小于80万件时，C（x）=51x+﹣1450．假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【考点】5D：函数模型的选择与应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时， =，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．高二下学期期中数学试卷一.选择题（每题5分）1．复数的共轭复数是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i2．演绎推理“因为f′（x0）=0时，x0是f（x）的极值点，而对于函数f（x）=x3，f′（0）=0，所以0是函数f（x）=x3的极值点．”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．全不正确3．若=1﹣ai，其中a是实数，i是虚数单位，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣14．直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（）A．1 B．2 C．2 D．45．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是﹣1﹣2i、2﹣i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）A．3+i B．3﹣i C．1﹣3i D．﹣1+3i6．已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．7．用数学归纳法证明等式：1+2+3+...+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．（k+1）+（k+2）+ (2)8．函数f（x）=x2﹣ln（2x）的单调增区间是（）A．（0，] B．[，+∞] C．（﹣∞，﹣]，（0，）D．[﹣，0），（0，]9．若函数f（x）=ax3﹣x+10在x∈R内是减函数，则（）A．a≥0 B．a≤﹣1 C．a＜0 D．a≤010．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．C．1 D．012．已知函数f（x）=cosx+e﹣x+x2016，令f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1=f n′（x），则f2017（x）=（）A．﹣sinx+e﹣x B．cosx﹣e﹣x C．﹣sinx﹣e﹣x D．﹣cosx+e﹣x二.填空题13．定义运算，若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z= ．14．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，﹣，，﹣，，它的第8个数可以是．15．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示，椭圆C： +=1（a＞b＞0）可以被认为由圆x2+y2=a2作纵向压缩变换或由圆x2+y2=b2作横向拉伸变换得到的．依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为．16．已知直线y=mx（m∈R）与函数的图象恰好有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题17．已知曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线l1平行直线4x﹣y﹣1=0，且点P0在第三象限，（1）求P0的坐标；（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．18．（1）设f（x）=，求f（x）dx的值；（2）若复数z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i，且为纯虚数，求|z1|．19．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）若gx）=f（x）e x，求g（x）的单调区间．20．（1）已知a，b是正实数，求证：≥．（2）已知：A，B都是锐角，且A+B≠90°，（1+tanA）（1+tanB）=2，求证：A+B=45°．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1．复数的共轭复数是（）A．i+2 B．i﹣2 C．﹣2﹣i D．2﹣i【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数==﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选B．2．演绎推理“因为f′（x0）=0时，x0是f（x）的极值点，而对于函数f（x）=x3，f′（0）=0，所以0是函数f（x）=x3的极值点．”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．全不正确【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据题意，由函数的极值与导数的关系分析可得大前提错误，结合演绎推理三段论的形式分析可得答案．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选：A．3．若=1﹣ai，其中a是实数，i是虚数单位，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件得答案．【解答】解：∵ ==1﹣ai，∴﹣a=1，a=﹣1．故选：D．4．直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】根据积分的几何意义即可求出对应的面积．【解答】解：由得x3=2x，解得x=0或x=或x=﹣，则由对称性可知所求面积S=2（2x﹣x3）dx=2（x2﹣x4）|=2（2﹣）=2（2﹣1）=2，故选：B5．在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是﹣1﹣2i、2﹣i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）A．3+i B．3﹣i C．1﹣3i D．﹣1+3i【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设一个正方形的三个顶点A（0，0），B（2，﹣1），D（﹣1，﹣2），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得AB⊥AD，再由正方形ABCD的对角线互相平分，运用中点坐标公式，即可得到C的坐标，进而得到所求复数．【解答】解：一个正方形的三个顶点对应的复数分别是﹣1﹣2i、2﹣i、0，可设A（0，0），B（2，﹣1），D（﹣1，﹣2），由k BA=﹣，k AD=2，可得AB⊥AD，由正方形ABCD的对角线互相平分，可得BD的中点坐标为（，﹣），即有C的坐标为（1，﹣3），对应的复数为1﹣3i．故选：C．6．已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，注意函数的定义域．【解答】解：设切点坐标为（m，n），（m＞0），y=﹣2lnx+1的导数为y′=x﹣，可得切线的斜率为m﹣=1，解方程可得m=2，（﹣1舍去）．则切点的横坐标为2．故选：B．7．用数学归纳法证明等式：1+2+3+...+2n=n（2n+1）时，由n=k到n=k+1时，等式左边应添加的项是（）A．2k+1 B．2k+2 C．（2k+1）+（2k+2） D．（k+1）+（k+2）+ (2)【考点】RG：数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+…+2k，到n=k+1时，左端左端为1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+…+2k）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+（2k+1）+（2k+2），∴由n=k到n=k+1时需增添的项是（2k+1）+（2k+2）．故选：C．8．函数f（x）=x2﹣ln（2x）的单调增区间是（）A．（0，] B．[，+∞] C．（﹣∞，﹣]，（0，）D．[﹣，0），（0，]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣=，令f′（x）≥0，解得：x≥，故f（x）在[，+∞）递增，故选：B．9．若函数f（x）=ax3﹣x+10在x∈R内是减函数，则（）A．a≥0 B．a≤﹣1 C．a＜0 D．a≤0【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣1≤0恒成立，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣x+10在x∈R内是减函数，∴f′（x）=3ax2﹣1≤0恒成立，即a≤，∴a≤0，故选：D．10．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A． B．C． D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．11．已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）=（）A．B．C．1 D．0【考点】63：导数的运算；3T：函数的值．【分析】为一常数，所以先对f（x）求导，在将x=代入即可求出，。