RLC串联电路的零输入响应
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程,并 利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨 论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论 电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程 序分析高阶动态电路。
§9－1 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
uC(t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
得到电感电流的零输入响应
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duC dt
(2e2t 2e2t 4te2t )A
4te2t A
(t 0)
uC(t ) (e2t 2te2t )V iL (t) iC(t) 4te2t A
(t 0) (t 0)
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t) K1es1t K2es2t
(9 5)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC(0) K1 K2 (9 6)
对式(9－5)求导,再令t=0得到
duC (t ) dt
uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
R s1，2 2L
R 2 1 3 2L LC
32
8
3
1
2 4
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到
uC (t )
K
e2t
1
K
e4t
2
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ,L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R 2 1 2 2L LC
22
4
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
duC dt
(3e2t
4e4t )A
(t 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线,可以看出电路
各元件的能量交换过程。
u C (t)(6 e 2t4 e 4t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL (t) ( 3 e 2 t 4 e 4 t)(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS (t)
(9 1)
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。
零输入响应方程为
LC
d 2 uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(9 2)
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0 (9 3)
其特征根为
R s1，2 2L
R
2
1
2L LC
(9 4)
iL(0)=1A得到以下两个方程:
uC(0) K1 K2 2
duC (t ) dt
t0
2K1
4K2
iL (0) C
4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
uC(t) (6e2t 4e4t )V
(t 0)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
iL(t)
iC(t) C
根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形
曲线,如图9－3所示。
(a) 电容电压的波形
(b) 电感电流的波形
图9－3 临界阻尼情况
u C (t)( e 2 t 2 te 2 t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iLwk.baidu.comt)4te2t(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
t0
K1s1 K2s2
iL (0) C
(9 7)
求解以上两个方程,可以得到
K
＝1 1 s2－s1
s2uC
(0)
iL (0) C
K
＝1 2 s1－s2
s1uC
(0)
iL (0) C
由此得到电容电压的零输入响应,再利用KCL方程和电 容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。
例9-1 电路如图9-1所示,已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R，L，
C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1. R 2
L C
时，
s1 ,
s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1 , s2
为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3.
R2
L C
时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
为了得到图9－1所示RLC
串联电路的微分方程,先列出
KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
uR (t) uL (t) uC(t) uS (t)
i(t
)
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duc dt
uR
(t)
Ri(t )
RC
duc dt
uL (t )
L di dt
LC
d2uc dt 2
根据前述方程得到以下微分方程
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程,并 利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨 论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论 电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程 序分析高阶动态电路。
§9－1 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
uC(t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
得到电感电流的零输入响应
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duC dt
(2e2t 2e2t 4te2t )A
4te2t A
(t 0)
uC(t ) (e2t 2te2t )V iL (t) iC(t) 4te2t A
(t 0) (t 0)
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t) K1es1t K2es2t
(9 5)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC(0) K1 K2 (9 6)
对式(9－5)求导,再令t=0得到
duC (t ) dt
uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
R s1，2 2L
R 2 1 3 2L LC
32
8
3
1
2 4
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到
uC (t )
K
e2t
1
K
e4t
2
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ,L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R 2 1 2 2L LC
22
4
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
duC dt
(3e2t
4e4t )A
(t 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线,可以看出电路
各元件的能量交换过程。
u C (t)(6 e 2t4 e 4t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL (t) ( 3 e 2 t 4 e 4 t)(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS (t)
(9 1)
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。
零输入响应方程为
LC
d 2 uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(9 2)
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0 (9 3)
其特征根为
R s1，2 2L
R
2
1
2L LC
(9 4)
iL(0)=1A得到以下两个方程:
uC(0) K1 K2 2
duC (t ) dt
t0
2K1
4K2
iL (0) C
4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
uC(t) (6e2t 4e4t )V
(t 0)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
iL(t)
iC(t) C
根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形
曲线,如图9－3所示。
(a) 电容电压的波形
(b) 电感电流的波形
图9－3 临界阻尼情况
u C (t)( e 2 t 2 te 2 t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iLwk.baidu.comt)4te2t(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
t0
K1s1 K2s2
iL (0) C
(9 7)
求解以上两个方程,可以得到
K
＝1 1 s2－s1
s2uC
(0)
iL (0) C
K
＝1 2 s1－s2
s1uC
(0)
iL (0) C
由此得到电容电压的零输入响应,再利用KCL方程和电 容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。
例9-1 电路如图9-1所示,已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R，L，
C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1. R 2
L C
时，
s1 ,
s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1 , s2
为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3.
R2
L C
时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
为了得到图9－1所示RLC
串联电路的微分方程,先列出
KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
uR (t) uL (t) uC(t) uS (t)
i(t
)
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duc dt
uR
(t)
Ri(t )
RC
duc dt
uL (t )
L di dt
LC
d2uc dt 2
根据前述方程得到以下微分方程