RLC串联电路的零输入响应
高二物理竞赛课件RLC串联电路的零输入响应
iC 2 (t )
C2
duC 2 (t ) dt
34
d dt
t
[e 25 (t)]
[12
(t
)
12
e
t
25
(t
)]A
25
iC
2
(t
)
[12
(t
)
12 25
e
t
25
(
t
)]A
电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷 的跳变量 :
q2 C2uC2(0 ) C2uC2(0 ) (3 4 0) C 12 C
根据节点电荷不变的原则可得
C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) C1uC1(0 ) C2uC 2 (0 ) (C1 C2 )1 uC (0 )
uC 1 (0
)
uC 2 (0
)
uc
(0
)
C1uC1(0 ) C1
C2uC C2
2
(0
)
210 0 V 4 V 5
2）t = ∞ 时
0.1s
例. 在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F，R=5 ， uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开关S闭合后的uc1(t) 、 ic1(t)、 uc2(t)和ic2(t)。
解：1）换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0 t = 0+时两电容并联 ，必有
uC1(0 ) uC2(0 ) uC (0 )
5) 求uL2 (t)
uL2
(t)
L2
diL2 (t ) dt
2
d
t
[(3 e 0.15 ) (t ) ]
dt
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)= –1V， iL(0)= 0；t≥0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t≥0。
( ) 解：电路固有频率为
s1, 2 = –
R 2L
R
2
–
1
2L
LC
=–2
电路属于临界阻尼状态。
iL(t) = K1e –2 t + K2te –2 t A，t≥0
O 0.5
t
图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
duC dt
=
– uC(0)2Cte – t + iL(0)(1–t)e – t A t≥0
（8-31）
电路分析基础——第二部分：8-3
2/3
从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但 如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 < 4L/C，则响应将为震荡性。 因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临 界阻尼(critically damped)情况。
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt
电路实验报告
实验一 元件特性的示波测量法一、实验目的1、学习用示波器测量正弦信号的相位差。
2、学习用示波器测量电压、电流、磁链、电荷等电路的基本变量3、掌握元件特性的示波测量法，加深对元件特性的理解。
二、实验任务1、 用直接测量法和李萨如图形法测量RC 移相器的相移ϕ∆即uC u sϕϕ-实验原理图如图5-6示。
2、 图5-3接线，测量下列电阻元件的电流、电压波形及相应的伏安特性曲线（电源频率在100Hz~1000Hz 内）： （1）线性电阻元件（阻值自选）（2）给定非线性电阻元件（测量电压范围由指导教师给定）电路如图5-7 3、按图5-4接线，测量电容元件的库伏特性曲线。
4、测量线性电感线圈的韦安特性曲线，电路如图5-55、测量非线性电感线圈的韦安特性曲线，电源通过电源变压器供给，电路如图5-8所示。
图 5-7 图 5-8这里，电源变压器的副边没有保护接地，示波器的公共点可以选图示接地点，以减少误差。
三、思考题1、元件的特性曲线在示波器荧光屏上是如何形成的，试以线性电阻为例加以说明。
答：利用示波器的X-Y方式，此时锯齿波信号被切断，X轴输入电阻的电流信号，经放大后加至水平偏转板。
Y轴输入电阻两端的电压信号经放大后加至垂直偏转板，荧屏上呈现的是u x,u Y的合成的图形。
即电流电压的伏安特性曲线。
3、为什么用示波器测量电路中电流要加取样电阻r，说明对r的阻值有何要求？答：因为示波器不识别电流信号，只识别电压信号。
所以要把电流信号转化为电压信号，而电阻上的电流、电压信号是同相的，只相差r倍。
r的阻值尽可能小，减少对电路的影响。
一般取1-9Ω。
四、实验结果1．电阻元件输入输出波形及伏安特性2．二极管元件输入输出波形及伏安特性实验二 基尔霍夫定律、叠加定理的验证 和线性有源一端口网络等效参数的测定一、实验目的1、加深对基尔霍夫定律、叠加定理和戴维南定理的内容和使用范围的理解。
2、学习线性有源一端口网络等效电路参数的测量方法3、学习自拟实验方案，合理设计电路和正确选用元件、设备、提高分析问题和解决问题的能力 二、实验原理 1、基尔霍夫定律：基尔霍夫定律是电路普遍适用的基本定律。
二阶电路分析——LC震荡的推导
二阶电路分析——LC 震荡的推导如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KV L ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。
1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。
特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= （9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9.11) 可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得时刻对+=0t ()t u C t 的导数的初始值为 ()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。
根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。
()t u C 的波形如图9. 17所示。
（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况RLC串联电路是由电感、电阻和电容三个元件组成的电路。
在该电路中，当电源不加电时，电感和电容会有一定的电荷和电流分布，这种分布会导致零输入响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路中的元件之间会通过内部能量的转移来产生一种响应。
在RLC串联电路中的零输入响应，临界阻尼是其中一种情况。
当电路中的电阻大小等于阻尼电阻临界阻值时，电路呈现临界阻尼特性。
临界阻尼是指电路中的电荷和电流衰减的速度最快，衰减到零的时间最短。
在临界阻尼情况下，电路的阻尼电阻大小等于等效电阻R，即R=2√(L/C)，其中L表示电感的感值，C表示电容的容值。
在临界阻尼情况下，电路的特性如下：1.电路的过渡过程较快：在临界阻尼条件下，电路的过渡过程最快，电荷和电流的衰减速度较大，因此电路的过渡时间相对较短。
2.电路的振荡最小：临界阻尼条件下，电路没有振荡现象，电荷和电流没有来回变化的过程。
电路的响应呈现出衰减的趋势，最终衰减至零。
3.电路的振荡频率：在临界阻尼情况下，电路的振荡频率为共振频率，即f=1/(2π√(LC))。
在RLC串联电路临界阻尼情况下，可以通过解微分方程的方法求解零输入响应。
设电容电压为v(t)，电感电流为i(t)。
电路的微分方程为：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(t)dt = 0对该微分方程进行求解，并考虑初始条件，可以得到电流i(t)的表达式：i(t) = I_0e^(-Rt/2L)[cos(ωt) + (R/2L)sin(ωt)] + I_1e^(-Rt/2L)[sin(ωt) - (R/2L)cos(ωt)]其中，I_0和I_1为常数，ω为角频率，ω=√(1/LC-(R/2L)^2)。
零输入响应主要体现在电感电流i(t)和电容电压v(t)的变化上。
通过解析上述表达式，可以得到i(t)和v(t)的变化规律。
在临界阻尼情况下，电路的过渡过程较快，电流和电压的大小随时间呈指数衰减的趋势，直至衰减到零。
串联RLC电路分析
02 2 t K 2 sin 02 2 t
K2 K1
02 2 t
其中
2 K K12 K 2
arctan
4）无阻尼情况（ R 0 ），方程的解形式如下：
uC (t ) K cos 0t
uC V
uC V
过阻尼情况
F ( s) L
f (t ) 0
f (t )e st dt
其中 s j 称为复频率。 拉普拉斯逆变换：
f (t ) 2 j 1
j
j
F ( s)e st ds
拉普拉斯变换的性质
性质 线性性质 微分规则 积分规则
关系式
L a1 f1 (t ) a2 f2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
由前面的分析可知通解部分随着时间而衰减，最终会衰减为零，我们所关心的是它 的特解部分，也就是它的稳态响应。
U 其中，
Cm
Um (1 LC ) ( RC )
2 2 2
C arctan(
CR ) 1 LC 2
为了得到正弦稳态响应，而去求解微分方程，这种方法显得呆板而繁琐，不利于实 际应用，那么有没有一种更简单方便的方法用来求解此类电路（二阶电路）正弦稳 态响应？
0
1 LC
0
），微分方程有如下形式的解：
uC (t ) K1es 1 t K2es 2 t
2）临界情况（
0
），方程解的形式如下：
uC (t ) K1est K2test
3）欠阻尼情况（
）且 R 0 ，方程解的形式如下 0
RLC并联电路的零状态响应和全响应
1 C
iL (0 )
1 2
2
1Vs
和
uC(0 ) uC(0 ) 10V 带入上式得：
A1 A1
12 A2
10 1
解方程求得：
A1 A2
2 1
X
解（续）
uC(t) (2 t)et 12 12 (2 t)et V i(t) C duC(t) 2[et (2 t)et ] 2(1 t)et A
为变量的电路方程为：
LC
d2uC (t dt 2
)
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
X
解（续）
将元件参数带入微分方程并整理得：
d2uC ( dt 2
t
)
2
duC (t dt
)
uC
(t
)
12
特征方程为：s2 2s 1 0
求得特征根为：s1 s2 1
因为特征根为两个相等的负实根，所以电路处于临 界阻尼状态，通解具有如下形式：
200mH
uC(0 ) 0
-
t 0时：
LC
d2iL (t ) dt 2
L R
diL (t) dt
iL (t)
4
1 L 1 200103
R 100 2
C2
250106 14.14
特征根为一对共轭复根，电路处于欠阻尼状态。
X
解（续）
d2iL dt
(t
2
)
40
diL (t dt
)
20000iL
uCh (t ) ( A1 A2t )et
因为激励为直流，所以设特解为：uCp (t ) B
X
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
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uC(0) K1 (9 9)
对式(9－5)求导,再令得到
duC (t ) dt
t0
K1s
K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程,可以得到
(9 10)
K1 uC(0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果,代入式（9－8）得到电容电压的 零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感 电流的零输入响应。
四、欠阻尼情况
当 R 2 L 时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复
C
数根，它们可以表示为
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
2
0
2 2
将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到
uc (t ) K1e2t K2te2t
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值 iL(0)=0得到以下两个方程
uC(0) K1 1
duC(t ) dt
t0
2K1
K2
iL (0) C
0
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2,得到电容电 压的零输入响应
DNAP程序可以画出响应的波形。
三、临界情况
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实
数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t ) K1est K2test
(9 8)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。令 式(9-5)中的t=0得到
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率
R s1，2 2L
R 2 1 3 2L LC
32
8
3
1
2 4
将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到
uC (t )
K
e2t
1
K
e4t
2
(t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值
t0
K1s1 K2s2
iL (0) C
(9 7)
求解以上两个方程,可以得到
K
＝1 1 s2－s1
s2uC
(0)
iL (0) C
K
＝1 2 s1－s2
s1uC
(0)
iL (0) C
由此得到电容电压的零输入响应,再利用KCL方程和电 容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。
例9-1 电路如图9-1所示,已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。
当 R2
L C
时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的
实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式
uC(t) K1es1t K2es2t
(9 5)
式中的两个常数K1,K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC(0) K1 K2 (9 6)
对式(9－5)求导,再令t=0得到
duC (t ) dt
LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
uS (t)
(9 1)
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。
零输入响应方程为
LC
d 2 uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
(9 2)
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0 (9 3)
其特征根为
R s1，2 2L
R
2
1
2L LC
(9 4)
duC dt
(3e2t
4e4t )A
(t 0)
从图示电容电压和电感电流的波形曲线,可以看出电路
各元件的能量交换过程。
u C (t)(6 e 2t4 e 4t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL (t) ( 3 e 2 t 4 e 4 t)(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
uC(t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
得到电感电流的零输入响应
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duC dt
(2e2t 2e2t 4te2t )A
4te2t A
(t 0)
uC(t ) (e2t 2te2t )V iL (t) iC(t) 4te2t A
(t 0) (t 0)
电路微分方程的特征根,称为电路的固有频率。当R，L，
C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1. R 2
L C
时，
s1 ,
s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时，s1 , s2
为两个相等的实根。临界阻尼
情况。
3.
R2
L C
时， s1 , s2 为共轭复数根。欠阻尼情况。
二、过阻尼情况
为了得到图9－1所示RLC
串联电路的微分方程,先列出
KVL方程
图9－1 RLC串联二阶电路
uR (t) uL (t) uC(t) uS (t)
i(t
)
iL
(t
)
iC
(t
)
C
duc dt
uR
(t)
Ri(t )
RC
duc dt
uL (t )
L di dt
LC
d2uc dt 2
根据前述方程得到以下微分方程
第九章 二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程,并 利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨 论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论 电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程 序分析高阶动态电路。
§9－1 RLC串联电路的零输入响应
一、RLC串联电路的微分方程
例9-2 电路如图9-1所示。已知已知R=1 ,L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电 流的零输入响应。
图9－1 RLC串联二阶电路
解:将R,L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R 2 1 2 2L LC
22
4
根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形
曲线,如图9－3所示。
(a) 电容电压的波形
(b) 电感电流的波形
图9－3 临界阻尼情况
u C (t)( e 2 t 2 te 2 t)(t)V
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
iL(t)4te2t(t)A
电 感 电 流 的 零 输 入 响 应 波 形
iL(0)=1A得到以下两个方程:
uC(0) K1 K2 2
duC (t ) dt
t0
2K1
4K2
iL (0) C
4
K1=6 K2=-4
最后得到电容电压的零输入响应为
uC(t) (6e2t 4e4t )V
(t 0)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应
iL(t)
iC(t) C