配方法 (3)
配方法(3)讲学稿
配方法（3）班别：______________ 姓名：___________一、教学目标1、能熟练运用配方法解一元二次方程；2、建立适当的一元二次方程模型解决实际问题；二、教学过程1、温故知新解下列方程（1）091852=-x-x x（2）01762=-x+2、认识新知（1）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。
下面分别是小明、小亮和小颖的方案，你理解他们的方案吗？其中花园四周小路的宽度都相等，你能帮小明求出路宽吗？小亮的方案如图2--6所示，其中花园每个角上的扇形都相同。
你能求出图中的x 吗？图2---6小颖的方案如图2—7所示，你能求出图中的x吗？图2--71、解下列方程（1）52342=-x x （2）x x 2452-=2、如图，在一块长35m 、宽26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条相互垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m 2，道路的宽应为多少？四、快乐小测1、解下列方程（1）0222=-+x x （2）x x 5232=-2、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降至了580元，设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是（ ）A.1185)1(5802=+xB. 580)1(11852=+xC. 1185)1(5802=-xD. 580)1(11852=-x3、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程：_________________________；你能用配方法解方程：)0(02≠=++a c bx ax。
22.2.1一元一次方程的解法(2)配方法3
Байду номын сангаас
则x _____
y
探究
如果
a, b为实数， a b 3a
2 2 1 2
37 b 0 16
则 a4
b ___
用配方法解下列方程.
1. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 2. x2 – x +56 = 0 ; 3. -3x2+22x-24=0.
用配方法解下列方程.
2. 3x2 + 2x – 3 = 0 ;
3. 4x2+4x+10 =1-8x
例：解方程： （ x 1) 8(2 x 1) 15 0 2
2
综合应用
例1. 用配方法解决下列问题: 1. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2 .
2.证明:代数式8x2-12x+ 7的值恒大于0.
拓展与探索
1 、用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零.
2、试说明： 不论x取何值，代数式2x2+5x-1
的值总比代数式x2+8x-4的值大.
x, y为实数，
2 2
探究一
x y 2x 4 y 7 的最小值是 _____
如果x y 4 x 6 y 13 0,
1、配方法：
通过配方,将方程的左边化成一个含未知数 的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直 接开平方求出方程的解的方法. 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
(1)化二次项系数为1 （2）移项 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
用配方法解下列方程.
22.2.1配方法(第3课时)
方程的二次项系 数不是1时，为便于 配方，可以让方程的 各项除以二次项系 数．
x1 1, x 2
1 2
.
3x 3
移项，得
2
6x 4 0
为什么方程两 边都加12？
2
3x 6 x 4,
2
二次项系数化为1，得 x 2 x 配方 x 2 x 1
x _____ ( x _____) . 3
2
１
例1 解下列方程：
1 x
2
8 x 1 0；
为什么方程 两边都加上42？ 加其他数行吗？
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得
x4 １ 5,
x1 4 15, x2 4 15.
2x 2
移项，得 2x2－3x=－1, 二次项系数化为1，得
2
1 3 x；
3 2 x
2
x
2
2
1 2
,
配方
x
2
1 3 3 x , 2 2 4 4 3
3 1 , x 4 16
2
由此可得
x
3 4
1 4
,
2 2
4 3
,
4 3 1
1 ,
2
x 1
2
. 3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
解下列方程
3 3x 4 4x
Hale Waihona Puke 2 6x 4 0 6x 3 0
用配方法解一元二次方程的方法总结
用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。
其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。
（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。
（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。
(4)直按开平方:求出方程的解。
同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。
配方法(3)
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
复习
回顾
1、（1）x2―3x+=(x―)2（2）x2―5x+=(x―)22、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x(2)x2―5x+4=0
学
习
提
纲
在一块长16米、宽12米的矩形荒地上，要建造一座花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半
年级
九
课题
配方法（三）
授课时间
9.21
学
习
提
纲
2、如图所示：小明设计了如下的方案（设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？
一元二次方程的解是什么？符合条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
二次备课
设计人
王勇
使用人
王勇飞王勇贾光荣
审签人
学习
目标
1．利用方程解决实际问题。
1、如图所示：小明设计了如下的方案：（内部的矩形做花园）
设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？一元二次方程的解是什么？这两个解都合要求吗？为什么？
二次备课
达标检测
自己设计一种方案。
拓展延伸
一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？
日期
次数
等级
1、一个直角三角形的斜边长7厘米，一条直角边比另一条直角边长1厘米，求两条直角边的长度
2、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米）另三边用木栏围成，木栏长40米
（1）鸡场的面积能达到180平方米吗？能达到200平方米吗？
3.配方法
NO.3 配方法教学内容：利用配方法解一元二次方程．教学目标：掌握将方程配成完全平方形式再运用开平方法降次解方程．重难点关键： 变形技巧(配方方法)预习导学：阅读课本31页至34页，并完成以下问题解方程：①3x 2-1=5 ②4(x -1)2-9=0 4x 2+4x +1=9教学过程一、复习引入（1）解方程：22315(1)90x x -=--=①，②（归纳直接开平方法：2x a x ==若，则（2）式子269x x -+是完全平方式吗？你求出方程：2694x x -+=的解吗？二、学习新知你又能求方程：2430x x -+=的解吗？（1）请填空：22222212()3()5()x x x a a a y y y -+=-++=+-+=- ①，②③（2）探讨：222212430434434(2)12113x x x x x x x x x x -+=→-=-→-+=-+→-=→-=±→==，（3）请模仿解方程：22670320x x x x --=-+=①，②你还能解方程：22740x x +-= 吗？22222221277777817927402742()2()()224441644142x x x x x x x x x x x x +-=→+=→+=→++=+→+=→+=±→==-， 方法归纳：①常数项移到右边一次项和二次项放在左边，②将二次项系数化为1，③两边同时加上一次项系数一半的平方，④写成平方式2()x m n +=结构，⑤直接开平方求解。
（4）配方填空练习：222222210()5()()3x x x a a a y y y ++=+-+=--+=- ①，②③ （5）解方程练习：222214202480102132x x x x x x x x -+=--=--=+=①，②，③，④ 三、能力拓展①已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.②求证：无论x 取何值，式子2243x x -+的值恒不小于1.③已知2246130x x y y -++=，求()z xy 的值.四、归纳小结本节课我们学习了如何将将一元二次方程配方，化成2()(0)x a b b +=≥形式，然后直接开平方求解。
2.2_配方法(新)3
学习目标：
1．利用方程解决实际问题．
2．训练用配方法解题的技能
学习重点：利用方程解决实际问题
学习难点：对于开放性问题的解决，即如何设计方案
学习过程：
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+=(x―)2
（2）x2―5x+=(x―)2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x(2)x2―5x+4=0
二、探索新知
.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？
分析:方法一
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列一元二次方程是：
（2）一元二次方程的解是什么？
2.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 ．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 ？
2、P62第一题
四、学习反馈：本节课我的收获是：
2.2配方法（3）练案
1、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A、
B、
C、
D、
2.汉中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 ，则可列方程为（）
A． B． C． D．
3.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．
4.已知方程 的解也是方程 的解，求代数式 的值
新鲁教版八年级下册数学 《用配方法解一元二次方程(3)》教案
第八章一元二次方程２．用配方法解一元二次方程（3）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已经学习过开平方根的定义以及完全平方公式，在上节课学生初步学习了配方法解二次项系数为1的一元二次方程，这些为本节课学习解二次项系数不为1的方程打下较好的基础。
学生活动经验基础：上一课时，学生已经经历了二次项系数为1的方程的解的过程，已经体会到其中转化的思想方法，这些都成为完成本课任务的活动经验基础。
二、教学任务分析在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程以及利用一元二次方程解决实际问题。
这节课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，为此，本节课的教学目标是：①经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能；②经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想；③能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节复习回顾活动内容：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤。
活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x2-6x-40=0移项，得x2-6x= 40方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x2-6x+32=40+32即（x-3）2=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以x1=10,x2=-4学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。
配方法 (3)
配方法（第一课时）教学目标：1、会用开平方法解形如(x+m)2=n (n ≥0)的方程；2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
教学程序：一、复习：1、解下列方程：（1）x 2=9 （2）(x+2)2=162、什么是完全平方式？利用公式计算：（1）(x+6)2 （2）(x －12 )2注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）x 2+12x －15=0二、新授：1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）如：x 2+12x －15=0 转化为(x+6)2=51两边开平方，得x+6=±51∴x 1=51 ―6 x2=―51 ―6(不合实际)因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2（2）x 2―12x+ =(x ― )2（3）x 2+8x+ =(x+ )2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：例1：解方程：x 2+8x ―9=0分析：先把它变成(x+m)2=n （n ≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x 2+8x=9配方，得：x 2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方）即：(x+4)2=25开平方，得：x+4=±5即：x+4=5 ，或x+4=―5所以：x 1=1，x 2=―95、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、巩固练习：P50，随堂练习：1四、小结：（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎样配方？五、作业：P50习题2.3 1、2六、教学后记。
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案
八年级数学（五四制）82用配方法解一元二次方程（3）教案【配方法解一元二次方程第三课时】教学设计一、教学目标：1.知识目标：(1)探究并掌握配方法解一元二次方程的一般步骤。
(2)能熟练、正确地进行配方法解一元二次方程。
3.情感与态度目标：(1)通过配方法解一元二次方程的学习与应用，体会转化思想的应用，培养学生运算能力。
(2)增加学生合作学习交流的机会，尽量让学生参与到小组当中，感受与他人合作的重要性以及逐渐形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
二、教学重点：配方法解一元二次方程的一般步骤。
三、教学难点：熟练正确地计算每一个过程。
四、教学方法：小组讨论、问题式教学、探究式教学、师生合作五、课前准备：导学案六、教学过程：教学过程师生课堂活动学生行为预测设计意图一、学习目标师：前面已经学过用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，那么如何用配方法解一次项系数是奇数或者二次项系数不是1的一元二次方程呢？今天继续探讨配方法解一元二次方程。
请一个同学读一下本节课的学习目标。
★★学生能够认真听讲，跟随老师的思路进入课堂。
★学生听讲不认真，思路跟不上。
带着问题进入课堂，引起学生的思考。
个别学生交流学习目标，使学生课堂上有目标，明白本节课的任务。
二、复习回顾1、填上适当的数，使等式成立①x2-6x+=(x-)2②x2+8x+=(x+)2③x2+3x+=(x+)2④x2-x+=(x-)22、用配方法解方程①x2-8x+1=0②x2+6x-1=0师：引导学生通过一组填空题复习学过的二次项系数是1的完全平方式的灵活应用。
生：学生口算，学生口答完成。
师：在导学案上完成解答过程。
生：独立自主完成，一起回顾总结解题步骤。
★★★学生能够认真、准确计算，口答完成；★★学生口答完成，但有部分答案错误；★学生不会填空。
★★★学生能够认真、准确计算，过程完整★★学生能自主完成，但有部分答案错误；★学生不会配方。
设计此组填空题，目的是让学生进一步巩固完全平方式，会进行灵活的配方计算，为学习配方法解一元二次方程做好铺垫。
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移项、配方，得 x2 2x 1 5 1 2
即 x 12 3
2
开方，得 x 1 6 2
∴
x1 1
6 2
,
x2
1
6 2
典型例题例 解下列方程 (3)3-7x=-2x2
(3)解 系数化为1，得 x2 7 x 3 0 22
解：（1）系数化为1，得 x 2
移项，得 x 2 3x
3x
1
1 4
0
4
配方，得
x2
3x
3 2
1
9
2 4 4
即
x
3
2
10
2 4
开方，得
x 3 10 22
∴
x1
3 2
10 2
3 x2 2
10 2
典型例题 例 解下列方程 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2
法求出方程的解；
如果k＜0，那么方程
就没有实数解。
想一想
一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛 点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间 t（s）有如下关系：
h=24t-5t2 经过多少时间后，小球在上抛点的距离是 16m？
练一练
1解下列方程 （1）2x2-8x+1=0
(2) 1 x2+2x-1=0 2
系数化1，移项，配方，变形，开方，求解，定解
方程2x2-5x+2=0有什么关系？
后一个方程中的二次项系数变为1，即方程 两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转 化为学过的方程的形式，用配方法即可求出
方程的解
如何用配方法解方程2x2-5x+2=0 呢？
试一试 用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5 x 1 0 2
(3)2x2+3x=0 (4)3x2-1=6x (5)-2x2+19x=20 (6)-2x2-x-1=0
试一试
2.用配方法求2x2-7x+2的最小值
3.用配方法证明-10x2+7x-4的值 恒小于0
归纳总结
1、解二次项系数不为1的一元二次方程的
方法是什么？
2、用配方法解形如ax2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？
系数化为1 移项
配方
开方，得 x 2 7
33
∴ x1
2 3
7 3
x2
2 3
7 3
开方 定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
移项，得 x2 5 x 1
系数化为1 移项
配方，得
x2
2
5
x
5
2
1
25
配方
2 4
16
即 x 5 2 9
开方，得
x
5
4
16
3
开方
44
，x2=2
∴ x1 2
x2
1 2
定解
典型例题2.用配方法解方程-3x2+4x+1=0
分析：对于二次项系数是负数的一元
移项、配方，得
x2
7
x
7
2
3
49
2 4 2 16
即
x 7 2 25 说明：对于二次项
4 16 系数不为1的一元二次
开方，得 x 7 5
方程化为（x+h）2=k 的形式后，如果k是非
∴
x1
3,
4 x2
1 2
4
负数，即k≥0，那么 就可以用直接开平方
二次方程，用配方法解时，为了便于配方，可把二
次项系数化为1，再求解
解：两边都除以-3，得
x2 4 x 1 0
移项，得 x2 4 x 13 3
33
配方，得 x2 4 x 2 2 1 2 2
3 3 3 3
即 x
2 2
7
3 9
:
2.什么是平方根？
如果x2=a,那么x= a. x就是a的平方根
3.什么是完全平方式？
式子a2±2ab+b2叫完全平方式,
且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
知识回顾
4.用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0 (2)x2+3x-2=0
想一想：
请你思考方程x2-
5 2
x+1=0与
初中数学九年级上册
（苏科版）
4.2一元二次方程的解法 配方法2
（第3课时）
泗洪县双沟实验学校
知识回顾
1.什么是配方法？
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
=
概念巩固
用配方法解下列方程，配方错误的是（C）
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t2-7t-4=0化为(t-
7
)2=
2
65 4
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
2 D.3x2-4x-2=0化为(x- )2= 10 39
典型例题 例 解下列方程
1）4x2-12x-1=0 (2)2x2-4x+5=0 (3)3-7x=-2x2