二次根式5.4
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是高中数学中的重要概念之一，它代表着一个数的平方根。
在本文中，我将详细介绍二次根式的概念以及如何进行运算。
一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数字被称为被开方数。
它可以是一个正整数、零或者一个正小数。
对于正整数和零，我们可以直接求出它们的平方根；对于正小数，我们可以通过近似值来表示。
例如，√9 = 3，表示9的平方根为3。
同样地，√16 = 4，表示16的平方根为4。
而对于非完全平方数，我们可以将其表示为无理数，如√2、√3等。
二、二次根式的化简在运算中，我们常常需要对二次根式进行化简。
化简的过程就是将二次根式写成最简形式，使得根号下的数字没有约数，且没有分母中有根号的情况。
例如，对于√8，我们可以将其化简为2√2；而对于√18，我们可以化简为3√2。
化简的方法是找出被开方数的所有因数，将其中的平方数提取出来，剩余的非平方数放在根号下。
需要注意的是，我们只能将整数的平方数提取出来，不能将分数的平方数提取出来。
例如，对于√(3/4)，我们不能化简为(√3)/2。
三、二次根式的四则运算在数学中，我们常常需要对二次根式进行加、减、乘、除的运算。
下面我将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于二次根式的加减运算，我们首先要保证被开方数相同，然后将它们的系数相加或相减。
例如，√2 + 2√2 = 3√2；√3 - √3 = 0。
2. 乘法运算对于二次根式的乘法运算，我们将它们的系数相乘，同时将根号下的数字相乘。
例如，2√3 * 3√2 = 6√6；(√5 + √3)(√5 - √3) = 5 - 3 = 2。
3. 除法运算对于二次根式的除法运算，我们将被除数和除数的系数相除，同时将根号下的数字相除。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2；(√6)/(√3) = √2。
需要注意的是，在除法运算中，如果除数有根号，则我们需要乘以其共轭形式，以消去根号。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式的概念及性质
二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。
在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。
一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。
例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。
二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。
二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。
对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。
2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。
3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。
二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。
乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。
这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。
简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。
找到它的平方根就是简单的数学操作。
举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。
直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。
化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。
例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。
我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。
5.4 二次根式的乘除法
1
2 2 ______ = ; 3 3
2
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
a a a 0, b 0 . b b
问题探究
计算：
1
24 ; 3
2
3 1 . 2 18
24 24 1 解： 8 4 2 2 2; 3 3
2
3 1 3 1 3 18 3 9 3 3. 2 18 2 18 2
a a 把 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
学以致用
例1 化简： 1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3
8 8 2a 4 a 2 a ＝ . 2a a 2a 2a 2a
小结
二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式：
a b a (a ≥ 0，b 0 ) ； b
（2）把除法先写成分式的形式，再化简为最 简二次根式.
3 3 3 解： ； 1 100 100 10
25 y 5 y 25 y 2 2 2 . 9x 3x 9x
能力挑战： 3 1 ; 5 解： 1
在解法二中式子 变形
３ ３ ５ ＝ ５ ５ ５
3 2 2 ; 27
8 3 . 2a
鲁教八上·5.4
二次根式的
乘除法(2)
探
究
1.计算下列各式，观察计算结果，你会发现什么规律？
2.用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：
2 2 4 )， ( )； 9 3 3 4 4 16 16 2 ， 5 . 25 5 25
八年级数学上册第5章二次根式(湘教版)
八年级数学上册第5章二次根式（湘教版）第5章二次根式5.1二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.理解并掌握二次根式的性质：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重点)自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题.(一)知识探究1.形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.2.二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a(二)自学反馈1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.－7B.3mC.1＋x2D.2x二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.2.代数式x＋1有意义，则x的取值范围是(A)A.x≥－1B.x≠1C.x≥1D.x≤－1二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.活动1小组讨论例1当x是怎样的实数时，二次根式x－1在实数范围内有意义？解：由x－1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，x－1在实数范围内有意义.例2计算：(1)(5)2；(2)(22)2.解：(1)(5)2＝5.(2)(22)2＝22×(2)2＝4×2＝8.例3计算：(1)（－2）2；(2)（－1.2）2.解：(1)（－2）2＝22＝2.(2)（－1.2）2＝1.22＝1.2.活动2跟踪训练1.若（a－3）2＝a－3，则a的取值范围是(D)A.aC.a>3D.a≥32.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0).3.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？(1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1.解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，－x有意义.(2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，当x≤52时，5－2x有意义.(3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，x2＋1都有意义.4.计算：(1)(11)2；(2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2.解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－14.活动3课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的概念.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)自学指导：阅读教材P157～159，完成下列问题.(一)知识探究1.积的算术平方根的性质：a•b＝a•b(a≥0，b≥0).化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).2.最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母.(二)自学反馈1.下列各式正确的是(D)A.（－4）×（－9）＝－4×－9B.16＋94＝16×94C.449＝4×49D.4×9＝4×9运用积的算术平方根的性质a•b＝a•b化简时，注意a≥0，b≥0这一条件.2.把200化成最简二次根式是102.活动1小组讨论例1化简下列二次根式：(1)18；(2)20；(3)72；解：(1)18＝9×2＝9×2＝32.(2)20＝4×5＝4×5＝25.(3)72＝8×9＝2×22×32＝2×32＝62.例2化简下列二次根式：(1)12；(2)35.解：(1)12＝1×22×2＝（12）2×2＝122.(2)35＝3×55×5＝（15）2×15＝1515.活动2跟踪训练1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)A.30B.12C.8D.122.实数0.5的算术平方根等于(C)A.2B.2C.22D.123.化简二次根式（－3）2×6得(B)A.－36B.36C.18D.64.化简下列二次根式：(1)12；(2)45；(3)72；(4)72.解：(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.活动3课堂小结本节课你有什么收获？5.2二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P161～162，完成下列问题.(一)知识探究积的算术平方根的性质：a•b＝a•b(a≥0，b≥0)，反过来，a•b＝a•b(a≥0，b≥0)，利用这一公式，可以进行二次根式的乘法运算.(二)自学反馈计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.解：(1)35.(2)3.(3)93.(1)这里要用到公式：a•b＝ab(a≥0，b≥0)；(2)计算9×27时，将27写成9×3，方便开平方.活动1小组讨论例1计算：(1)3×6；(2)13×72.解：(1)3×6＝3×6＝32×2＝32.(2)13×72＝13×72＝24＝22×6＝26.例2计算：(1)23×521；(2)32×(－184).解：(1)23×521＝2×5×3×21＝1032×7＝307.(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－342×18＝－92.例3已知一张长方形图片的长和宽分别是37cm和7cm，求这张长方形图片的面积.解：37×7＝3×7＝21(cm)2.答：这张长方形图片的面积为21cm2.活动2跟踪训练1.计算2×3的结果是(B)A.5B.6C.23D.322.下列各等式成立的是(D)A.45×25＝85B.53×42＝205C.43×32＝75D.53×42＝2063.50•a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A.1B.2C.3D.54.一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23cm，b＝36cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2.5.计算下列各题：(1)3×5；(2)12×3；(3)12×32；(4)32×27；(5)6×15×10；(6)68×(－32).解：(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)－72.活动3课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的除法1.理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简.(重点)2.能熟练运用二次根式的除法法则ab＝ab(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P163～164，完成下列问题.(一)知识探究1.商的算术平方根的性质：ba＝ba(a＞0，b≥0)，可以利用它进行二次根式的化简.2.二次根式的除法规定：ba＝ba(a＞0，b≥0).(二)自学反馈1.下列各式成立的是(A)A.－3－5＝35＝35B.－7－6＝－7－6C.2－9＝2－9D.9＋14＝9＋14＝3122.计算123÷13的结果正确的是(B)A.3B.15C.5D.533.化简下列二次根式：(1)7100；(2)0.24；(3)315；(4)11549.解：(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.活动1小组讨论例1化简下列二次根式：(1)716；(2)95.解：(1)716＝716＝74.(2)95＝95＝35＝3×55×5＝355.例2计算：(1)15÷3；(2)34256；(3)146.解：(1)15÷3＝153＝153＝5.(2)34256＝35426＝357.(3)146＝146＝73＝7×33×3＝213.例3电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r＝2Rh(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1＝400m，h2＝450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.因为r＝2Rh，400m＝0.4km，450m＝0.45km，所以r1r2＝2Rh12Rh2＝h1h2＝0.40.45＝4045＝21035＝223.活动2跟踪训练1.下列运算正确的是(D)A.50÷5＝10B.10÷25＝22C.32＋42＝3＋4＝7D.27÷3＝32.计算：123＝2.3.如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为25.4.计算：(1)40÷5；(2)322；(3)44876；(4)45÷215.解：(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.活动3课堂小结1.商的算术平方根的性质.2.二次根式的除法法则.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加法和减法1.理解二次根式的加、减运算法则.2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点)自学指导：阅读教材P167～168，完成下列问题.(一)知识探究在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式相加减.(二)自学反馈计算：(1)80－45；(2)28＋47；(3)18－32＋2；(4)(45＋18)－(8－125).解：(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85＋2.活动1小组讨论例1计算：(1)58－227＋18；(2)218－50＋1345.解：(1)原式＝102－63＋32＝132－63.(2)原式＝62－52＋5＝2＋5.二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式.例2如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d(π取3.14).解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝S1π，r＝S2π，则d＝R－r＝S1π－S2π＝763.023.14－150.723.14＝243－48＝93－43＝53.答：圆环的宽度d为53m.活动2跟踪训练1.下列二次根式中，不能与2合并的是(C)A.12B.8C.24D.182.下列计算是否正确？为什么？(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；(3)32－2＝22.解：(1)不正确.此式结果为22－3.(2)不正确.此式结果为5.(3)正确.3.计算：(1)8＋18；(2)212＋27；(3)80－20＋5；(4)18＋(98－27)；(5)(75－54)－(108－96).解：(1)52.(2)73.(3)35.(4)102－33.(5)6－3.活动3课堂小结怎样进行二次根式的加减计算？第2课时二次根式的混合运算会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P169～171，完成下列问题.(一)知识探究1.二次根式的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外面的.2.与二次根式相关的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a－b，(a＋b)2＝a＋2ab ＋b，(a－b)2＝a－2ab＋b.(二)自学反馈计算：(1)(5＋1)2；(2)(13＋3)(13－3)；(3)(12－13)×3；(4)8＋182.解：(1)(5＋1)2＝(5)2＋25＋1＝5＋25＋1＝6＋25.(2)(13＋3)(13－3)＝(13)2－32＝13－9＝4.(3)(12－13)×3＝12×3－13×3＝36－1＝6－1＝5.(4)8＋182＝82＋182＝4＋9＝2＋3＝5.活动1小组讨论例1计算：(1)(6－38)×2；(2)(2＋2)(1－2).解：(1)(6－38)×2＝6×2－38×2＝6×2－38×2＝23－32＝323.(2)(2＋2)(1－2)＝2－22＋2－2×2＝2－22＋2－2＝－2.例2计算：(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－3)2.解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝1.(2)(2－3)2＝(2)2－22×3＋(3)2＝2－22×3＋3＝5－26.例3计算：(1)(32＋2)÷2；(2)12＋3＋12－3.解：(1)(32＋2)÷2＝(42＋2)÷2＝52÷2＝5.(2)12＋3＋12－3＝2－3（2＋3）（2－3）＋2＋3（2＋3）（2－3）＝4（2＋3）（2－3）＝422－（3）2＝4.活动2跟踪训练1.化简8－2(2－2)的结果是(D)A.－2B.2－2C.2D.42－22.估计20×15＋3的运算结果应在(C)A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间3.计算：(27－13)×3＝8.4.计算：(1)(3＋5)(3－5)；(2)(3＋5)2.解：(1)－2.(2)8＋215.5.计算：(1)3(2－3)－24－6－3；(2)23÷223×25－110.解：(1)原式＝6－3－26＋6－3＝－6.(2)原式＝23×38×25－110＝1010－1010＝0.活动3课堂小结如何进行二次根式的混合运算？。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
九年级二次根式的知识点
九年级二次根式的知识点二次根式是九年级数学中的重要知识点之一，本文将对二次根式的定义、性质以及相关运算进行详细介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、定义二次根式是指以平方根形式表示的数，其中包括一个根号和一个被开方的数。
表示为√a，读作根号a，其中a为非负实数。
例如，√9 = 3，√16 = 4。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a ≥ 0。
因此，√(-a) 没有实数解。
2. 唯一性：非负实数的二次根式是唯一的。
例如，只有一个非负实数的平方是4，即√4 = 2。
3. 乘法性：两个非负实数的二次根式相乘，等于它们的被开方数相乘的二次根式。
即√a * √b = √(a * b)。
三、化简与合并为了方便运算和进一步的求解，可以对二次根式进行化简和合并。
1. 化简：将二次根式中的平方因式提到根号外。
例如，√4x² =2x。
2. 合并：合并同类项时，可利用二次根式的乘法性质。
例如，√2 + √3可以合并为√6。
四、加减运算要进行二次根式的加减运算，必须先化简和合并同类项。
1. 化简：将二次根式中的平方因式提到根号外。
2. 合并：合并同类项，即将相同的二次根式加减在一起。
3. 注意：二次根式与整数不能合并。
例如，√2 + 3不能简化为√5。
五、乘法运算要进行二次根式的乘法运算，可以直接利用乘法性质。
1. 将二次根式相乘，结果等于它们的被开方数相乘的二次根式。
2. 注意：乘法运算时，要注意化简和合并同类项。
六、除法运算要进行二次根式的除法运算，需要用到有理化技巧。
1. 将分母有理化，即让分母的二次根式化简为整数。
2. 将有理化后的二次根式与被除数相乘，得到结果。
七、例题解析1. 化简：化简√8x³y⁴。
解：将8x³y⁴写成因式的形式，即8 * x * x² * y² * y²。
将因式中平方的因子提到根号外，得到2xy²√2x。
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C.8 到 9 之间
D.9 到 10 之间
10.如果 (2a 1)2 1 2a ，则（
）
A.a＜ 1 2
B.a≤ 1 2
C.a＞ 1 2
二、填空题：（每小题 3 分，共 30 分）
11.计算： (6)2 = ；
D.a≥ 1 2
12.化简： 2b a
。
a 18b
13.比较大小： 2 5 ________3 2 (填写“<”或“>”)；
4.能使等式 x x2
A. x 2 B. x 0
⑴ 2 7 2 7
x 成立的 x 的取值范围是（ x2
C. x 2 D. x 0且x 2
）
2
⑵ 6 3
5、计算：
（1） 8 11 8 11
（3） 2 6 3 3 · 2
B. 32
C. 96
D. 3 4
5.若 (x 3)2 x 3，则 x 的取值范围是（
）
A. x 3
B. x 3
6.以下运算错误的是（
）
C. x 3
A. 3 5 3 5
B. 12 8 20
C. 2 2 3 5 6 10
D. 5 10 5 2 5
D. x 0
温陈街道办事处中学 教案
年级 科目
课题
课型 时间
主备人
八年 级
教 学 目 标
数学 二次根式
复习 5.4
1.了解二次根式的相关概念； 2.了解二次根式加、减、乘、除运算的法则； 3.会进行有关二次根式的简单四则运算。
纪圣伟
教学 重点
教学 难点
会进行有关二次根式的简单四则运算。 会进行有关二次根式的简单四则运算。
7.对于二次根式 x2 9 ，以下说法不正确的是（
）
A.它是一个正数 C.它是最简二次根式
B.它是一个无理数 D.它的最小值是 3
8.已知 24n 是整数，则满足条件的最小正整数 n 为（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
9.估计 32 1 20 的运算结果应在（
）
2
A.6 到 7 之间
B.7 到 8 之间
备课教师 集备组长
【典型例题】
例 1（2012•德阳）使代数式 x 有意义的 x 的取值范围是（ ） 2x 1
A.x≥0
B.x≠ 1 2
C.x≥0 且 x≠ 1 2
D.一切实数
例 2 （2012•张家界）实数 a、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 a2 | a b | 的结果
14.比较大小： 5 1 ______ 1
2
2
15.计算： 252 242
(填写“<”或“>”)． ；
16.化简： a3b
b 0。
17.等式 x 1 x 1 x2 1 成立的条件是
18.已知 x 2 y 5 0 ，则 x=
，y=
。
19.如果两个最简二次根式 3a 1与 2a 3 能合并，那么 a
为（ ）
A.2ห้องสมุดไป่ตู้+b
B.-2a+b
C.b
D.2a-b
例 3（2012•南通）计算： 48 3 1 12 24 ． 2
例
4（2012•巴中）先化简，再求值： ( 1 x
1) x 1
x x2 2x 1 (x 1)2 (x 1)2
，其中
x=
1 2
．
【巩固训练】 一、选择题：（每小题 3 分，共 3 0 分）
。
20.（2011 山东枣庄，16，4 分）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算※如下：a※b= a b ， ab
如 3※2= 3 2 5 ．那么 8※12= 32
三、解答题：（共 40 分） 21.计算：（每小题 5 分，共 20 分）
（1） 2 5 3 2 7 5 4 2
化简： a2 b2 (a b)2 。
-1
b
0
图2
1x
24.（8 分） 如图所示的 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/•秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
．
（2） 2 12 1 50 2 3
2
4
（3） ( 5 6)( 5 6)
（4） 2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
22.（6 分）先化简，再求值： (a 3)(a 3) a(a 6),其中a 5 1 。 2
23.（6 分）实数 a、b 在数轴上的位置如图 2 所示。
2
（2） 1 3
（4） 5 7 5 7
2
⑸ 2 3
⑹ 5 6 ·5 2 2 3
课后反思
C
Q
AP B
1.下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. 3 8
B. a2 4
C. 3
D. a b
2.如果 3x 4 是二次根式，那么 x 应满足的条件是（ ）
A. x 4 3
B. x 4 3
C. x 4 3
D. x 4 3
3.当 x=3 时，在实数范围内没有意义的是（ ）
A. x 3 B. 3 x C. x2 3 D. 3 x2
1.若 x 2 有意义，则 x 满足条件是（
）
A.x≥2 B.x＞2
C.x＜2
D.x≤2
2. 下列式子中，一定是二次根式的是（
）
A. 9
B. 3
C. x 1
3.计算 8 2 的结果是（
）
D. x2 1
A.6
B. 6
C.2
D. 2
4.下列二次根式中，与 3 能合并的是（
）
A. 24