运筹学建模例题和判断题
运筹学建模例题和判断题
【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。
根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
表1-2 营业员需要量统计表星期需要人数星期需要人数一300 五480二300 六600三350 日550四400（2）在例1.2中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．【例1-3】合理用料问题。
某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。
现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？如果要求余料最少，数学模型如何变化；【例1-4】配料问题。
某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。
矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．【例1-5】投资问题。
某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。
每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。
序号证券类型评级到期年限每年税后收益率(%)1 国债1 1 8 3.22 国债2 1 10 3.83 地方债券1 24 4.34 地方债券2 3 6 4.75 基金1 4 3 4.26 基金2 5 4 4.6决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。
问每种证券各投资多少使总收益最大。
【例1-6】均衡配套生产问题。
某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。
两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。
运筹学试题与答题
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）：1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题．（ 是 ）2．线性规划具有无界解，则可行域无界．（ 是 ）3．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集．（ 是 ）4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次．（ 错 ）每迭代一次，目标函数的值都会增加，即增量大于05．用单纯形法求解线性规划问题时，如果表中所有的检验数0≤j σ，则表中的基可行解为最优解．（ 是 ）0≤j σ，则非基变量都<=06．对偶问题的对偶就是原问题．（ 恩 ）8．互为对偶问题，原问题有最优解，对偶问题也有最优解．（ 恩 ）且目标函数的值也一样9．任意一个运输问题一定存在最优解．（ 是的）运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．（错 ）11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法．（ 错 ）有区别的。
通过判断b 列的正负来进行迭代的。
12．原问题具有无界解，对偶问题无可行解．（ 恩 ）13．可行解是基解．（ 错）14．标准型中的变量要求非正．（ 恩 ）大于015．线性规划的基本最优解是最优解．（ 恩 ）16．对产销平衡运输问题，各产地产量之和等于各销地销量之和．（ 恩 ）18．用单纯形法求解线性规划问题时，一定要将问题化为标准型．（ 恩 ）19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．（错 ）匈牙利（康尼格）法是求解及小型（优化方向为极小）指派问题的一种方法20．运输问题必存在有限最优解．（ 错 ）当非基变量为0时有无穷多最优解（关于其退化问题）二、填空题：1．规划问题的数学模型由 目标函数 、 约束条件 、 决策变量 三个要素组成。
2．满足变量非负约束条件的 基解 称为基可行解。
3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的 决策变量个数 相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题 无可行解 ；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题 无可行解 。
《运筹学》模拟试题及参考答案
《运筹学》模拟试题及参考答案一、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。
)1. 图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。
( )2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j ≥0，则问题达到最优。
( )3. 在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。
( )4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为基本可行解。
( )5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。
( )6. 对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。
( )7. 原问题与对偶问题是一一对应的。
( )8. 运输问题的可行解中基变量的个数一定遵循m＋n－1的规则。
( )9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。
( )10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。
( )11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。
( )12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往不相等。
( )13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。
( )14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是一致的。
( )15. 动态规划中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。
( )二、简述题1. 用图解法说明线性规划问题单纯形法的解题思想。
2. 运输问题是特殊的线性规划问题，但为什么不用单纯形法求解。
3. 建立动态规划模型时，应定义状态变量，请说明状态变量的特点。
三、填空题1. 图的组成要素；。
2. 求最小树的方法有、。
3. 线性规划解的情形有 、 、 、 。
4. 求解指派问题的方法是 。
5. 按决策环境分类，将决策问题分为 、 、 。
6. 树连通，但不存在 。
四、下列表是线性规划单纯形表（求Z max ），请根据单纯形法原理和算法。
运筹学习题判断题及答案(通用篇)
运筹学习题判断题及答案(通用篇)一、判断题1. 线性规划问题中，目标函数必须是线性函数。
（）答案：错误。
线性规划问题的目标函数可以是线性函数，也可以是非线性函数。
但是，当目标函数为非线性函数时，该问题就不再是线性规划问题。
2. 在目标规划中，若决策变量有上界和下界，则称为有界决策变量。
（）答案：正确。
在目标规划中，有界决策变量是指决策变量具有上界和下界限制。
3. 对偶问题与原问题具有相同的可行域。
（）答案：错误。
对偶问题与原问题具有相同的解，但可行域一般不同。
4. 在整数规划中，若决策变量取值为整数，则该问题一定为整数规划问题。
（）答案：错误。
整数规划问题要求决策变量取整数值，但并非所有决策变量取整数值的问题都是整数规划问题。
例如，线性规划问题的决策变量也可以取整数值。
5. 在动态规划中，最优子结构的性质是指一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。
（）答案：正确。
动态规划的最优子结构性质是指问题的最优解可以通过求解子问题的最优解来构造。
6. 网络流问题是图论中的一个特殊问题，它涉及到图中各顶点之间的流量分配。
（）答案：正确。
网络流问题确实是图论中的一个特殊问题，主要研究如何在图中各顶点之间进行流量分配，使得整个网络的流量达到最大。
7. 在排队论中，顾客到达率和服务率是描述排队系统性能的关键指标。
（）答案：正确。
顾客到达率和服务率是排队论中描述排队系统性能的两个重要指标，它们分别表示单位时间内到达系统的顾客数和单位时间内服务完毕的顾客数。
8. 在库存管理中，经济订货批量（EOQ）模型适用于确定最优订货量和订货周期。
（）答案：正确。
经济订货批量（EOQ）模型是库存管理中的一种重要模型，用于确定最优订货量和订货周期，以降低库存成本。
9. 在非线性规划中，库恩-塔克（KKT）条件是判断约束非线性规划问题最优解的必要条件。
（）答案：正确。
库恩-塔克（KKT）条件是约束非线性规划问题最优解的必要条件，它提供了一种求解约束非线性规划问题的方法。
运筹学建模例题和判断题
运筹学建模例题和判断题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。
根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
表1-2 营业员需要量统计表j业员，该模型如何变化．【例1-3】合理用料问题。
某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，1，（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。
现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴如果要求余料最少，数学模型如何变化；【例1-4】配料问题。
某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。
矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低在例中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．【例1-5】投资问题。
某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。
每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。
决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。
问每种证券各投资多少使总收益最大。
【例1-6】均衡配套生产问题。
某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。
两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。
现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。
为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。
怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大在例中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．【例1-13】将下例线性规划化为标准型【例3-2 】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是。
运筹学考试重点
运筹学考试重点题型概述：单选、判断、填空、建模、计算分析第一章线性规划与单纯形法例1．某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的示利润，X1、X2表示产量，该计划问题的数学模型可以表示为：目标函数maxZ=2X1+3X2满足约束条件｛X1+2X2<=8{4X1 <=16 X1,X2>=0{ 4X2<=12最优解是唯一的，但对于一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：1.无穷多最优解（多重最优解）2.无界解3.无可行解线性规划问题的标准形式为：(M1) maxZ=c1x1+c2x2+…….+cnxn下面讨论如何变换为标准型的问题。
（1）若要求目标函数实现最小化，即minZ=CX。
这时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令Z’=-Z,于是得到maxZ’=-CX.（2）约束方程为不等式。
这里有两种情况：一种是约束方程为“<=”不等式，则可在“<=”不等式的左端加上非负松弛变量，把原“<=”不等式变为等式；另一种是约束方程为“>=”不等式，则可在“>=”不等式的左端减去一个非负剩余变量（也可称松弛变量），把不等式变为等式。
例将例1的数学模型化为标准型。
解. maxZ=2x1+3x2｛X1+2X2<=8{4X1 <=16 X1,X2>=0{ 4X2<=12在各不等式中分别加上一个松弛变量x3,x4,x5,使不等式变为等式，这时得到标准型：maxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5｛X1+2X2+x3 =8{4X1 +x4 =16 X1,X2>=0{ 4X2 +x5 =12 X3,X4,X5>=0其中松弛变量x3,x4,x5表示没有被利用的资源，当然也没有利润。
（3）若存在取值无约束的变量Xk，可令Xk=X’k-X’’k,其中X’k,X’’k>=0。
线性规划问题解的概念1.可行解2.基3.基可行解4.可行基线性规划问题的几个定理：定理1 若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集。
运筹学练习及解答
运筹学练习：一、判断（√）1、线性规划问题中，必须有一个要实现的目标。
（×）2、在基可行解中基变量一定为非零。
（√）3、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
（√）4、在用单纯形法解线性规划问题时，任何一个人工变量都不应该在最优解的基变量组合中。
（×）5、如果一个线性规划问题有可行解，则它必有最优解。
（√）6、运输问题中，用闭回路法和用位势法算出的检验数是一样的。
（√）7、运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，因而运输问题也可用单纯形法求解。
（×）8、运输问题的运价表的某一行的所有ij c 同乘以一个非零常数，其最优调运方案不变。
（√）9、运输表中给出初始基可行解后，从每一空格出发的闭回路是唯一的。
（×）10、不平衡运输问题不一定有最优解。
二、填空１、线性规划是试图合理地分配各种 资源 以最优地实现某个 目标 的规划方法。
２、标准线性规划问题的特点是：（1）要求目标函数 极大化 ，（2）约 束条件取 等式 ，（3）变量 为非负 。
３、在线性规划问题的图解法中，如果存在最优解，则这个最优解将处于 可行域的 顶点处 。
４、解总运费最小的运输问题时，确定最优解的条件是：所有非基变量的 检验数均不为 负 数。
５、解运输问题一般采用 表上作业 法，确定检验数的方法有 闭回路法和 用位势法 三、简答题1、试用图解法求解下述线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,152315322110max 21212121x x x x x x x x z解：先在直角坐标系中作出可行域，再作目标函数的等值线，可以看出，当目标函数的等值线平移到两直线1523,15322121=+=+x x x x 的交点时，目标函数值最大。
即，最优解为：3,321==x x ，2、某商场对售货员的需求情况如下表所示，为保证售货人员充分休息，每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)
《运筹学》课程考试试卷试题(含答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 运筹学的核心思想是（）A. 最优化B. 系统分析C. 预测D. 决策答案：A2. 在线性规划中，约束条件可以用（）表示。
A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵答案：B3. 以下哪个不是运筹学的基本模型？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 随机规划答案：D4. 在目标规划中，以下哪个术语描述的是决策变量的偏离程度？（）A. 目标函数B. 约束条件C. 偏差变量D. 权重系数答案：C5. 在动态规划中，以下哪个概念描述的是在决策过程中，某一阶段的最优决策对后续阶段的影响？（）A. 最优子结构B. 无后效性C. 最优性原理D. 阶段性答案：B二、填空题（每题5分，共25分）1. 运筹学是一门研究在复杂系统中的______、______和______的科学。
答案：决策、优化、实施2. 在线性规划中，若目标函数为最大化，则其标准形式为______。
答案：max z = c^T x3. 在非线性规划中，若目标函数和约束条件均为凸函数，则该规划问题为______。
答案：凸规划4. 在目标规划中，若决策变量x_i的权重系数为w_i，则目标函数可以表示为______。
答案：min Σ(w_i d_i^+ + w_i d_i^-)5. 在动态规划中，若状态变量为s_n，决策变量为u_n，则状态转移方程可以表示为______。
答案：s_{n+1} = f(s_n, u_n)三、判断题（每题5分，共25分）1. 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得。
（）答案：正确2. 在整数规划中，若决策变量为整数，则目标函数和约束条件也必须为整数。
（）答案：错误3. 目标规划中的偏差变量可以是负数。
（）答案：正确4. 在动态规划中，最优策略具有最优子结构。
（）答案：正确5. 在非线性规划中，若目标函数为凸函数，则约束条件也必须为凸函数。
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【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。
根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
表1-2 营业员需要量统计表123456714567125671236712347123452345634567min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩（2）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．123456723456345671456712567123671234712345min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩【例1-3】合理用料问题。
某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m 。
现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？10112345134678924578910min 221000243210002324510000,1,210j jj Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩∑， 如果要求余料最少，数学模型如何变化；23457891012345134678924578910min 0.30.50.10.40.30.60.20.5221000243210002324510000,1,210j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩，【例1-4】配料问题。
某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。
矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低1234512451345135123451234512min 3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+3450.40.80.4510,1,2,,5jx x x x j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++=⎪⎪≥=⎩ 在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．1234512451345135123451234512min 3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+3450.40.80.450,1,2,,0.95jx x x x j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++≥⎪⎪≥=⎩【例1-5】投资问题。
某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。
每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。
决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。
问每种证券各投资多少使总收益最大。
1234561234561212456123456max 0.2560.380.1720.2820.1260.1845000100023035200,1,2,,6j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++++≤⎪+≥⎪⎪--+++≤⎨⎪+-+--≤⎪⎪≥=⎩【例1-6】均衡配套生产问题。
某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。
两种零件必须经过设备A 、B 上加工，每件甲零件在A 、B 上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A 、B 上的加工时间分别为4分钟和10分钟。
现有2台设备A 和3台设备B ，每天可供加工时间为8小时。
为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。
怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大121212121212max 1..21354960910144046604660Z ys t y x y x x x x x x x x x x x y =≤≤+≤+≤≤+≤≥－－，，在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1212121212121212max 1..213549609101440549106023549106023Z ys t y x y x x x x x x x x x x x x x x x y =≤≤+≤+≤++≤++-+≤≥－+，，【例1-13】将下例线性规划化为标准型1212112max ||||54Z x x x x x x x unr=--⎧+≥⎪≤⎨⎪⎩、112211223114max ()()540Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''''=-+-+''''''⎧-+--=⎪'''-+=⎨⎪''''''≥、、、、、【例3-2 】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是0.02m 3。
背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。
（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是4和3，载重量和体积的约束为1111111122222222000000000000x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧≥≥⎪⎪'''==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩⎧⎧≥≥⎪⎪'''==⎨⎨<-<⎪⎪⎩⎩，，，，－，，，，，111111222222||,||,x x x x x x x x x x x x ''''''=+=-''''''=+=-1211221231236(1)4610(1)2420(1)1011,2,3j x x y Mx x y M x x y M y y y y j ⎧+≤+-⎪+≥--⎪⎪+≤+-⎨⎪++=⎪⎪==⎩或，+≤+≤1212121.80.61.5220x x x x（1）1211121122221.20.8102 2.52in max 4310,,011,210t 522i i Z x x y x y a x x nd y x x y eger y y i y +++=+≤≤+=≥==＋或（2）12212121211211221.20.8102max 43()1.80.612(2.5)()1.5220()10,,011,t 25n 2i i i x x My x x M Z x x a x x My b c x x My d y y x y i d eger y an +≤+≤=++≤++≤++≥+===或＋【例3-3】试引入0－1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件 （1）x 1+x 2≤6或4x 1+6x 2≥10或2x 1+4x 2≤20 （2）若x 1≤5，则x 2≥0，否则x 2≤8 （3）x 2取值0，1，3，5，7121122123123646102420(31)011,22,3j x x y M x x y M x x y M y y y y j ⎧+≤+⎪+≥⎪⎪+≤+⎨⎪++-=-⎪⎪==⎩或，(2)21125(1)8(1)015x y M x y M y M M x x y y ≥-≤⎧⎪>--⎪⎪⎨⎪≤+-⎪+⎪=⎩或 (3)2123412343571011,2,3,4j x y y y y y y y y y j ⎧=+++⎪+++⎨⎪==⎩≤或，【例3-4】企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产．已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如表3－2所示，怎样安排产品的加工使总成本最小．1122331231201,2,3min (5008)(8005)(6007)40001500,20000,101,2,3j j j jZ y x y x y x x x My x x x x x y j j =+++++⎧⎪++≥-≤=⎪⎨≤≤⎪⎪≥==⎩或，用分枝－隐枚举法求解下列BIP 问题123451234512345min 362462712(311)45310(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j =-++-⎧+-++≤-⎪++-+≥-⎨⎪==⎩或，解 （1）令x 2=1－x '2及x 5=1－x '5，代入模型后整理得123451234512345min 362476279(311)4533(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j ''=++++-⎧''--+-≤-⎪''-+--≥-⎨⎪==⎩或，142531425314253min 234676729(311)4353(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j ''=++++-⎧''+--≤-⎪''-+≥-⎨⎪==⎩－－－或，【例4-1】某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。