矩阵分析第二章
矩阵分析第2章习题解
第二章习题1、 用初等变换把下列矩阵化为标准型 （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ （2）23100(1)λλ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ （3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭（4）2(1)0000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭解: （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2122()23233235351102033r r λλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭32103λλλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭（2）231(1)λλ⎛⎫-⎪-⎝⎭212222(3)32211110331(3)(1)4(1)r r λλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪-+-----⎝⎭⎝⎭[因为32331λλλ-+-除以21λ-商为3λ-余式为4(1)λ-]222222114(1)(3)(1)(3)(1)4(1)11λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭211(3)(1)42224(1)011(1)(3)(1)(1)4c c λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⎪ ⎪--+-+-⎝⎭31(1)(1)λλλ-⎛⎫⎪+-⎝⎭（3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭222101λλλλλλλλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭222221001(1)(1)λλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪-⎪ ⎪++-++-++⎝⎭43321000λλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭ 43210002λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 221(1)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭(4)2(1)000000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ 2(1)00021λλλλλλ+⎛⎫⎪⎪⎪++⎝⎭32(2)(1)000(2)1r r λλλλλλλ-++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭1(2)0000(1)λλλλλλ-+⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭21(2)00(2)000(1)λλλλλλλ-+⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪+⎝⎭ 210(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+⎪⎪+⎝⎭2100(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭2、试证：Jordan 块 10()0100J αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于0000αεαεα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，这里0ε≠是任意实数。
史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(2)
证：必要性，设 A 可对角化，则存在可逆矩阵 P， 使得
⎡λ1
⎤
⎢ P −1 AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
对于任意常数 k，
⎡λ1
⎢ kI − A = kI − P ⎢
λ2
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
λn
⎥ ⎦
⎡k − λ1
⎢ = P⎢
⎢ ⎢ ⎣
k − λ2
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
k
−
λn
⎡⎣ X1,
X2,
X
3
⎤⎦
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦
= ⎡⎣− X1, − X 2 , X 2 − X3 ⎤⎦
从而可得
AX1 = − X1, AX2 = − X2 , AX3 = X2 − X3
整理以后可得三个线性方程组
(I + A)X1 = 0 (I + A)X2 = 0 (I + A)X3 = X2
k≥3
⎢ O ０0 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
(1) 每个Jordan 块 Ji 对应属于 λi 的一个特征向量； (2) 对于给定的 λi，其对应的Jordan 块的个数 等于λi 的几何重复度； (3) 特征值 λi 所对应的全体Jordan 块的阶数之和 等于 λi 的代数重复度.
根据 rank(kI − A)l = rank(kI − J )l , l = 1,2,
(λ − 1)2(λ − 2)⎥⎦
所以 A 的初等因子为 (λ −1)2 , λ − 2 .
故 A 的标准形为
矩阵分析 第二章
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||⋅||为将V映射为非负数的函数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。
下面讨论如下：1.设||⋅||为线性空间V n的范数，任取它的一个基x1,x2,…,x n,则对于任意向量x,它可以表示为x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n其中，(ξ1,ξ2,…,ξn)T为x的坐标。
由此定义C n(或R n)中的范数如下：||ξ||C =ϕ(ξ)=||ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n||则容易验证||ξ||C确实为C n中的范数.2.反之, 若||ξ||C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||x||=φ(x)=||ξ||C其中x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n。
则容易验证φ(x)确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复(或实)列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数，即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. (范数的乘法)若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 设||⋅||comp为R m上的范数，且对x∈ (R+)m为单调增加的(即,若x,y∈(R+)m,且x i≤y i,那么||x||comp≤||y|| comp成立.),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||⋅||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个复合范数为||x||=||U(x)|| comp ,其中，U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T.证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
第2章 内积空间-1
矩阵分析简明教程
范数还具有下列平行四边形法则和勾股定理。
性质2 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，有：
一般地，可令
1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
n
n
(n , 1 ) (1, 1)
1
(n , 2 ) (2 , 2 )
2
(n , n1 ) (n1 , n1 )
n1
至此，我们就得到了矩阵计算中具有基础性作用的
Gram-Schmidt正交化方法。
4
矩阵分析简明教程
定理2.2.1 任一n维欧氏空间 V 都存在标准正交基。
当 0 时，取 即得等式
2
矩阵分析简明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos ( , ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。 特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
矩阵分析简明教程
另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。 性质1 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
定义了内积的线性空间V 为实内积空间，简称欧氏空间。
矩阵分析简明教程
例1 在 Rn中，对任意两个向量 (a1, a2 ,, an )T Rn 及 (b1, b2 ,, bn )T Rn
定义了标准内积
( , ) T T
《几何与代数》 科学出版社 习题解析第二章
第二章 矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章 矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解 设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章 矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .
矩阵分析课件
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
第2章 内积空间-2
1 2
1 2
cos sin
sin cos
1 2
G
1 2
就是一个正交变换。因为此变换的矩阵表示 G 是正
交矩阵。
矩阵分析简明教程
例2 HouseHolder变换
如图，
e2
x
x ( x, e1 )e1 ( x, e2 )e2 ,
2β
y
e1
因此向量 x 关于“与 e2 轴正交的直线”对称的镜
一、正交补与投影定理
定义 2.4.1 设 V1,V2 是数域 R上欧氏空间 V 的
两个子空间。向量 V 。如果对任意 V1 ，都 有 ( , ) 0 ，则称 与子空间 V1 正交，记
为 V1 。如果对任意 V2 ，都有 V1 ， 则称子空间 V1 与 V2 正交，记为 V1 V2
就称 x 为方程组的最小二乘解，这种方法就称为
最小二乘法。
矩阵分析简明教程
令 y A x ，显然 y R( A) ，因此求不相容方 程组的最小二乘解的问题即为在 R( A) 中找出向 量 Ax，使得向量b 到 Ax 的距离比到子空间 R( A) 中其它向量的距离都短，即Ax 是向量 b 在 R( A)
1. 正交投影的概念
定义 设 V1 是数域 R上欧氏空间V 的子空间。
向量 V 。如果有 1 V1 , 2 V1 使得
1 2
则称 1 是 在 V1 上的正交投影。
定理 （投影定理）设 V1 是数域 R 上欧氏空间V 的
子空间，则对任意 V ， 在 V1 上存在唯一 的正交投影。
矩阵分析简明教程
设 Rn 为单位向量，对任意 Rn ，定义
H ( E 2 H )
称H 为Householder 变换（初等反射变换），则 H 是 Rn 的正交变换。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-复内积空间、正规矩阵
从而有
11
AAH Q
2 2
Q1 AH A,
n n
所以 A 是正规矩阵. 必要性 (用数学归纳法) 对于一阶矩阵显然成立.
假设定理对于n-1阶矩阵成立，
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
设1为A的一个特征值， A1 11, 1为A的属于1的一个单位特征向量，
由引理，存在以1为第一个列向量的酉矩阵Q1， Q1 (1, 2 ,, n ),
且对任何 , V ，都有 (T ,T ) ( , ) ，
则线性变换T 称为V 的一个酉变换.
定义2-11：若 A C nn , 且 AH A AAH E, 则 A 称为酉矩阵.这里 AH是 A 的共轭转置.
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
酉矩阵的性质:
(1) 酉矩阵的行列式的模等于1; (2) A1 AH , ( A1 )H ( AH )1 A; (3) 酉矩阵的逆矩阵仍为酉矩阵,
E Q11Q1 (Q111,Q11 2 ,,Q11 n ),
于是有
Q111 (1,0,,0)T ,
Q11 AQ1 Q11( A1, A 2 ,, A n ) 1 b2 bn
(1Q111,Q11 A 2 ,,Q11 A n )
0
B
0
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
T1,T 2 ,,T n 也是V 的一个标准正交基；
（4）T在V 的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
第七节
正规矩阵
定义2-12：设 A C nn ，且 AH A AAH ， 则称A为正规矩阵,
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d1 (λ ) = d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − a) 4
定义：设 定义： 设A(λ)的秩为r, 则对1≤k≤r, A(λ)的全部k阶子式的最 高首一公因式Dk(λ)为A(λ)的k阶行列式因子。对 行列式因子。对k>r, 定义 Dk(λ) = 0 定理：等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 定理： 等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 证明思路：只要证明 证明思路： 只要证明λ-矩阵经一次初等变换后, 秩与行列式 因子不变即可。
r1 ← r1 − r2 ( −1)⋅ r1
2 0 1 ↔c 2 2 c → 3 − 2 4 + 3 − 5 + 3 − 4 λ λ λ λ λ 2 λ − 2 λ +λ −4 λ −1
1 2
2 0 1 → 0 ( 4 λ + 1 )( λ − 1 ) ( λ + 4 )( λ − 1 ) 0 λ (λ − 1) λ −1
2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 4
− 1 r ←r +(λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → −1 4 (λ − a ) 1 1 −1)⋅ r ; ( −1)⋅r ; ( −1)⋅r ( → 1 4 (λ − a )
1 2 2 λ − 1 ( − a ) ↔c c → 0 −1 λ −a λ − a − 1 r ←r + (λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → (λ − a ) 3 −1 公因子1 λ − a − 1 − 1 ↔c c → − 1 (λ − a ) 3 λ −a 0
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a ( λ ) 21 22 A(λ ) = M M am1 (λ ) am 2 (λ )
定义：如果 定义： 如果A(λ)中有一个r (r≥1)阶子式不为零，而所有r+1 阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为 的秩为r，记为 rank A(λ) = r 定义：设 定义 ：设A(λ), 如果∃另一个λ-矩阵B(λ), 满足 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E (单位矩阵) 则称A(λ)为可逆的，称 为可逆的，称B(λ)为A(λ)的逆矩阵， 的逆矩阵，记为A−1(λ) 可逆λ-矩阵也称为 矩阵也称为幺模矩阵 也称为幺模矩阵(unimodular matrix) 定理： 定理 ：A(λ)可逆 ⇔ det A(λ) = 非零常数 证明：“ 证明：“⇒”设A(λ)可逆，则∃B(λ)满足A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E，从而|A(λ)B(λ)| = |E| = 1，从而|A(λ)| = 非零常数。 ~ “⇐”设d = |A(λ)| = 非零常数，则 d −1 A(λ ) 是一个λ-矩
公因子λ 0 d1 (λ ) = 1 1 0 , ← c + c ; ( −1)⋅c λ 0 0 d 2 (λ ) = λ c → 0 0 λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1)
例 3：
A(λ ) = λ (λ + 1) 2
第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形
第一节
λ-矩阵及标准形
定义：设 定义 ：设aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)为数域F上的多 项式， 项式，则称
L a1n (λ ) L a 2 n (λ ) O M L amn (λ ) 为多项式矩阵或λ-矩阵， 矩阵，称多项式aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)中最高的次数为A(λ)的次数 例 1：数字矩阵A, 特征矩阵(λE−A)
然后再对A1(λ)进行上述类似操作，如此反复，即可把A(λ) 化成所需形式
1− λ 例 2：把λ-矩阵 A(λ ) = λ 1 + λ2
λ2 λ λ2
λ − λ 化成Smith标准形 − λ2
解：
公因子1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ2 1 λ2 r ←r −r → 0 λ 0 0
定义：如果 定义： 如果A(λ)经过有限次的初等变换之后变成B(λ)，则 称A(λ)与B(λ)等价，记之为 等价，记之为A(λ) ≅ B(λ) 定理：任意一个非零的 定理： 任意一个非零的n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角矩 阵，即
d 1 (λ ) d ( λ ) 2 O A(λ ) ≅ d r (λ ) 0 O 0 其中r≥1, di(λ)是首项系数为1的多项式, di(λ)|di+1(λ) (i=1,2,L, r−1)。称与A(λ)等价的上式右端矩阵为A(λ)的Smith标准形
3 3 2 2 2 3
λ (λ + 1) ←c + λ ( λ + 2) c 2 λ ( λ 1 ) c → +
2 2 3
1
1 2 → λ ( λ + 1 )
r1 ↔ r3 c1 ↔ c3 r2 ↔ r3 c 2 ↔ c3
证明思路：构造性。把 证明思路： 构造性。把A(λ)变换为a11(λ)能整除所有其它元 素（a11(λ)为A(λ)所有元素的公因子）且首项系数等于1的形 式，并令d1(λ) = a11(λ)，则
d1 (λ ) A(λ ) ≅
, 其中d1 (λ )能整除A1 (λ )所有元素 A1 (λ )
~ −1 ~ 阵, 其中 A(λ ) 是A(λ)的伴随矩阵。可知：d A(λ ) A(λ ) = E ⇒ A(λ)可逆
定义：下列各种类型的变换，叫做 定义： 下列各种类型的变换，叫做λ-矩阵的初等变换： 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置; ri ↔ rj (ci ↔ cj) (2) 非零常数d乘矩阵的某一行(列); d⋅ri (d⋅ci) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中 ϕ(λ)是λ的一个多项式。 rj ← rj + ϕ(λ)ri (cj ← cj + ϕ(λ)ci) 定义：对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 定义： 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 λ-矩阵，称为 矩阵，称为初等 称为初等λ-矩阵: P(ri ↔ rj) = P(ci ↔ cj); P(d⋅ri) = P(d⋅ci); P(rj ← rj + ϕ(λ)ri) = P(ci ← ci + ϕ(λ)cj) 都是可逆λ-矩阵 定理：对一个 定理： 对一个m×n的λ-矩阵A(λ)做初等行变换，相当于用相 应的m阶初等λ-矩阵左乘A(λ) ；对A(λ)做初等列变换，相当 于用相应的n阶初等λ-矩阵右乘A(λ)
Di (λ ) d i (λ ) = (i = 1, 2, L, r ) Di −1 (λ )
r2 ← r2 − ( 3λ − 2 ) r1 r3 ← r3 − ( λ − 2 ) r1
0 0 1 0 ( 1 ) ( 1 ) → − − λ λ λ 0 (λ − 1)(λ + 4) (λ − 1)(4λ + 1) 公因子(λ−1)
c 2 ← c 2 − 2 c1 c 2 ↔ c3 r2 ↔ r3
λ (λ + 1) λ
3 3 2
λ (λ + 1) c ←c + c λ → (λ + 1) 2 公因子1 λ (λ + 1) r ←r −(λ + 2) r λ λ → − λ (λ + 2) 1 λ (λ + 1) r ← r − λr 2 λ (λ + 1) 0 → − λ ( λ + 2) 1
公因子λ(λ+1) λ (λ + 1) d1 (λ ) = 1 d 2 (λ ) = λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1) 2
1 → λ (λ + 1) , 2 λ ( λ 1 ) +
例 4：
公因子1
3λ2 + 2λ − 3 2λ − 1 λ2 + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − − 2 1 λ λ
3 3 1 3 3 2 3
λ2 λ λ2
1 λ2 λ c ←c + c − λ → 0 λ 1 λ2 − λ2
1 1 3 2 2 2 1 3 3 1
λ −λ − λ2
λ 0 1 0 c ←c − λ c c ← c − λc − λ →0 λ −λ 0 0 − λ (λ + 1) − λ (λ + 1)
1 1 3
4λ2 + 3λ − 7 3λ − 3 λ2 + 3λ − 4 2 r ←r + r 2 → 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − 2 − 1 λ λ 2 1 0 2 2 λ λ λ λ λ 4 3 5 3 2 3 4 → + − − + − 2 λ λ−2 λ −1 +λ −4
r3 ← r3 − ( λ + 4 ) r2 ( −1)⋅c3