研究生矩阵试题B2
考研数学二(矩阵)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，A*是A的伴随矩阵，则｜A*｜等于( )A．a．B．．C．an-1．D．an．正确答案：C解析：对AA*=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜｜A*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜n．由｜A｜=a≠0，可得｜A*｜=｜A｜n-1=an-1．知识模块：矩阵2．设A和B都是n阶矩阵，则必有( )A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜．B．AB=BA．C．｜AB｜=｜BA｜．D．(A+B)一1=A一1+B-1．正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确．对于选项A，取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定必为零，故A错误．对于选项B，由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确．对于选项D，因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D也不正确．知识模块：矩阵3．设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有( )A．ACB=E．B．CBA=E．C．BAC=E．D．BCA=E．正确答案：D解析：由题设ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A与BC以及AB与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比较四个选项可知应选D．知识模块：矩阵4．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为τ，矩阵B=AC的秩为r1，则( )A．r＞r1．B．r＜r1．C．r=r1D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为B=AC=EAC，其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)．所以应选C．知识模块：矩阵5．设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )A．a=b或a+2b=0．B．a=b或a+2b≠0．C．a≠b且a+2b=0．D．a≠b或a+2b≠0．正确答案：C解析：根据矩阵A与其伴随矩阵A*秩的关系可知，r(A)=2，即A为降秩矩阵，从而故有a+2b=0或a=b．但当a=b时，r(A)=1．故必有a≠b且a+2b=0，所以应选C．知识模块：矩阵6．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，有知识模块：矩阵7．已知矩阵，那么下列矩阵中(1)(2)(3)(4)与矩阵A相似的矩阵个数为( ) A．1．B．2．C．3．D．g．正确答案：C解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此，那么只要和矩阵A 有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定与A相似．(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于(3)和(4)，由可见(4)亦与A相似，而(3)与A不相似．所以应选C．知识模块：矩阵8．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆．C．E—A可逆，E+A可逆．D．E—A可逆，E+A不可逆．正确答案：C解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E．故E —A，E+A均可逆．故应选C．知识模块：矩阵9．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：若矩阵A的行列式｜A｜≠0，则A可逆，且的行列，即分块矩阵可逆，那么根据公式有所以应选B．知识模块：矩阵填空题10．设则A2=___________．正确答案：解析：因为且矩阵的乘法满足结合律，A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βT α)(βTα)βT 知识模块：矩阵11．已知2CA一2AB=C一B，其中，则C3=________．正确答案：解析：由2CA一2AB=C—B，得2CA—C=2AB一B，因此有C(2A—E)=(2A —E)B．知识模块：矩阵12．设则其逆矩阵A-1=__________．正确答案：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即知识模块：矩阵13．设且r(A)=2，则k=_______．正确答案：一2解析：对A作初等变换，因此r(A)=2时，故k=一2．知识模块：矩阵14．设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=_________．正确答案：解析：因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=O．而知识模块：矩阵15．已知n阶矩阵则r(A2一A)=_____________.正确答案：1解析：根据A2一A=A(A—E)，已知矩阵．A是可逆矩阵，因此r(A2—A)=r(A —E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1．知识模块：矩阵16．设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位阵，则r(A)+r(A—E)=__________?正确答案：n解析：由已知A2=A，则有A(A—E)=A2一A=A—A=O，所以r(A)+r(A—E)≤n又r(A—E)=r(E一A)，则r(A)+r(A—E)=r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，因此r(A)+r(A—E)=n．知识模块：矩阵17．已知矩阵X满足A*X=A一1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=_________．正确答案：解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜AE一2A)-1．已知｜A｜=4，所以知识模块：矩阵18．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且A α1=(2，1)T，Aα3=(一1，1)T，A)T=(3，一4)T，则A=__________.正确答案：解析：利用分块矩阵，得A[α1,α2,α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=，那么知识模块：矩阵19．设A、B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=则(B一2E)T=________．正确答案：解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E．从而知识模块：矩阵20．设且A，B，X满足(E—B—A)TBTX=E，则X-1=__________．正确答案：解析：由(E一B一1A)TBTX=E，得[B(E—B-1A)]TX=E，即(BE—BB一1A)TX=E，也就是(B—A)TX=E，因此知识模块：矩阵21．设矩阵A与相似，则r(A)+r(A一2E)=__________．正确答案：3解析：矩阵A与B相似，则A一2E与B一2E相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A一2E)=r(B)+r(B一2E)=2+1=3．知识模块：矩阵22．设A是一个n阶矩阵，且A2一2A一8E=0，则r(4E—A)+r(2E+A)=__________?正确答案：n解析：根据已知A2一2A一8E=O，可得(4E—A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E一A)+r(2E+A)=n．知识模块：矩阵23．设3阶方阵A，B满足关系式A一1BA=6A+BA，且则B=________．正确答案：解析：由题设可知，A可逆，已知A一1BA=6A+BA，在该等式的两端右乘A一1，则有A一1B=6E+B，在该等式两端左乘A，可得B=6A+AB，则有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)一1A，且知识模块：矩阵24．设r(A)=2，则a=__________．正确答案：0解析：对A作初等行变换，则有即当a=0时，r(A)=2．知识模块：矩阵25．设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而则r(AB)=_________?正确答案：2解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．知识模块：矩阵26．设B为3阶非零矩阵，且AB=O，则t=________．正确答案：一3解析：因为矩阵B为3阶非零矩阵，并且满足AB=O，因此可见线性方程Ax=0有非零解，因此解得t=一3．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值．B．至少是A的二重特征值．C．至多是A的二重特征值．D．一重、二重、三重特征值都有可能．正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数．r(A3×3)=1，即r(0E-A)=1，(0E—A)x=0必有两个线性无关特征向量．故λ=0的重数≥2．至少是二重特征值，也可能是三重．例如，但λ=0是三重特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)一1的特征值。
因此的特征值为所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．3阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )A．秩r(A)=0．B．秩r(A)=1．C．秩r(A)=2．D．条件不足，不能确定．正确答案：D解析：本题考查下列矩阵由于它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2．所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量4．设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )A．λE—A=λE—B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A和B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE一A与tE一B相似．正确答案：D解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确．相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确．对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确．综上可知选项D E确．事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P一1AP=B于是P一1(tE一A)P=tE—P一1AP=tE—B．可见对任意常数t，矩阵tE一A与tE一B相似．所以应选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量5．n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )A．充分必要条件．B．必要而非充分条件．C．充分而非必要条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B解析：由A一B，即存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE 一A｜，即A与B有相同的特征值．但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似，虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似．所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量6．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P一1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )A．P一1αB．PTα．C．Pα．D．(P一1)Tα正确答案：B解析：设β是矩阵(P一1AP)一1属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有(P一1AP)Tβ=λβ，即PTA(P一1)β=λβ．把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得选项B正确，即左端=PTA(P一1)T(PT)=PTλα=PTλα=λPTα=右端．所以应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量7．n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( ) A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：A解析：若，则有可逆矩阵P使P一1AP=AP=A，或AP=PA．令P=(γ1，γ2，…，γn)，即从而有Aγi=αiγi，i=1，2，…，n．由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n个线性无关的特征向量α1,α2……αn，且满足Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．那么，用分块矩阵有由于矩阵P=(α1,α2……αn)可逆，所以P一1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量8．n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分又非必要条件．正确答案：D解析：根据相似矩阵的定义，由A～B可知，存在可逆矩阵P使P一1AP=B：若Aα=λα，α≠0，有B(P一1α)=(P一1AP)(P一1α)=P一1Aα=λ(P一1α)，即α是A的特征向量，P一1α是B的特征向量，即矩阵A与B的特征向量不同．相反地，若矩阵A与B有相同的特征向量，且它们属于不同的特征值，即Aα=λα，Bα=μα，λ≠μ，因为矩阵A与B的特征值不同，所以矩阵A 和B不可能相似．所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A～B来说是既非充分又非必要，故选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量9．设三阶矩阵A的特征值是0，1，一1，则下列命题中不正确的是( ) A．矩阵A—E是不可逆矩阵．B．矩阵A+E和对角矩阵相似．C．矩阵A属于1与一1的特征向量相互正交．D．方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成．正确答案：C解析：因为矩阵A的特征值是0，1，一1，所以矩阵A—E的特征值是一1，0，一2．由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A一E不可逆．故命题A正确．因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化．命题B正确．(或由A一A→A+E～A+E而知A+E可相似对角化)．因为矩阵A有三个不同的特征值，知因此，r(A)=r(A)=2，所以齐次方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成，即命题D正确．命题C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n 阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交．知识模块：矩阵的特征值和特征向量10．已知A是一个3阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是( ) A．3，i，一1．B．2，一1，3．C．2，i，4．D．1，3，4．正确答案：D解析：因为实对称矩阵的特征值都是实数，故选项A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故选项B也不正确；应用排除法，答案为D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量11．下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3一1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量12．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0．B．λ2≠0．C．λ1=0．D．λ2=0．正确答案：B解析：令k1α1，+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，即(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因为α1，α2线性无关，于是有当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1，线性相关)，故应选B．知识模块：矩阵的特征值和特征向量填空题13．设有二重特征根，则a=__________．正确答案：解析：如果λ=2是二重根，则有λ=2的时候，λ2一2λ一2(a一2)的值为0，可得a的值为2．如果λ2一2λ一2(a—2)=0是完全平方，则有(λ一1)2=0，满足λ=1是一个二重根，此时一2(a—2)=1，．知识模块：矩阵的特征值和特征向量14．已知λ=12是的特征值，则a=____________．正确答案：4解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即所以a=4．知识模块：矩阵的特征值和特征向量15．设A是3阶矩阵，如果矩阵A的每行元素的和都是2，则矩阵A必定有特征向且___________.正确答案：(1，1，1)T解析：已知矩阵A的每行的元素的和都是2，因此有，所以可见矩阵A必定有特征向量(1，1，1)T．知识模块：矩阵的特征值和特征向量16．设α=(1，一l，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A 的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是__________.正确答案：k(1，一1，1)T，k≠0解析：令B=αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B 的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．因为λ=3是矩阵A的特征值，因此a+2=3，可得a=1．那么就有Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α．α=(1，一1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量17．已知矩阵和对角矩阵相似，则a=________．正确答案：一2解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3，可见矩阵A的特征值有重根，已知矩阵A和对角矩阵相似，因此对应于特征根3有两个线性无关的特征向量，因此可得(3E—A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1．因此可见a=一2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量18．已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=__________．正确答案：一1解析：A的特征多项式为所以矩阵A的特征值是一1，且为3重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，即因此a=一1．知识模块：矩阵的特征值和特征向量19．已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________．正确答案：2，2，2解析：因为如果矩阵A有n个不同的特征值，则对应的n个特征向量是线性无关的．已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量．由于主对角元素的和等于所有特征值的和，因此可知1+2+3=3λ，进一步可知λ1=λ2=λ3=2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2001年] 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( )．A．AX=α必有无穷多解B．AX=α必有唯一解C．=0仅有零解D．=0必有非零解正确答案：D解析：齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系，对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系．若秩(A)=秩()，则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系，进一步了解解的情况．解一因秩=秩(A)≤n＜n+1(n+1为未知数个数)，即系数矩阵非列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，=0必有非零解．仅(D)入选．解二由秩=秩(A)知，α必为A的列向量组的线性组合，因而秩([A:α])=秩(A)．由命题4．1．1．2(2)知，Ax=α有解，但有多少个解尚不能确定．如秩(A)＜n，则由命题2．4．1．2(4)知，AX=α必有无穷多解，故(B)不对．但如果秩(A)=n，由命题2．4．1．2(3)知，AX=α必有唯一解，故(A)不对．因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，该方程组必有非零解，故(C)不成立．因而仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．非齐次线性方程组AX=b 中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )．A．r=m时，方程组AX=b有解B．r=n 时，方程组AX=b有唯一解C．m=n时，方程组AX=b有唯解D．r＜n时，方程组AX=b有无穷多解正确答案：A解析：非齐次线性方程组解的情况常用命题2．4．1．2判别，为此应首先考查秩(A)与秩(A)是否相等，但m=秩(A)=r时，可直接利用命题2．4．1．3判定．因A为m×n矩阵，若秩(A)=m，则m=秩(A)≤秩([A : b])≤m，于是秩(A)=秩([A : b])=m，故方程组AX=b当秩(A)=m时必有解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组3．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3 ，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( ).A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：基础解系所含解向量个数等于n=秩(A)，因此先求秩(A)，进而确定选项．解一当A*≠O时，秩(A*)=0，因而秩(A*)=n或秩(A*)=1，于是秩(A)=n或秩(A)=n一1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n一1．因而n一秩(A)=n一(n－1)=1，即其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n－1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n一1，因而秩(A)=n一1，其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A=[α1，α2，α3，α4]是四阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若[1，0，1，0]T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为( )．A．α1，α3B．α1，α2C．α1，α2，α3D．α2，α3，α4正确答案：D解析：先求A*X=0的一个基础解系所含解向量的个数．再由A*A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A*X=0的解，且A的列向量组中含有A*X=0的基础解系，最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系，从而确定A*X=0的基础解系．因AX=0的基础解系只含一个解向量[1，0，1，0]T，故n 一秩(A)=4一秩(A)=1，即秩(A)=3．因而秩(A*)=1．于是A*X=0的一个基础解系必含n一秩(A*)=4一l=3个解向量，这就排除了(A)，(B)选项．因秩(A)=3，故∣A∣=0，所以A*A=∣A∣E=O．又因秩(A)=3，故A的列向量组中含有A*X=0的基础解系．又因[1，0，1，0]T为AX=[α1，α2，α3，α4]X=0的解向量，故[α1，α2，α3，α4][1，0，1，0]T=α1+α3=0，即α1与α3线性相关，从而排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组5．已知β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则AX=b的通解必是( )．A．k1α1+k2(α1一α2)+(β1－β2)／2B．k1α1+k2(α1一α2)+(β1+β2)／2C．k1α1+k2(β1一β2)+(β1－β2)／2D．k1α1+k2(β1一β2)+(β1+β2)／2正确答案：B解析：利用解的结构定理即命题2．4．4．2求之．解一因α1，α2线性无关，由命题2．3．2．2知α1，α1+α2线性无关，α1，α1一α2也线性无关．又因1／2+1／2=1，由命题2．4．4．1知，(β1+β2)／2为AX=b的一特解，由命题2．4．4．2知，k1α1+k2(α2一α1)+(β1+β2)／2为AX=b 的通解．仅(B)入选．解二因(A)中(β1一β2)／2不是AX=b的特解，而(C)中既没有特解，且β1+β2也不是AX=0的解，(D)中虽有特解，且α1与β2一β1均为AX=0的解，但α1与β2一β1的线性相关性无法确定，故(A)，(C)，(D)均不正确．仅(B)入选．知识模块：线性方程组6．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：关键在于构造出AX=0的一个非零特解，求得其基础解系．构造的方法需利用命题2．4．4．1．解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n一秩(A)=4—3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合：2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+c[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1一(α3+α2)／2=(1／2)[2α1一(α2+α3)]=(1／2)[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×(1／2)[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η，也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为AX=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，其中C为任意常数．知识模块：线性方程组7．[2015年] 设矩阵．若集合Ω={1，2}，则线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件为( )．A．aΩ，dΩB．aΩ，d∈ΩC．a∈Ω，dΩD．a∈Ω，d∈Ω正确答案：D解析：只需由AX=b有无穷多解的充分必要条件秩(A)=秩(A:b)＜3找出a，d所满足的条件即可．注意到A为3阶范德蒙行列式，由秩(A)＜3得∣A∣=(2一1)(a一1)(a－2)=0，故a=1或a=2，即a∈Ω．排除(A)、(B)．又由a=1时，=[A:b]=由秩=秩[A:b]＜3得到(d一1)(d一2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．当a=2时，由,故(d－1)(d－2)=0，即d=1，d=2，d∈Ω．因而当a=l，2时，d∈Ω，排除(C)．仅(D)入选．知识模块：线性方程组8．要使ξ1=[1，0，2]T，ξ2=[0，1，一1]T都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为( )．A．[一2，1，1]B．C．D．正确答案：A解析：可用一般的方法求之，也可利用Ax一0的基础解系中解向量的个数求之．解一ξ1，ξ2线性无关，以ξ1T，ξ2T为行向量作矩阵B=，解BX=0，得基础解系β1=[一2，1，1]T，以β1T为行向量作矩阵A=[β1T]，则A即为所求的矩阵，因而仅(A)入选．解二因ξ1，ξ2线性无关，n=3，三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，故3一秩(A)≥2，即秩(A)≤1．(A)，(B)，(C)，(D)中矩阵只有(A)中矩阵的秩等于1．故仅(A)入选．知识模块：线性方程组9．[2000年] 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：AX=0和(Ⅱ)：ATAX=0必有( )．A．(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：本题的难点是在由ATAX=0得到A．这只有将ATAX=0化成只含AX 的式子才好研究，为此在ATAX=0两边同时左乘XT．解一由命题2．4．7．3(1)知，仅(A)入选．解二设a为组(Ⅰ)的任一解，则Aα=0，于是有ATAα=AT(Aα)=AT0=0,即α也是组(Ⅱ)的解．于是得到组(Ⅰ)的解必为组(Ⅱ)的解．反之，设β为组(Ⅱ)的任一解．下面证明它也是组(Ⅰ)的解．由ATAβ=0得到βT(ATAβ)=0，即(Aβ)T(Aβ)=(βTAT)(Aβ)=βT(ATA β)=0．设Aβ=[b1，b2，…，bn]T，则(Aβ)T(Aβ)=b12+b22+…+bn2=0bi=0 (i=1，2，…，n)，即Aβ=0，亦即β为AX=0的解向量．或用反证法证之．若Aβ=[b1，b2，…，bn]T≠0，不妨设b1≠0，则(Aβ)T(Aβ)一[b1，b2，…，bn][b1，b2，…，bn]T=b12+bi2＞0．这与(Aβ)T(Aβ)=0矛盾．因而Aβ=0，于是组(Ⅱ)的解也必为组(I)的解．因而组(I)与组(II)同解．仅(A)入选．知识模块：线性方程组10．设有齐次线性方程组AX=0和βX=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：①若AX=0的解均是BX=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则AX=0的解均是BX=0的解；③若AX=0与BX=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则AX=0与BX=0同解．以上命题中正确的是( )．A．①②B．①③C．②④D．③④正确答案：B解析：利用线性方程组同解的基本性质判别之．仅(B)入选．由命题2．4．7．2知，命题③正确．又命题①也正确，这是因为AX=0的解均是BX=0的解，则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分，因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数，即n一秩(A)≤n一秩(B)，秩(A)≥秩(B)．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1997-2001 年线性代数考研试题
A k -1 ≠0,证明向量组 , A , A k 1 是线性无关的.
五 本题满分 5 分
a11 x1 a12 x 2 , , a1, 2 n x 2 n 0 a x a x , , a x 0 21 1 22 2 2, 2 n 2 n 已 知 线 性 方 程 组 (I) 的一个基础解系为 a n1 x1 a n 2 x 2 , , a n , 2 n x 2 n 0
五 本题满分 5 分
1 1 1 2 已知 A 0 1 1 ,且 A - AB I ,其中 I 是三阶单位矩阵,求矩阵 B. 0 0 1
六 本题满分 8 分
2x 1 x 2 x 3 1 λ 取何值时,方程组 x 1 x 2 x 3 2 无解,有唯一解或有无穷多解？并在有 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
是齐次线性方程组 BX=0 的解向量,求 BX=0 的解空间的一个标准正交基.
1 2 1 2 (2)已知 3 1 是矩阵 A 5 a 的一个特征向量. 1 1 b 2
(i)试确定参数 a,b 及特征向量 所对应的特征值; (ii)问 A 能否相似于对角形？说明理由. 四 本题满分 5 分 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B. (1) 证明 B 可逆; (2) 求 AB-1 .
s x y P 化为椭圆柱面方程 2 4 2 4 ,求 a, b 的值和正交矩阵 P. z
四 (本题满分 4 分) 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 A k x = 0 有解向量α ,且
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
①: , A
*
( A )
*
T
( A ) A
* *
*
, ;
( k , ) k A k ( , );
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
全国研究生入学考试模拟卷B2管综
全国研究生入学考试模拟卷B2管综2020-MKT-ZH-B-02-DB2综合能力试题参考答案一、问题求解1.B2.E3.A4.C5.C6.A7.B8.C9.D10.B11.D12.E13.A14.E15.D二、条件充分性判断16.A17.D18.B19.D20.C21.A22.D23.C24.E25.C三、逻辑推理26.E27.A28.C29.D30.B31.E32.A33.A34.E35.D36.A37.E38.D39.A40.B41.B42.D43.D44.C45.B46.C47.A48.E49.B50.A51.C52.B53.C54.E55.E四、写作56.论证有效性分析【解析】自媒体时代，公众人物几乎失去了自己私生活的空间，毫无隐私可言。
每每有公众人物婚姻触礁，很快就会被媒体曝光。
公众的各种议论也接踵而至，充斥网络。
诚然，名人应该自觉承担更多的社会责任，自觉维护自身形象。
但还是应该对公众人物的私生活予以保护。
首先，公众人物也是自然人，权利是不因主体的属性而发生本质改变的。
公众人物和普通人同样拥有最基本的人格权，即隐私权。
私生活也就是公众人物的隐私。
同时，曝光公众人物的私生活会不可避免地涉及公众人物的家人，这会对他们造成二次伤害。
【谬误1】私生活并不等同于隐私，很多公众人物的私生活都是自行在社交媒体进行曝光的，此种情况下就不能将其等价为隐私。
其次，媒体作为一种社会公器，具有新闻监督的职能。
而正是因为其具有监督权，遇事更应谨慎。
从动机看，很多曝光行为是为了满足公众窥私欲，或者受商业利益的驱动。
试想，媒体时刻紧跟着公众人物的出发点，到底是为了什么？无非是为了猎奇猎丑寻找噱头和卖点。
从手段看，为了获得公众人物私生活，其手段势必会具有不正当性，如偷窥、跟踪甚至是窃听等不法手段；从结果看，媒体需要行使的监督范围应该是涉及公共利益、与社会大多数人正义相关的部分，如果支持曝光私生活，对整个媒体环境是不利的，势必会使其走向庸俗化，泛娱乐化，从这个意义看，曝光行为甚至是对媒体独立性、公正性的亵渎。
考研数学二矩阵模拟试卷21-真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（矩阵）模拟试卷21(总分58, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设A和B都是n阶矩阵，则必有( )SSS_SINGLE_SELA ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B AB=BA。
C ｜AB｜=｜BA｜。
D(A+B) －1 =A －1 +B －1。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正确。
取B=一A，则｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B不正确。
因(A+B)(A －1 +B －1)≠E，故D也不正确。
所以应选C。
2.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )SSS_SINGLE_SELA(A+B)(A—B)=A 2一B 2。
B(A+B) －1 =A －1 +B －1。
C ｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
D(AB) * =B * A *。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：根据伴随矩阵的定义可知 (AB) * =｜AB｜(AB) －1 =｜A｜｜B｜B －1 A －1 =B * A *，故选D。
3.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A 3 =O，则( )SSS_SINGLE_SELA E—A不可逆，E+A不可逆。
B E—A不可逆，E+A可逆。
C E一A可逆，E+A可逆。
D E—A可逆，E+A不可逆。
该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：已知(E—A)(E+A+A 2 )=E—A 3 =E，(E+A)(E—A+A 2 )=E+A 3 =E。
故E—A，E+A均可逆。
故应选C。
4.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为( )SSS_SINGLE_SELA 1。
B 2。
C 3。
D 4。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
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北京交通大学
2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)
专业 班级 学号 姓名
一． （12分）设3R 的两个基为T
T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ，
（1） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐
标。
二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=，
求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。
三． （12分）设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=120520i i i A ，
（1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=， 计算1Ax 和∞Ax 。
四．（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=131321*********A 的满秩分解。
五． （12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U 是
酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。
六． （20分）证明题：
1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。
2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。
3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈， ),(),(Ty x y Tx = 的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。
七． （20分） 设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100100011A 。
（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。