人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.3.2 函数的极值与导数

求可导函数f(x)极值的 步骤: 极值的 步骤: 求可导函数
(1) 确定函数的定义域; 确定函数的定义域 (2)求导数 '(x); 求导数f 求导数 ; (3)求方程 '(x)=0的根; 求方程f ) 的根 的根; 求方程 (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间, 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 '(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 如果左正右负(+ ~ -), 如果左正右负 如果左正右负( ), 那么f(x)在这个根处取得极大值; 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 如果左负右正(- ~ +), 如果左负右正 如果左负右正( ), 那么f(x)在这个根处取得极小值; 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
局部性质. 的,是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间 多个极大值或极小值, 上可能有多个极大值或极小值 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 一点的极大值也可能小于另一点的极小值. 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.
练习1.判断下面 个命题 练习 判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ② 判断下面 个命题, ①可导函数必有极值; 可导函数必有极值;
.
如y = x 3
②可导函数在极值点的导数一定等于零; 可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极大值 (设极小值,极大值都存在); 设极小值,极大值都存在); ④函数的极小值(或极大值)不会多于一个. 函数的极小值(或极大值)不会多于一个.
a = 2, b = 9, c = 12
注意: 注意:数形结合以及函数与方程思想的应用
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观察与思考:极值与导数有何关系? 观察与思考:极值与导数有何关系? 对于可导函数, 对于可导函数 可导函数 是极值点,则 若x0是极值点 则 f '(x0)=0; 反之,若 反之 若f'(x0)=0,则x0不一定是极值点 则 不一定是极值点.
如何判断f 是极大值或是极小值? 如何判断 (x0)是极大值或是极小值? 是极大值或是极小值
注意代 入检验
注意: 注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) = ax + bx + cx 年北京卷) 4.( 处取得极大值5,其导函数 在点 x0 处取得极大值 其导函数 y = f '( x) 的图像 (如图 过点(1,0),(2,0), 求: 如图)过点 如图 过点( ) ( ) 的值;( ;(2) 的值; (1) x0 的值;( )a,b,c的值; ) 的值
y x f(x) x0左侧 增 x0左侧 x0 极大值 x0 x0右侧 减 x0右侧 f′(x) f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0
o a
y
x0
b x x f′(x) f′(x) <0 f′(x) =0 f′(x) >0 f(x) 减 极小值 增
o
a
x0
b
x
左正右负为极大, 左正右负为极大,右正左负为极小
观察图像: 观察图像:
函数的极值定义
y y
使函数取得极值的 点x0称为极值点 称为极值点
o
a
x
o
a
x
注意: 注意:
(1)极值是某一点附近的小区间而言 ) 是函数的局部性质,不是整体的最值 的,是函数的局部性质 不是整体的最值 是函数的局部性质 不是整体的最值; (2)函数的极值不一定唯一 在整个定义区间 )函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值; 内可能有多个极大值和极小值; (3)极大值与极小值没有必然关系, )极大值与极小值没有必然关系, 极大值可能比极小值还小. 极大值可能比极小值还小 y P(x1,f(x1)) o a x1 Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b x y=f(x)
变化时, 的变化情况如下表: 当x变化时 y ′ ,y的变化情况如下表 变化时 的变化情况如下表 x y' y (-∞,-2) ∞ + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0
极小值- 4/3
(2,+∞) ∞ + ↗
因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值=28/3; 时有极大值 并且,y 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值=- 4/3. 当 时有极小值 并且,y
练习: 练习:
2,函数y=f(x)的导数 /与函数值和极值之间的关系为 D ) ,函数 的导数y 的导数 与函数值和极值之间的关系为( A,导数y/由负变正 则函数 由减变为增 且有极大值 ,导数 由负变正,则函数 由减变为增,且有极大值 则函数y由减变为增 B,导数y/由负变正 则函数 由增变为减 且有极大值 ,导数 由负变正,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减 C,导数y/由正变负 则函数 由增变为减 且有极小值 ,导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极小值 则函数y由增变为减 D,导数y/由正变负 则函数 由增变为减 且有极大值 ,导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减
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略解: 略解: (1)由图像可知 (1)由图像可知:x0 = 1 由图像可知: f / ( x)=3ax 2 + 2bx + c ≠ 0) (a (2)
f (1) = a + b + c = 5
.
2b - 3a = 3 或 c =2 3a
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / ( 2) = 12a + 4b + c=0
,
由题设条件得: 解:由题设条件得: f (/1) = 10 由题设条件得 f (1) = 0 解之得
a = 3 a = 4 或 b = 3 b = 11
1 a b + a 2 = 10 选择 . 通过验证,都合要求,故应选择A.
时有极值10 10, 3.函数 f (x) = x ax bx+ a 在 x = 1时有极值10,则a,
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C b的值为( ) 的值为( 的值为 A, a = 3, b = 3 或 a = 4, b = 11 B, a = 4, b = 1 或 a = 4, b = 11 C,a = 4, b = 11 D, 以上都不对
导数为 的点不一定是极值点; 导数为0的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点; 若极值点处的导数存在,则一定为0 若极值点处的导数存在,则一定为 若极值点处的导数存在
例题选讲: 例题选讲:
′ = x 2 4 = ( x 2)( x + 2). 解: y 解得x 令 y′ = 0 ,解得 1=-2,x2=2. 解得
3.3.2 函数的极值与导数
复习: 单调性与导数的关系: 复习 单调性与导数的关系:
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 设函数 在某个区间内可导, 内可导
如果 ′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f 为增函数; 如果 , 为增函数 如果 ′(x)<0,则f(x)为减函数; 如果f 为减函数; 如果 , 为减函数 如果 ′(x)=0,则f(x)为常数函数; 如果f , 为常数函数; 如果 为常数函数