变精度下近似算子与程度上近似算子的差运算的算法与分析
常微分方程近似计算和误差估计
常微分方程近似计算和误差估计常微分方程近似计算和误差估计是数值分析中的一个重要问题。
在许多实际应用中，我们常常需要求解常微分方程，但由于各种原因（如方程的复杂性、求解区域的大小和形状、计算机的精度限制等），直接求解可能非常困难或几乎不可能。
因此，我们需要使用数值方法来近似求解常微分方程。
下面是一些常见的常微分方程近似计算和误差估计的方法：1.欧拉方法：欧拉方法是数值求解常微分方程最简单的方法之一。
它的基本思想是用离散的点来近似代替连续的时间或空间，从而将微分方程转化为差分方程。
欧拉方法的误差是O(Δt)，其中Δt是时间步长。
2.龙格-库塔方法：龙格-库塔方法是一种更精确的数值求解常微分方程的方法。
它使用一系列线性插值来近似解的路径，并使用高阶公式来计算下一个点的值。
龙格-库塔方法的误差是O(Δt^n)，其中n是方法的阶数。
3.辛普森方法：辛普森方法是一种基于有限差分的数值求解常微分方程的方法。
它的基本思想是将微分方程转换为差分方程，然后使用辛普森公式来近似求解。
辛普森方法的误差是O(Δt^2)。
4.高斯-勒让德方法：高斯-勒让德方法是一种基于高斯消去法的数值求解常微分方程的方法。
它使用一系列的线性代数操作来求解常微分方程，误差是O(Δt^2)。
5.自适应步长方法：自适应步长方法是一种可以根据需要调整时间步长的数值求解常微分方程的方法。
它使用一些准则来决定何时增加或减少时间步长，以确保计算的精度和稳定性。
对于这些方法的误差估计，通常可以使用一些稳定性分析和数值实验的方法。
例如，对于欧拉方法，我们知道其误差是O(Δt)，但对于其他方法，我们需要进行更详细的分析和实验来确定误差的上限。
另外，还有一些更高级的数值方法，如谱方法、有限元方法等，可以用于求解更复杂或更高维的常微分方程。
这些方法的误差估计通常需要更多的数学和计算知识，并且需要进行更详细的数学证明和分析。
近似与误差高中数学近似计算问题的解题方法
近似与误差高中数学近似计算问题的解题方法近似计算是数学中常见的问题解决方法之一，它在实际生活和学习中起着重要的作用。
本文将介绍一些解决近似与误差问题的高中数学方法。
一、绝对误差与相对误差在讨论近似计算问题之前，有必要了解绝对误差和相对误差的概念。
绝对误差是指近似值与精确值之间的差别，用符号“|△x|”表示，即|△x| = |近似值 - 精确值| 。
相对误差则是绝对误差与精确值之比，用符号“△x/x”表示，即△x/x = (|近似值 - 精确值|) / 精确值。
二、四舍五入法四舍五入法是最简单也是最常用的近似计算方法之一。
当我们需要将一个数近似为某个位数（如十位、百位）时，可以按照以下规则来进行近似计算：1. 如果需要舍去的数小于5，那么该位数保持不变；2. 如果需要舍去的数大于5，那么该位数加一；3. 如果需要舍去的数等于5，那么根据舍去位置的后一位来判断：a. 后一位数为0，则该位数保持不变；b. 后一位数大于0，则该位数加一；c. 后一位数小于0，则该位数保持不变。
例如，将3.456近似到十位数，则根据四舍五入法，结果为3.46。
三、有效数字与位数规则有效数字是指用于表示一个数值的数字中，从第一个非零数字开始到最右侧数字之间的所有数字。
在近似计算中，我们通常以有效数字的形式呈现结果。
为了确定有效数字的位数，在进行四舍五入之前，需要遵循以下规则：1. 保留的位数是指四舍五入后的结果需要保留的数字位数；2. 当需要保留的位数之后还有非零数字时，按四舍五入法处理；3. 当需要保留的位数之后还有零时，如果该零后仍有其他非零数字，则需要保留该零，否则可以舍去。
例如，将2.305001近似到3位有效数字，则根据四舍五入法，结果为2.31。
四、加减法中的近似计算在加减法中，当我们需要对数进行多个近似计算时，应该注意一些规则：1. 对于相同的位数，我们对应的位数进行运算后再进行近似计算；2. 对于不同的位数，我们将较大位数的数据进行近似计算并保留相同位数的有效数字。
数学中的数值近似与误差分析
数学中的数值近似与误差分析在数学领域中，我们经常会遇到精确计算不可能的问题，这时就需要使用数值近似方法来逼近答案。
然而，数值近似并不是完全准确的，会引入一定的误差。
因此，对数值近似结果的误差分析显得尤为重要。
本文将介绍数学中的数值近似方法以及误差分析的相关概念。
一、数值近似方法数值近似是通过将复杂的数学问题转化为可计算的近似解的方法。
常用的数值近似方法包括牛顿法、二分法、插值法等。
这些方法在实际运用中，对于特定问题往往有不同的适用性。
在选择数值近似方法时，我们需要根据具体问题的特点来进行判断和选择。
牛顿法作为一种迭代法，可以用来求解非线性方程的近似解。
其基本思想是通过逐步逼近方程的解来达到近似的目的。
具体的算法流程是，在初始估计值的基础上，通过迭代计算来得到一个新的近似解，直到满足预设的精度要求。
二分法则是一种求解方程根的方法。
其基本思想是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解。
具体的算法流程是，首先确定方程根可能存在的区间，将区间一分为二，判断根是否在左半区间还是右半区间，然后继续将包含根的那个区间一分为二，以此类推。
插值法是通过已知的散点数据来构造出一个逼近函数，从而求解未知点的近似值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法的基本思想是通过已知数据点之间的连线或曲线来逼近未知数据点处的函数值。
以上只是数值近似方法的简单介绍，不同的数值问题需要根据具体情况选择合适的方法。
然而，即使是最优的数值近似方法，在计算过程中也会引入一定的误差。
二、误差分析误差是数学计算中无法避免的问题，其来源主要有两个方面：截断误差和舍入误差。
截断误差是在使用数值近似方法时，我们通常会对计算过程进行一定程度的截断。
比如在使用牛顿法进行迭代计算时，我们设定了迭代次数或者设定了精度，在计算过程中对于某些计算步骤进行了舍去或者截断。
这样就会引入截断误差。
舍入误差是由于计算机计算精度有限，无法表示无穷小数，所以在计算过程中我们通常会对无穷小数进行近似表示。
勾股定理的近似解与误差分析
勾股定理的近似解与误差分析勾股定理是数学中的一条重要定理，用于求解直角三角形的边长或角度。
它可以简洁地表达为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际应用中，由于计算精度的限制或需要快速解决问题的需求，我们有时会使用勾股定理的近似解。
本文将探讨勾股定理的近似解方法，并对这些方法的误差进行分析。
1. 近似解方法1.1 泰勒级数展开法我们可以使用泰勒级数展开的方法来求解勾股定理的近似解。
将勾股定理中的平方项逐项展开，并保留前几项，即可得到一个近似解。
这种方法适用于较小的角度范围内。
1.2 马克劳林展开法类似于泰勒级数展开法，马克劳林展开法也可以用于求解勾股定理的近似解。
它将函数在某一点附近展开成幂级数，通过保留前几项来得到近似解。
与泰勒级数展开法相比，马克劳林展开法更适用于较大的角度范围。
1.3 迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解近似解的方法。
对勾股定理中的斜边长度进行迭代计算，每一步都使用当前的近似解作为下一步的初始值，直到满足一定的精度要求。
2. 误差分析对于使用近似解方法求解勾股定理的问题，我们需要对其误差进行分析。
误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指近似解与精确解之间的差值，可用以下公式表示：绝对误差 = |近似解 - 精确解|相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值，可用以下公式表示：相对误差 = 绝对误差 / 精确解误差的主要来源包括近似解方法的精度限制、计算机数值表示的精度限制以及输入数据的误差等。
在使用近似解方法求解勾股定理时，我们可以通过调整近似解方法的精度或使用更高级的数值计算方法来减小误差。
同时，合理设置计算精度和对输入数据进行准确性检查也是降低误差的关键。
3. 总结勾股定理的近似解可以通过泰勒级数展开法、马克劳林展开法和迭代法等方法得到。
这些方法的误差可以通过绝对误差和相对误差进行分析。
在实际应用中，我们需要根据问题的具体要求和数值计算的精度限制来选择合适的近似解方法和减小误差的策略。
近似计算与误差分析
物理问题中的近似计算
量子力学
在处理复杂的多体问题时，常采用近似方法，如变分法、微扰法 等，以得到可解析或数值求解的近似解。
电磁学
在电磁场计算中，对于复杂形状和边界条件的问题，常采用近似 解法，如有限元法、边界元法等。
统计物理
在处理大量粒子组成的系统时，常采用近似方法描述系统的宏观 性质和行为，如平均场理论、涨落理论等。
近似计算的缺点
精度损失
近似计算会引入误差，这可能导致结果不准确或误导 。
误差累积
在连续进行多次近似计算时，误差可能会累积并放大 ，导致最终结果严重偏离真实值。
适用性限制
某些问题可能不适合使用近似方法解决，因为它们需 要非常高的精度或特定的数学特性。
改进方向及展望
算法优化
误差控制
开发更高效的近似算法，以在保持计算速 度的同时提高精度。
近似计算的方法与技巧
Chapter
等价变换法
等价无穷小替换
在极限计算中，通过等价无穷小替换简化计算过 程。
泰勒级数展开
将复杂函数用泰勒级数展开，取有限项进行近似 计算。
洛必达法则
在求解不定式极限时，通过洛必达法则转化为求 导运算。
微元法
微分近似
利用微分表示函数在某点的局部变化率，进行 近似计算。
在函数运算中，自变量$x$的误差$Delta x$会导致因变量$y$产生误差$Delta y$。误差传递公式描 述了这种关系，即$Delta y = f'(x) Delta x$。
误差合成
当多个近似值参与运算时，它们各自的误差会合成一个总误差。误差合成公式为$Delta z = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$，其中$Delta x$和$Delta y$分别为参与运算的两个近似值的误差 。
近似计算与误差分析
近似计算与误差分析近似计算是一种常见的数值计算方法，它在实际问题中具有广泛的应用。
而误差分析则是对这些近似计算方法进行评估和验证的过程，旨在确定近似计算结果的准确性和可靠性。
本文将介绍近似计算的基本原理和常用方法，并讨论误差分析的方法和重要性。
一、近似计算的原理和方法近似计算是一种通过使用一些近似的数学模型或方法来求解复杂问题的数值解。
其基本原理是将原问题转化为一个近似的数学模型，然后使用数值方法对该模型进行求解。
近似计算的方法有很多，下面介绍其中几种常见的方法。
1. 数值逼近法：通过插值或拟合已知数据点，构建一个近似函数来求解问题。
这种方法适用于已知部分输入输出关系的问题，如求解函数在某一点的导数或积分。
2. 数值积分法：将被积函数分割为若干小区间，然后使用数值方法计算每个小区间的积分值，并将这些值相加得到最终的近似积分值。
这种方法适用于求解定积分的问题。
3. 数值微分法：利用数值方法计算函数在某一点的导数值。
常见的数值微分方法包括中心差分法和前向差分法。
4. 迭代法：通过迭代计算得到问题的近似解，直到满足收敛条件为止。
迭代法常用于求解非线性方程、线性方程组和优化问题等。
二、误差分析的方法和重要性误差分析是对近似计算结果进行验证和评估的过程，目的是确定近似计算结果的准确性和可靠性。
误差分析可以帮助我们了解近似计算方法的局限性，并提供对计算结果的可信度评估。
误差分析的方法主要包括以下几个方面：1. 绝对误差和相对误差：绝对误差是近似计算结果与真实值之间的差异，而相对误差则是绝对误差与真实值之间的比值。
这两个指标可以帮助我们评估近似计算结果的精度。
2. 截断误差和舍入误差：截断误差是由于在近似计算中舍入或截断无限小数而引入的误差，而舍入误差是由于计算机对数字进行舍入造成的误差。
理解和控制这两种误差是进行误差分析的重要一步。
3. 敏感性分析：通过分析输入数据的变化对计算结果的影响程度，可以评估近似计算方法对输入数据的敏感性，并确定在不同输入条件下的误差范围。
近似计算及其精度分析
近似计算及其精度分析随着计算机技术的飞速发展，现在我们能够使用各种各样的算法来解决复杂的数学问题。
其中近似计算作为数学的一个重要分支，在实际应用中得到了广泛的应用。
在本文中，我们将介绍近似计算的基本定义和应用，并分析其精度和误差控制技术。
1. 近似计算的定义近似计算是指使用一些近似的方法来得到某个函数或数值的近似值。
在实际应用中，我们往往需要求出某个函数或数值的精确值，但由于各种各样的原因，如计算机的限制、输入数据的不确定性等，我们无法得到精确的结果。
所以我们需要使用近似计算。
举个例子，我们需要求解一个方程f(x)=0的根，但由于这个方程的形式很复杂，我们无法用解析方法求出它的精确解。
这个时候我们可以使用数值方法，比如牛顿迭代法等，进行近似计算。
虽然不能得到精确解，但是近似值也可以非常接近精确值。
2. 近似计算的应用近似计算被广泛应用于各种数学问题中。
在科学计算中，我们常常需要对各种数据进行拟合和逼近，这时候就需要使用近似计算。
在金融学中，我们需要对股票、利率等进行预测和估计，也需要使用近似计算。
在计算机图形学中，我们需要对图像进行处理和优化，同样需要使用近似计算等等。
3. 精度分析对于近似计算，我们需要考虑它的精度和误差。
精度是指近似值和精确值的偏差程度，即用近似值代替精确值的误差大小。
误差是指近似值与精确值之间的差别，是指近似计算的可靠性和准确性。
我们可以使用各种方法来分析近似计算的精度和误差，其中最常用的方法是绝对误差和相对误差。
绝对误差是指近似值和精确值之间的差别，用公式表示为|approx-exact|。
相对误差是指绝对误差和精确值之间的比率，用公式表示为|approx-exact|/exact。
除了绝对误差和相对误差以外，我们还可以使用误差限来控制误差大小。
误差限是指误差的大小不超过一定的界限，是指近似值的精度和可靠性。
在实际应用中，我们可以使用误差限来控制误差大小，同时保证近似计算的精度和可靠性。
数值计算精度分析与误差修正算法
数值计算精度分析与误差修正算法数值计算是科学计算中非常常见和重要的一部分，其在各个领域的应用非常广泛。
然而，由于计算机运算精度的限制以及计算过程中所引入的舍入误差，数值计算结果往往存在一定的误差。
因此，对数值计算的精度进行分析，并针对误差进行修正是非常重要的。
1. 数值计算的误差来源在进行数值计算时，我们常常涉及到对无理数、无穷大、无穷小等抽象概念的近似表示，从而引入了舍入误差。
此外，计算过程中可能还会出现截断误差、舍入误差和传播误差等。
截断误差是指在进行数值计算时，由于为了简化计算过程或减少计算量而对计算公式进行近似，从而引入的误差。
常见的截断误差有泰勒展开式截断误差、数值积分的截断误差等。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时，无法表示无穷多位的小数而引入的误差。
舍入误差主要包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是指计算结果与真实结果的差值，而相对误差则是绝对误差与真实结果的比值。
传播误差是指在进行多个数值计算时，每个计算结果的误差不断积累和传播，最终导致整个计算结果的误差扩大。
2. 数值计算的精度分析数值计算的精度分析主要是通过估计和控制计算结果的误差来评估计算结果的可靠性。
精度分析的基本思路是对计算公式和计算过程进行分析，找出导致误差增大的因素，并设计相应的算法来减小误差。
对于截断误差，我们可以通过改进计算公式、增加计算步骤等方式来减小误差。
对于舍入误差，我们可以使用高精度计算的方法，例如使用高精度数值库或者自行实现高精度计算算法。
另外，还可以利用数值稳定性的分析，通过将计算过程中不稳定的部分进行变换或简化来减小误差。
在数值计算中，一种常用的精度分析方法是条件数的估计。
条件数是衡量问题对输入误差的敏感程度，即解的变化与输入误差的变化之间的关系。
通过计算条件数，我们可以对问题的稳定性进行量化评估，并根据条件数的大小来选择合适的计算方法。
3. 误差修正算法误差修正算法是在对数值计算的误差进行分析后，针对具体的问题采取的改进计算方法。
近似计算技巧
近似计算技巧近似计算是数学中常用的一种技巧，用于快速估算一个数的大小或一个式子的结果。
在生活中，我们经常遇到需要快速计算的情况，例如购物时计算折扣后的价格、规划旅行时估算路程时间等。
近似计算可以帮助我们在短时间内获得一个大致的结果，方便日常生活和工作。
近似计算的基本原理是忽略掉计算中的小数点后几位或将一个数替换为一个与之接近的整数。
通过减少计算步骤和简化计算过程，近似计算可以在很大程度上节省我们的时间和精力。
下面以几个具体的例子来说明近似计算的应用。
首先是购物时计算折扣后的价格。
假设某件商品原价为349元，我们知道商家正在进行7折的优惠活动，我们可以使用近似计算来快速得到折扣后的价格。
将349除以10，得到34.9，然后将小数点后的一位数四舍五入为整数，得到35。
再用35乘以7，得到245。
所以折扣后的价格为245元。
通过近似计算，我们可以在短时间内得到一个近似的结果。
其次是规划旅行时估算路程时间。
假设我们要从A城市驾车到B城市，两地相距230公里，我们的车速为80公里/小时。
使用近似计算，我们可以很快地估算出需要的行驶时间。
将230除以80，得到2.875，接近3。
所以我们可以估计需要的行驶时间为3小时。
当然，这只是一个近似值，实际情况可能因为交通状况等因素而有所不同。
近似计算还可以在科学研究中起到重要的作用。
在实验中，我们常常需要进行测量和计算，得到一个近似的结果。
由于测量仪器的精度或实验操作的局限性，我们无法得到完全准确的结果，只能得到近似值。
通过合理地运用近似计算，我们可以在短时间内得到近似的结果，并进一步进行数据处理和分析。
当然，近似计算也有一些局限性。
由于近似计算是简化计算过程的一种方法，所以在某些情况下会产生一定的误差。
这种误差可能会累积，导致最终结果与准确值之间有较大的差距。
因此，在进行近似计算时，我们需要根据具体情况和需要的精度来选择合适的方法。
总之，近似计算是一种在日常生活和工作中非常常用的技巧。
程度上下近似算子的逻辑差运算模型
程度上下近似算子的逻辑差运算模型张贤勇;莫智文【摘要】Based on logic difference requirement of grade, a model of logic difference operation of grade upper approximation oper-ator and grade lower approximation operator is proposed. The essence, basic structure and properties of the difference operation are studied. Macroscopic algorithm and structural algorithm are proposed and analyzed. It is obtained that structural algorithm has more ad-vantages than macroscopic algorithm. Finally, the new model and its algorithms are illustrated by an example. The new model has sig-nificance for both theoretical improvement and quantitative application of rough set model.%基于程度的逻辑差需求,提出了程度上下近似算子的逻辑差运算模型.在该模型中,研究了程度上下近似算子的逻辑差运算的本质、基本结构与性质,提出了宏观算法与结构算法,进行了算法分析与比较,得到了结构算法比宏观算法更具优势的结论.最后用实例对程度上下近似算子的逻辑差运算模型及其算法进行了说明.程度上下近似算子的逻辑差运算模型,对粗糙集模型的理论发展与量化应用具有意义.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)005【总页数】4页(P577-580)【关键词】人工智能;粗糙集模型;程度粗糙集;程度近似算子;结构算法;宏观算法【作者】张贤勇;莫智文【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】TP18粗糙集理论是一种新的处理含糊性和不确定性问题的数学工具.粗糙集理论认为人的智能表现为对事物、事件、行为、感知等的分类能力，把不确定性归属在集合的边界区域.经典粗糙集模型［1］具有缺陷，那就是等价类与集合的包含关系是严格的，忽略了等价类与集合重叠部分的定量信息.如果要根据等价类与集合重叠的多少来近似概念，经典模型就无能为力了.而在实际中，集合间往往呈现一定程度的包含关系，同时等价类与集合重叠部分的定量信息是相当重要的，因此需要拓展经典粗糙集模型.程度粗糙集模型［2］和变精度粗糙集模型［3］就是最重要的2个拓展模型.U为有限论域，R为其上的等价关系，［x］R为元素x所在等价类，(U，R)称为近似空间.A⊆U，|［x］R|-|［x］R∩A|≤k}称为集合A的程度k上下近似分别称为程度k上下近似算子时A称为程度k粗糙集，其中非负整数k称为程度.当k=0时即程度粗糙集模型完全拓展了经典粗糙集模型.程度粗糙集模型主要通过程度进行刻画.程度是一个重要的量化刻画指标，与绝对误差相联系，把等价类与集合重叠部分的信息绝对量化，其理论研究和技术创新都具有重要意义.程度粗糙集模型已有一些研究成果，文献［4］研究了基于嵌套邻域系统的程度粗糙集模型，文献［5-8］研究了一些特定程度粗糙集模型的建立及性质，文献［9］在一般近似空间下研究了程度粗糙集模型的内部结构与深刻性质，文献［10-11］研究了程度粗糙集模型的约简，文献［12-13］研究了程度粗糙集模型中的程度近似算子的两种特定乘积.通过精度进行相对量化刻画的变精度粗糙集模型的理论与应用一直是科研热点，而文献［14-17］则研究了程度粗糙集模型与变精度粗糙集模型的结合与推广，并得到了许多成果.文献［18］比较研究了程度粗糙集模型与变精度粗糙集模型，得到了两者的关系与转化，为两者的深入结合与广泛应用提供了基础.本文基于程度的逻辑差需求，探索新的程度粗糙集相关模型，研究其结构、性质与计算等.1 程度上下近似算子的逻辑差运算模型程度上近似描述“属于A的个数多于k个”的类别，程度下近似描述“不属于A 的个数至多k个”的类别，若对“属于A的个数”与“不属于A的个数”同时产生要求(这对应于不同的逻辑运算)，则可产生新的模型来满足实际需要，其中本文提出的程度上下近似算子的逻辑差运算模型，就是采用逻辑差技术，得到“属于A 的个数”与“不属于A的个数”的反向排斥组合，从而产生新的和多方位的程度量化刻画.定义1 定义程度上下近似算子的逻辑差运算程度上下近似算子的逻辑差运算模型，进行了程度的逻辑差组合，是该逻辑组合的结果，这在实际中是有意义的.()A是“属于A的个数多于k个，但不属于A的个数也多于k个”的等价类的并集.定理1推论1定理2的必要条件.证明 1)k＜|［x］R|-k，即|［x］R|＞2k时，可能成立;2)k≥|［x］R|-k，即|［x］R|≤2k时，.所以为的必要条件.定理1给出了程度上下近似算子的逻辑差运算的本质，定理2则刻画了程度上下近似算子的逻辑差运算模型的基本结构.下面将研究程度上下近似算子的逻辑差运算的2种不同算法及其分析与比较.k=0时即为经典粗糙集模型中的边界域，结果是平凡的;故在算法分析中主要研究的是k＞0的一般情形.宏观算法 1)计算程度上、下近似;2)由集合的差，即定理1得结构算法由定理2的计算公式判别每个类是否属于进而得到其中，|［x］R∩A|与参数比较大小的先后顺序为：先k后|［x］R|-k.这2个算法，核心的部分是对每类［x］R，判断它是否属于特定集合，主要计算是比较大小.对每类［x］R，需要2个输入数据：|［x］R|、|［x］R∩A|，设类［x］R共有n个，则需要2n个输入数据.下面以比较大小作为基本操作，以类［x］R的规模n作为实例特征，来分析和比较2个算法.在宏观算法中，每个类需要判断是否属于，需要比较大小2次，需要1个辅助变量|［x］R| -|［x］R∩A|，其余是1步集合的差运算.所以，宏观算法的时间、空间复杂性分别为：T(n)=2n、S(n)=n，且在每种情况下是恒定不变的.在结构算法中，每个类的|［x］R∩A|需要先与k比较大小1次.1)若|［x］R∩A|≤k，则不需要再操作有若|［x］R∩A|＞k，则还需要用|［x］R∩A|与|［x］R|-k比较大小1次，需要1个辅助变量|［x］R|-k.所以，在最坏的情况下，结构算法的时间、空间复杂性分别为：T(n)= 2n、S(n)=n.综上，在最坏的情况下，2个算法的时间、空间复杂性的渐近分析为：T(n)=Θ(n)、S(n)=Θ(n)，但结构算法比宏观算法更具有时间、空间优势：1)宏观算法不存在最好、最坏与平均情况的差异，而结构算法在一般情况下，会有|［x］R∩A|≤k.|［x］R∩A|≤k会降低结构算法的时间、空间复杂性.显然，所有类满足|［x］R∩A|≤k为结构算法的最好情况，此时T(n)=n且该算法原地工作;2)结构算法由比较大小只需判定类与一个目标集的关系，而宏观算法需要判定类与2个目标集的关系，而且还需要1步集合的差运算.显然宏观算法立足于宏观角度，表示直接、简洁，容易表述、理解和操作.结构算法则立足于微观角度，描述目标集的基本结构.从算法的时间、空间复杂性分析来看，结构算法比宏观算法更具优势.主要原因在于经过理论推导，定理2把程度上下近似算子的逻辑差运算刻画得更加精确.计算时先由|［x］R∩A|与k、|［x］R∩A|与|［x］R|-k的关系判断类是否属于(-)A，进而求得(-)A.而宏观算法必须先确定类的程度上下近似2种集合归属，然后还要再用集合差转换.实际应用中论域的分类往往是很多的，故在大量数据处理中，通过结构算法会节约大量的时间和空间.对海量数据，还可以通过定理2中［x］R⊆( -)A的必要条件|［x］R|＞2k，来进行算法的预处理及优化.下面将研究程度上下近似算子的逻辑差运算的性质.定理3 1)2)A⊆B时3)4)5)6)k≥l时证明 1)由易证.2)A⊆B时3)和4)的结论由2)易得，因为(A∩B)⊆A，B⊆(A∪B).5)6)因为k≥l等价于所以定理4定理5证明记()A=B，则B=∪{［x］R：k＜|［x］R∩A|＜|［x］R|-k}，现需证明φ.若有则k＜|［x］R∩B|＜|［x］R|-k，但B为等价类的并，故|［x］R∩B|=0或|［x］R∩B|=|［x］R|，则有 k＜0或|［x］R|＜|［x］R|-k，矛盾，故2 实例(U，R)为近似空间，U/R含有20个等价类，A⊆U表征某一概念集，等价类的统计结果见表1.下面将在k=1的情况下，利用宏观算法和结构算法计算概念集A的程度上下近似算子的逻辑差运算结果，即宏观算法1)刚好包含以下10个类别：［x］5、［x］8、［x］9、［x］12、［x］13、［x］14、［x］17、［x］18、［x］19、［x］20，R—kA则刚好包含以下10个类别：［x］1、［x］2、［x］4、［x］5、［x］8、［x］9、［x］13、［x］14、［x］19、［x］20;2)表1 等价类的统计结果Table 1 Statistical results of equivalence classes［x］m |［x］m| |［x］m∩A| |［x］m|-|［x］m∩A|［x］1101［x］2 1 1 0［x］3 2 0 2［x］4 2 1 1［x］5 2 2 0［x］6 3 0 3［x］7 3 1 2［x］8 3 2 1［x］9 3 3 0［x］10 4 0 4［x］11 4 1 3［x］12 4 2 2［x］13 4 3 1［x］14 4 4 0［x］155 0 5［x］16 5 1 4［x］17 5 2 3［x］18 5 3 2［x］19 5 4 1［x］20550结构算法因为［x］1、［x］2、［x］3、［x］4、［x］6、［x］7、［x］10、［x］11、［x］15、［x］16等10个类别满足|［x］R∩A|≤k，所以它们不属于A，剩余的10类还需要分别用|［x］R∩A|与|［x］R|-k比较大小1次，分别需要1个辅助变量|［x］R|-k，可得出仅有［x］12、［x］17、［x］18满足|［x］R∩A|＜|［x］R|-k.所以，(-)A=［x］12∪［x］17∪［x］18.(-)A=［x］12∪［x］17∪［x］18描述的是“属于概念集A的个数多于1个，但不属于概念集A的个数也多于1个”的等价类别.由本例可见，程度上下近似算子的逻辑差运算模型，利用程度指标对概念集进行了复合逻辑刻画，具有实际意义.本例有20个类，宏观算法的时间、空间复杂性为：T(20)=40、S(20)=20.而结构算法的时间、空间复杂性为：T(20)=30、S(20)= 10.结构算法的优势比较明显.程度上下近似算子的逻辑差运算模型，源于程度量化指标的逻辑差需求，具有实际的量化含义，因而具有重要的理论价值和广阔的应用前景.本文给出了该模型的本质、基本结构、性质和计算算法及分析.进一步，该模型更深刻的研究与应用，以及平行于本模型的其它模型，有待深入探讨.参考文献［1］Pawlak Z.Rough sets［J］.Inter J Comput Info Sci，1982，11：341-356.［2］Yao Y Y，Lin T Y.Generalization of rough sets using modal logics ［J］.Intelligent Automation and Soft Computing，1996，2(2)：103-120. ［3］Ziarko W.Variable precision rough set model［J］.J Comput Syst Sci，1993，46(1)：39-59.［4］Yao Y Y，Lin T Y.Graded rough set approximations based on nested neighborhood systems［C］//Zimmermann H J.Proceedings of 5th European Congress on intelligent techniques and Soft computing.Aachen：Verlag Mainz，1997(1)：196-200.［5］Xu W H，Liu S H，Wang Q R，et al.The first type of graded rough set based on rough membership function［C］//Fuzzy Systems and Knowledge Discovery.New York：IEEE，2010：1922-1926.［6］戴岱，王健鹏，薛涵芳.基于覆盖的程度粗糙集模型［J］.江汉大学学报：自然科学版，2008，36(1)：13-14.［7］杨天明，蔡井伟，唐孝法.基于随机集的程度粗糙集模型及其应用［J］.淮阴工学院学报，2010，19(1)：14-16.［8］徐伟华，刘士虎，张文修.一般二元关系下基于粗糙隶属函数的程度粗糙集［J］.重庆理工大学学报：自然科学版，2010，24(10)：101-108.［9］张贤勇，谢寿才，莫智文.程度粗糙集［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2010，33(1)：12-16.［10］戴岱，秦克云，李众立.基于程度粗糙集模型的近似约简和近似相对约简［J］.西南科技大学学报：自然科学版，2003，18(4)：8-10.［11］成蓉华，陈世联.基于程度粗糙集的知识约简方法［J］.昆明理工大学学报：理工版，2006，31(1)：125-127.［12］张贤勇，莫智文.程度上、下近似算子的乘积运算［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(6)：775-779.［13］Zhang X Y，Mo Z W，Xiong F.Product operation of grade upper approximation operator and grade lower approximation operator basedon two parameters［C］//Hu W B，Li X.2009 International Conference on Information Engineering and Computer Science (ICIECS 2009).New York：IEEE，2009(4)：2564-2567.［14］陈钉均，李涵，刘熠，等.程度变精度覆盖粗糙集模型［J］.辽宁工程技术大学学报：自然科学版，2010，29(5)：877-879.［15］张贤勇，熊方，莫智文.精度与程度的逻辑或粗糙集模型［J］.模式识别与人工智能，2009，22(5)：697-703.［16］申锦标.变精度与程度粗糙集的推广［J］.计算机工程与设计，2009，30(18)：4275-4277.［17］申锦标，吕跃进.变精度与程度粗糙集的一种推广［J］.计算机工程与应用，2008，44(36)：45-47.［18］Zhang X Y，Mo Z W，Xiong F，et parative study of variable precision rough set model and graded rough set model［J］.Inter J Approximate Reasoning，2012，53(1)：104-116.。
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观算法和微观算法。进行 算法分析 与比较， 并用一个 医疗 实例对宏观算法和微观算法进行 了分析与说明。 关键词 人工智能 粗糙集理论 逻辑运算 近似算子 变精度粗糙集 程度粗糙集
ＡＬＧＯｌ ＵＴＨＭ ｏＦ ＤⅡ ＦＥＲＥＮＣＥ ｏＰＥＲＡＴＩ ｏＮ ｏＦ ＶＡＲ工 ＡＢＬＥ ＰＲＥＣＩ ＯＮ ＳＩ ＬｏＷ ＥＲ ＡＰＰＲｏⅪ Ｍ － ＡＴＩ ｏＮ ｏＰＥＲＡＴｏＲ ＡＮＤ ＧＲＡＤＥ Ｉ ＡＰＰＲＯＸＩ ＡＴＩ Ｍ ｏＮ ｏＰＥＲＡＴｏＲ ＡＮＤ ＴＳ ＡＮＡＬＹＳ Ｓ Ｉ Ｉ Ｒ
第２ ８卷 第 ７期
２１ ０ １年 ７月
计算机 应 用与软件
Ｃｏ ｕ ｅ ｐ ｉａｉபைடு நூலகம் ｎ ｏ ｔ ｒ ｍｐ ｔｒＡｐ ｌ ｔｏ ｓ ａ ｄ Ｓ ｆ ｃ ｗａ ｅ
Ｖ０ ． ． １２８ Ｎｏ ７
Ｊ１ ０ １ ｕ ．２ １
变精 度 下近似 算 子 与 程度 上 近似 算 子 的差 运 算 的 算 法与 分 析
熊 方 张贤勇。 莫智文 詹惠琴
（ 川天 一 学 院信 息 工 程 系 四川 成都 ６ ００ ） 四 １１０
（ 电子科技大学 自动化工程学院 四川 成都 ６ ０５ ） １０ ４ （ 四川师范大学数学与软件科学学院 四川 成都 ６０ ６ ） １０ ８
摘
要
探 讨 和 构 建 变 精度 近 似 算 子 与 程度 近 似 算 子 的 新运 算 ， 出 了变精 度 下 近 似 算 子 与程 度 上 近 似 算 子 的差 运 算 ， 出 了宏 提 给
Ｕ ｉ ｒｔ， ｈｎｄ １ １０，ｉ ｕ ｎ Ｃ ｉａ ｎｖ ｓｙ Ｃ ｅｇ ｕ６ ０ ０ Ｓ ｈ ａ ，ｈｎ ） ｅｉ ｃ
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０ 引 言
粗 糙 集 理 论 是 一种 新 的处 理 含 糊 性 和不 确 定 性 问 题 的数 学
１ 变精度 下近似 算子 与程 度上近 似算 子的差 运算的算法与分析
定义 １ 定义变精度下近似算子与程度上 近似算 子的差运 算 一Ｒ ：
ＹＡ Ｕ， （ 一Ｒ ） ＝ Ａ —Ｒ Ａ Ａ
ｍｉｒ ｓ ｏ ｃ ａｇ ｒｔ ｍ ． ｃ ｏ ｃ ｐｉ ｌｏ ｈ ｉ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ
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