高一常见逻辑术语

高中数学第一单元 常用逻辑用语考点分析1、理解命题的含义，能判断给定陈述句是否为命题，能把命题改写成“若p ，则q ”的形式；了解四种命题的关系，会用等价命题判断真假；了解命题的否定与否命题的区别．2、掌握充分条件和必要条件判断；了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件，充要条件条件的含义．3、理解简单的逻辑联词“或”、“且”、“非”的意义，能运用有关符号和术语．4、了解全称命题p ：x M ∀∈，()p x ，及否定p ⌝：0x M ∃∈，()0p x ⌝；了解特称命题p ：0x M ∃∈，()0p x ，及否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；了解符号“∀”，“∃”，“∧”，“∨”的正确使用．第1课时 命题及其关系例题选讲例 1 判断下列语句中哪些是命题？若是命题则指出是真命题还是假命题；若不是命题说明理由．（1）函数12y x =在()0,+∞上是增函数；（2）若空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）若2x π<，则x 是锐角；（4）若数列的前n 项和的公式为2n S pn qn r =++，则这个数列是等差数列；（5）等式0x π--=是恒等式； （6）若21x >，则1x >．分析：判断一个语句是不是命题，关键要看它第一是否为“陈述句”，第二是否“可以判断真假”这两个条件．解：上面6个语句都是命题，其中（1）（5）是真命题，（2）（3）（4）（6）是假命题． 例2 将下列命题改写成“若p ，则p ”的形式，并判断真假：（1）边长比为1：2的两个正方形面积的比为1：8；（2）二面角的平面角的范围是0,180⎡⎤⎣⎦； （3）34≤．分析：数学中有一些命题表面上不是“若p ，则q ”的形式，但把它的表述作适当改变，是可以写成“若p ，则q ”的形式的．解：（1）若两个正方形边长的比为1：2，则这两个正方形面积的比为1：8．它是假命题，面积的比应该为1：4．（2）若一个角是一个二面角的平面角，则它的范围是0,180⎡⎤⎣⎦．它是假命题，它的范围应该是()0,180 ．（3）若两个数分别为3和4，则34≤．它是真命题，∵34≤的含义是34<或34=． 例3 已知原命题“若实数0xy ≠，则0x ≠，且0y ≠”，写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假．分析 把原命题的条件和结论对调或否定，就得到逆命题、否命题和逆否命题，再利用四种命题的等价关系求解．解：逆命题：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠，逆命题是真命题；否命题：若0xy =，则0x =或0y =，否命题是真命题；逆否命题：若0x =或0y =，则0xy =，逆否命题是真命题．例4 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．（1） 方程2560x x -+=的解是3x =；（2） 23<；（3） 对顶角相等．分析：有些命题表面上没有“若p ，则q ”用语，但把它的表述作适当改变，就可以了． 解：（1）原命题：若2560x x -+=，则3x =，是假命题；逆命题：若3x =，则2560x x -+=，是真命题；否命题：若2560x x -+≠，则3x ≠，是真命题；逆否命题：若3x ≠，则2560x x -+≠，是真命题．（2）原命题：若3x =，2y =，则y x <，是真命题；逆命题：若y x <，则3x =，2y =，是假命题；否命题：若3x ≠，2y ≠，则y x ≥，是假命题；逆否命题：若y x ≥，则3x ≠，2y ≠，是真命题．（3）原命题：若A O B ∠与C O D ∠是对顶角，则A O B C O D ∠=∠，是真命题； 逆命题：若A O B C O D ∠=∠，则A O B ∠与C O D ∠是对顶角，是假命题； 否命题：若A O B ∠与C O D ∠不是对顶角，则A O B C O D ∠≠∠，是假命题； 逆否命题：若A O B C O D ∠≠∠，则A O B ∠与C O D ∠不是对顶角，是真命题． 配套练习1、判断下列命题的真假，真命题在括号内写“真”，假命题在括号内写“假”：（1）若22x y =，则x y =（ ）；（2）对于∀x R ∈，都有10x ≤ （ ）；（3）若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线的对称轴平行或重合（ ）；（4）若函数()f x 的定义域是R ，则函数()()()12F x f x f x =--⎡⎤⎣⎦是奇函数（ ）． 2、下列语句不是命题的是①、飞船是太阳系的行星 ②、2和3的最小公倍数是6③、4x > ④、方程2230x x ++=有实数根3、下列语句是命题的是①、奇函数图像关于原点成中心对称吗？ ②、你刚才到哪里去了？③、函数()0,1x y a a a =>≠在R 上递增 ④、12≤．4、下列语句中是命题的有 ，其中是真命题的有 （写出序号）． ①“祝你生日快乐！”；②“垂直于同一直线的两个平面平行”；③“一个数不是负数，则这个数必是正数”；④“若集合{},A a a b Q =+∈，则1A ∉”；⑤“作l α⊥”．5、有下列四个命题：①“若0a b +=，则a 、b 互为相反数”的逆命题；②“若x y >，则22x y >”的逆否命题；③“若2x ≥，则260x x +->”的否命题；④“若常数α是无理数，则y x α=不是幂函数”的逆否命题．其中真命题是 （写出序号）6、设原命题为“已知a ，b 是实数，若a +b 是无理数，则a 、b 都是无理数”写出它的逆命题，逆否命题及命题的否定，并分别判断它们的真假．第2课时 充分条件与必要条件例题选讲例1下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中p 是q 的充分条件？哪些命题中p 是q 的必要条件？（1）若直线l 垂直于平面α内的任意直线g ，则直线l 垂直平面α；（2）若23x -<<，则2x <；（3）若22am bm >，则a b >； （4）若0b =，则函数()2f x ax bx c =++是偶函数； （5）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则直线与双曲线有一个公共点；（6）若数列{}n a 的通项公式n a （*n N ∈）是n 的一次函数，则数列{}n a 是等差数列． 分析：若p q ⇒时，称p 是q 成立的充分条件，同时也称q 是p 成立的必要条件；若q p ⇒时，称p 是q 成立的必要条件，同时也称q 是p 成立的充分条件．解：（1）∵条件p ：直线l 垂直于平面α内的任意直线g ，条件q ：直线l 垂直平面α，由于p q ⇔，∴p 既是q 的充分条件也是必要条件；（2）∵当23x -<<时，2x <不能成立，反过来当2x <时，23x -<<是成立的，∴条件p ：23x -<<是条件q ：2x <成立的必要条件，但不是充分条件；（3）条件p ：22am bm >，条件q ：a b >，由于p q ⇒，但q p ，∴p 是q 的充分条件，但不是必要条件；（4）∵当0b =时，()2f x ax bx c =++是偶函数，反过来当函数()2f x ax bx c =++是偶函数时，0b =，∴ 0b =既是()2f x ax bx c =++是偶函数的充分条件又是必要条件；（5）由双曲线渐近线的定义知：条件“直线与双曲线的一条渐近线平行”是条件“直线与双曲线有一个公共点”的充分条件，但不是必要条件；（6）条件p ：n a （*n N ∈）是n 的一次函数，条件q ：数列{}n a 是等差数列，由于p q ⇒，但q p ，p ，∴p 是q 的充分条件，但不是必要条件．例2 条件p ：“c o s 22α=-”是条件q ：“5,12k k Z παπ=+∈”的什么条件？解：∵c o s22α=-，∴522,6k k Z παπ=±∈，即512k παπ=+，或512k παπ=-，k Z ∈，因此，条件p 是条件q 的必要不充分条件．例3 若条件甲：“AB DC = ”；条件乙：“A B C D 是平行四边形”，则甲是乙的什么条件？解：由平行四边形的性质知：若A B C D 是平行四边形时，A B D C ，即AB DC = ；但若AB DC = 时，A B 与D C 可能是共线的线段，因而A B C D 不一定是平行四边形．所以条件甲是条件乙的必要不充分条件．例4 在下列各题中，判断甲是乙的什么条件，并说明理由．（1） 甲：2p ≥，p R ∈，乙：方程230x px p +++=有实数根；（2） 甲：直线0ax by c ++=与圆222x y r +=相切，乙：()2222c r a b =+． 分析：对于涉及充分必要条件的判断问题，必须要准确、完整地理解充分、必要的含义，有些问题须转化为等价命题才容易判断，有时还需要明确主动句或被动句．解：（1）甲 乙，事实上当4p =时，方程230x px p +++=的没有实数根；反过来，乙⇒甲，∵方程230x px p +++=的实数根，得2p ≤-或6p ≥2p ⇒≥，所以条件甲是条件乙的必要不充分条件．（2）甲⇔乙，事实上直线0ax by c ++=与圆222x y r +=相切⇔圆心到直线的距离等于圆的半径⇔r =⇔()2222c r a b =+，∴甲是乙的充要条件．配套练习 1、已知,x y R ∈，则()220x y +-=是()20x y -=的 条件2、cos cos αβ≠是αβ≠成立的 条件3、若x R ∈，那么()()110x x -+>成立的必要不充分条件是①、1,1x x <≠-且 ②、1x < ③、1x > ④、1x >-，且1x ≠4、下列电路图中开关键K 闭合使灯泡A 发亮的必要不充分条件是5、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 ，非A 是非B 的6、条件“()52244k k k Z πππθπ+<<+∈”是条件“sin cos θθ>”的 条件7、“1ω=”是“函数22cos sin y x x ωω=-的最小正周期为π”的 条件8、条件A ：15x -<<是条件B ：24x -<成立的 条件9、没a ，b 是不共线的两个向量，且()()1122,,,a x y b x y == ．求证：a b ⊥ 的充要条件是：12120x x y y +=．第3课时 简单的逻辑联结词例题选讲例1 指出下列命题的形式及其构成，并判断命题的真假：（1）方程210x x --=没有实数根；（2）若18既是3的倍数又是2的倍数，则18是6的倍数；（3）若直线l 平行平面α，或直线l 与平面α相交，则直线l 在平面α外．分析：先确定简单命题的逻辑联结形式，再确定p 、q ．解：（1）是“非p ”形式，其中p ：210x x --=有实数根，∵p 为真，∴非p 为假；（2）是“p q ∧”形式，其中p ：18是3的倍数为真，q ：18是2的倍数为真，∴“若18既是3的倍数又是2的倍数，则18是6的倍数”是真命题；（3）是“p q ∨形式，其中p ：若l ∥α，则l ⊄α；若l 与α相交，则l ⊄α，由于p 、q 都是真命题，所以p q ∨是真命题．例 2 已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；q ：方程()244210x m x +-+=无实根．若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．分析：依题意可确定p 、q 是一真一假．解：（1）若p 为真q 为假时，则P 为真：21124020m m x x m ⎧=->⇒>⎨+=-<⎩ ，q 为假：20≥ ，⇒1m ≤或3m ≥，∴3m ≥；（2）若p 为假q 为真时，p 假：2m ≤，q 真：13m <<，∴所以实数m 的取值范围是12m <≤．例3 已知p ：26x x -≥，q ：x Z ∈．“p q ∧”与“q ⌝”都是假命题，求x 的值． 分析：因为p 与q 若一假则p q ∧为假，q 与q ⌝是真假相对．解： ∵q ⌝为假，∴q 为真；又∵p q ∧为假，∴p 为假．则26x x x Z⎧-<⎪⎨∈⎪⎩，即22366x x x x Z x Z -<<⎧-<-<⎧⇒⎨⎨∈∈⎩⎩，故1,0,1,2x =-．例4 分别写出由下列各组命题构成的“p q ∨”、“p q ∧”和“p ⌝”形式的复合命题：（1）p ：π是无理数，q ：3π>；（2）p ：*N N ⊆，q ：{}0N ⊆；（3）p ：2x x >-，q ：2x x <-．分析：由简单命题写出复合命题时，可由定义直接使用逻辑联结词，也可以不用逻辑联结词，其关键要明白“或”、“且”、“非”的含义．解：（1）p q ∨：π是无理数或大于3；p q ∧：π是无理数且大于3；p ⌝：π不是无理数．（2）p q ∨：*N N ⊆或{}0N ⊆；p q ∧：*N N ⊆且{}0N ⊆；p ⌝：（3）p q ∨：2x x ≠-；p q ∧：2x x >-且2x x <-；p ⌝：2x x ≤-．配套练习1、下列命题中为真命题的是①、2e ≥ ②、2e >且2e = ③、2e ≤ ④、2e <且2e =2、设命题p ：若21x >，则1x >；命题q ：若21x >，则1x <-．则下列命题是假命题的是①、p ⌝ ②、q ⌝ ③、q p ⌝∨ ④、p q ∨3、下列命题中为假命题的是①、6和3都是12的约数 ②、正方形既是菱形且又是矩形③、π是有理数或是无理数 ④、42>且4能整除24、已知命题p ：{}0∅=，命题q ：{}{}10,1,2⊆，由它们构成的“p q ∨”、“q ⌝”、“p ⌝”和“p q ∧”形式的命题中，真命题的个数有①、4个 ②、3个 ③、2个 ④、1个或0个5、如果否命题为“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”，则相应的原命题为6、设实数x ，y 为实数，命题P ：0x y +≠，则p ⌝是指7、“若{}|||1A x x =<，则0A ∈”的等价命题是8、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题．（1）64是32与8的倍数；（2）方程220x -=没有有理根；（3）不等式2230x x +->的解集为{}|3x x <-或x>1．第4课时 全称量词与存在量词例题选讲例1 判断下列命题的真假，并简要说明理由：（1）存在素数不是奇数；（2）对于任意平面α，若a α⊂与b α⊂不同时成立，则直线a 和b 是异面直线；（3）若对于x R ∀∈，不等式()213x a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围3a ≤；（4）直线l ∥平面α，若任意a α⊂，则直线l ∥直线a ；（5）过任意的已知点P 存在一个平面α与两条异面直线a 和b 都平行．分析：要判定全称命题“(),x M p x ∀∈”是真命题，需对M 中任何一个元素x ，证明()p x 成立；如果∃一个()00,x M p x ∈⌝，那么全称命题是假命题．要判定特称命题“()00,x M p x ∃∈”是真命题，只需在M 中找到一个元素0x ，使()0p x 成立即可；如果在M 中，使()0p x 成立的元素0x 不存在，那么这个特称命题是假命题．解：（1）∵2为素数，且2不是奇数，∴命题是真命题；（2）由异面直线的含义，这个命题是真命题；（3）∵x R ∀∈，()2133x -+≥，∴()213x a -+≥恒成立时，∴3a ≤，命题为真命题；（4）∵∃0a α⊂，且0a l ⊥，∴这个命题是假命题；（5）这个命题是假命题．若已知点P 就在直线a 上，过P 点作直线b '∥b ，则直线b '与直线a 是相交直线，确定了平面α是平行于b ，经过直线a 的，即不存在平面α与两条异面直线a 和b 都平行．例2 已知集合{}2|4260A x R x ax a =∈-++=，若A R -≠∅ ，求实数a 的取值范围．分析：本题翻译成命题用语是：方程24260x ax a -++=至少有一个负实数根，直接求解比较麻烦，先求方程有实数解的条件，再求命题的否定较为简便．解：∵x R ∀∈，即方程24260x ax a -++=恒有实数根，∴()2164260a a =-+≥ ，解之1a ≤-，或32a ≥．若方程24260x ax a -++=没有负实数根，则方程存在非负实根12,x x ，则12123123402260a x x x a a x x a ⎧≤-≥⎪⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎪⎩或．∴A R -≠∅ 实数a 范围是1a ≤-． 例3 设()q x ：2x x =，试用不同的表达方法写出特称命题“(),x R q x ∃∈”．解：存在实数0x ，使200x x =成立；至少有一个实数0x ，使200x x =成立；有一实数0x ，使200x x =成立；某个实数0x ，使200x x =成立．例4 用量词符号“∀”、“∃”表达下列命题．（1）实数都能写出小数形式；（2）凸n 边形的外角和等于360 ；（3）对任意实数x ，都有32x x >；（4）存在x ，使得sin cos 1.3x x +=．解：（1）x R ∀∈，x 能写成小数形式；（2）{}|x x x n ∀∈是凸边形，x 的外角的和等于360 ；（3）x R ∀∈，32x x >；（4）x ∃，使得sin cos 1.3x x +=．配套练习1、A 是B 的子集叙说语言是“若对于任意的x A x B ∈⇒∈，则称A B ⊆”．那么A 不是B 的子集合的叙说语言正确的是2、方程2210ax x ++=中至少有一个负实数根的充要条件是①、01a <≤ ②、1a < ③、1a ≤ ④、1a ≤，且0a ≠．3、用反证法证明：“三角形内角中至多有一个是钝角”时，反设词正确的是 ①、假设至少有一个钝角 ②、假设至少有两个钝角③、假设没有钝角 ④、假设没有钝角或至少有两个钝角4、若三个关于x 方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=和223100x ax a +++=中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．5、考察以下推导过程：设()()()2222a b a ab a b ab b a b a b b a b a b b =⇒=⇒-=-⇒+-=-⇒+= 221b b ⇒=⇒=．6、写出下列复合命题的否定：（1）△ABC 是直角三角形或等腰三角形；（2）4、5都是方程2540x x -+=的根．第二单元圆锥曲线与方程考点分析1、了解圆锥曲线的实际背景，知道椭圆、双曲线、抛物线可由不同平面截圆锥而得到．2、掌握椭圆的定义，掌握．．中心在原点、焦点在x轴上的椭圆图形及标准方程，掌握椭圆的几个简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．了解椭圆的准线方程．3、了解双曲线定义，知道中心在原点、焦点在轴上x或y轴上的双曲线图形和标准方程形式，了解双曲线的几个简单性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．4、掌握抛物线的定义，准线和焦点概念，掌握顶点在原点、焦点在x轴或y轴上的抛物线图形及其标准方程，掌握抛物线的几个简单性质（范围、对称性、离心率）．5、能用解析方法解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题．6、了解曲线与方程的对应关系，会用坐标法求某些曲线（直线、圆、椭圆、抛物线）的方程．第1课时椭圆例题选讲例 1 椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率2e=，且椭圆与直线l：3160y+-=有唯一的公共点，求椭圆的方程．分析：已知离心率的值，就能知道长半轴长与短半轴长的比，从而能设椭圆的标准方程．解：∵2e=，设()0c k=>，则2a k=，b k=，∴椭圆方程可设222214x yk k+=，联立2224403160x y ky⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩22166490x k⇒-+-=……①，因椭圆与直线有唯一公共点，∴()2296402k k=-=⇒=，故椭圆方程为221464x y+=．例2已知△ABC的边8B C=，边A B的中线与边A C的中线之和为13，选取适当的坐标系，求顶点A的轨迹方程．分析：利用平面几何的中位线定理，结合椭圆的定义，知道点A到某定点距离之和为定值．解：如图1-1-1所示，以B C所在直线为x轴，以B C的垂直平分为y轴建立直角坐标系xOy．在x 轴取M ，N 两点，使得M B BC CN ==，则()12,0M -，()12,0N ，则依题意及三角形中位线定理有()226AM AN EB CF+=+=，由椭圆的定义容易得顶点A 的轨迹方程是：以M ，N 两点为焦点，以13a =，5b =的椭圆()221016925xyy +=≠．例3 设椭圆的方程为22440x y +-=，过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足()12O P O A O B =+ ，点11,22N ⎛⎫⎪⎝⎭．当l 绕点M 旋转时，求：（Ⅰ）动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）N P的最小值与最大值．分析：由于点P 满足()12O P O A O B =+，由向量几何意义知，OP 是边A B 的中线，即点P 为线段A B 的中点．解：（Ⅰ）设()11,A x y 、()22,B x y 和(),P x y ，则122x x x +=，122y y y +=．∵点A 、B 在椭圆22440x y +-=上，（i ）若12x x ≠时，则0y ≠，∴221144x y +=，222244x y +=，两式相减：()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，即()()121240x x x y y y-+-=∴21214AB y y x k x x y-==--，又1P M y k x-=，∴221440y x x y y xy-=-⇒+-=……①；（ii ）若12x x =时，点P 为原点，()0,0也适合于方程①．故动点P 的轨迹方程为①式． （Ⅱ）由点P 的轨迹方程知14x ≤，即1144x -≤≤，而222222111117432224612N Px y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-=-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当14x =时，N P 取最小值为14；当16x =-时，N P取最大值为6．例4某工厂质检员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱检测上个直径为3cm 的圆柱．为了保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，这两个标准圆柱的底面的直径应该是多少？分析：设直径为3、2、1的三个圆的圆心分别为O 、A 、B ，问题化归为求两个等圆P 、Q ，使它们与⊙O 内切，与⊙A 、⊙B 外切．解：如图1-1-3所示，取O 为原点，直线O B 为x 轴，建立直角坐标系．设圆P 的半径为r ，则1PA r =+， 1.5PO r =-，∴ 2.5PA PO +=，∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，其方程为22161212543x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭……①．同理，点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2214123x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭……②．联立①、②求出点96,147P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，96,147Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴3327r =-=，∴标准圆柱的底面直径为67cm ．配套练习1、与椭圆2211611xy+=有共焦点，并且经过点()3,2P -的椭圆的方程是2、若方程()222141m x y -+=表示的图形是焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是3、点P 是椭圆2211625xy+=上的点，1F 、2F 是它的两个焦点，若1230F PF ∠=，则△12P F F 的面积是4、若椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点恰好是一个正三角形的三个顶点，则椭圆的离心率e = 5、右焦点为F 的椭圆22143xy+=内有一点()1,1P ，M 为椭圆上一点，则2M P M F +的最小值为6、过原点的直线与椭圆22116925xy+=相交于A 、B 两点，若F 为椭圆的左焦点，则△F A B 的最大面积是7、从椭圆()222210x y a b ab+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A (),0a 及短轴端点B ()0,b 的连线A B ∥O M ． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，求12F Q F ∠的取值范围；（Ⅲ）设Q 是椭圆上一点，当2Q F AB ⊥时，延长2Q F 与椭圆交于另一点P ，若△1F PQ的面积为8、如图1-1-4所示，已知2E F c = ，()2FG a a c =>，且2E H E G= ，0HP EG =（G 为动点）．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系求出点P 的轨迹方程；（Ⅱ）证明：若点P 的轨迹上存在不同的点A 、B ，且线段A B 的中垂线与直线E F 相交于点C ，则2cO Ca< （O 为E F 的中点）．9、已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(),0F m -（m 为正常数）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于M ．若2M Q Q F =，求直线l 的斜率．第2课时 双曲线例题选讲例1一个动圆与两个圆()2251x y ++=和()22581x y -+=都外切，求动圆心M 的轨迹方程．分析：先找到动点M 满足的条件，再由双曲线的定义，就可以求出动圆心M 的轨迹方程． 解：设动圆M 的半径为r ，两已知圆的圆心分别为A 和B ．因两圆外切，其连心距等于半径的和．9M B r =+，1M A r =+，∴8M B M A -=，又∵A 和B 为两个定点，由双曲线的定义，动点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支．设(),M x y ，∵4a =，5c =，∴3b =，得点(),Mx y 的轨迹方程为()2291614404x y x --=≤-．例2已知双曲线的一条渐近线的方程是20x y +=，且双曲线过点()6,8P ，求双曲线的标准方程．分析：利用逆向思维思考问题，当双曲线标准方程的右边的1变为0时，可得到双曲线的渐近线方程，反过来已知双曲线的渐近线方程，即可设双曲线的方程为()2204yx μμ-=≠．解：∵双曲线的渐近线方程为20x y +=∴设双曲线的方程为()2204yx μμ-=≠，将()6,8P 的坐标代入所设的方程有2286204μ=-=，所求双曲线方程为2212080xy-=．例3 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的离心率3e =，过点(),0A a 和()0,B b -的直线与原点的距离为21-1-5）．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线()0,0y kx m k m =+≠≠与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 都在以B 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．分析：告诉了离心率的值，就能知道a ，b ，c 三量的比值，C 、D 都在B 上等价于C D 的中点与B 的连线与C D 垂直． 解：（Ⅰ）∵3e =，∴2c b =，a =，∴直线A B的方程为0x --=，依题意，122d b ==⇒=，故双曲线的方程为2213xy -=；（Ⅱ）联立()()2222233136310x y k x kmx m y kx m⎧-=⇒---+=⎨=+⎩……①，∵直线与双曲线相交于不同C 、D ，∴①式的判别式大于零，得22130m k +->……②，设C D 中点为()00,M x y ，则12023213x x km x k+==-，0213m y k=-，∵B M C D ⊥，∴2133M B m kk km+-=，∴221311433m kk m k km+-=-⇒+= ……③，联立②和③解之104m -<<，或4m >．例 4 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s ．已知各观察点到该中心的距离都是1020m ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关点均在同一平面内）．分析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上． 解：如图1-1-6，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C ． 设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴O P 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴340b =，∴P 点在双曲线方程为222216805340xy-=⨯()680x ≤-……②．联立①、②求出P 点坐标为(P -．即巨响在正西北方向处．例5 已知两定点()5,0F 、()7,5B 及双曲线C ：221169xy-=，点A 是双曲线C 上的动点，求AF AB -的最值．分析：本题涉及双曲线的焦点、双曲线上的点，要利用定义及运用平面几何知识求解． 解：∵()5,0F 为右焦点，则左焦点为()5,0F '-，由定义8AF AF '-=．由平面几何知识：13AF AB BF ''-≤=……①，（i ）当A 在右支上时，8AF AF '=+，①可化为13AF AB '-≤，∴813A F A B +-≤，即点A 为射线F B '与双曲线右支交点时，()max5AF AB-=；（ii ）当A 在左支上时，8AF AF '=-，①可化为13AB AF '-≤，∴()813AB AF --≤，即点A 为射线F B '的反向线与双曲线左支的交点时，()min5AF AB-=-．配套练习1、已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则该双曲线的离心率e 的最大值为2、已知点()10F 、)20F ，动点P 满足212PF PF -=，当点P 的纵坐标是12时，点P 到原点的距离是3、设P 是双曲线22219x ya-=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若13PF =，则2PF =4、已知双曲线c 的两条渐近线方程为20x y ±=，且c 过点()2,2-，则双曲线C 的方程是5、已知双曲线c 的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线c 的离心率e =6、P 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，且焦距为2c ，则△12P F F 的内切圆的圆心的横坐标为7、已知动点P 与双曲线22132xy-=的两个焦点所连线段的和为定长，其值大于并且这两条线段的夹角的余弦值的最小值为19-．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）在x 轴的正半轴上求一点Q ，使Q 与C 上的点的距离的最小值为1．8、如图1-1-7所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路P A 或P B 送到呈矩形的足球场A B C D 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．9、设双曲线c ：222222b x a y a b -=()0,0a b >>的两顶点为1A 、2A （图1-1-8），点P （不同于2A ）在双曲线c 的右支上，PM y ⊥轴于M ，直线1A P 与2M A 相交于Q ．试求点Q 的轨迹方程．第3课时 抛物线例题选讲例1已知动圆M 恒过定点()3,0F 与定直线l ：3x =-相切，求动圆的圆心M 轨迹方程． 分析：因直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，由抛物线定义知点M 轨迹为抛物线．解：设(),M x y ，则点M 轨迹是以()3,0F 为焦点，直线l ：3x =-为准线的抛物线．其6p =，∴点M 轨迹方程为212y x =．例2如图1-1-9，有一张长为2p()0p >，宽为p 的矩形纸张A B C D ，按图示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在A D 上，此时将点B 记为B '（注：图中E F 为折痕，F 在B C 或C D 上）．作B P AD '⊥交E F 于P ，求P 点的轨迹方程． 分析：点B 与B '始终关于直线E F 对称，则点P 到定点B 与定直线A D 的距离是相等的．解：如图1-1-9，以边A B 为y 轴，取A B 的中点O 为原点建立直角坐标系，则直线A D 的方程为2p y =，点B 的坐标为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵B 与B '始终关于直线E F 对称，∴PB PB '=，由抛物线的定义知：点P 的轨迹方程为()220x py x p =-≤≤．例3 已知抛物线2x y =的弦AB 的长为2，求AB 中点纵坐标的最小值（图1-1-10）．分析：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出12y y +最小值，从形式上看变量较多，但结合图形可以观察到1y 、2y 是在梯形A B C D ''的两底上，这样就把使求中点纵坐标y 问题化归成求梯形的中位线问题．即可以利用图形和抛物线的定义来求解．解：设抛物线2x y =的弦AB 的端点(1A x ，)1y 、(2B x ，)2y ，中点M （x ，y ）．抛物线2x y =的焦点F 10,4⎛⎫⎪⎝⎭，准线14y =-，设A 、B 、M 到准线距离分别为AD ′、BC ′、MN ．∴12M N ,4A DBC y ''=+=+且M N ，根据抛物线定义，有AD AF '=，BC BF '=．∴1224y AF BF AB ⎛⎫+=+≥= ⎪⎝⎭（因为在ABF 中）．即34y ≥， 所以M 点的纵坐标的最小值为34．例4（如图1-1-11）AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点的弦，O 是抛物线的顶点．证明：（Ⅰ）||2A B y y p -≥；（Ⅱ）A O B ∠是钝角；（Ⅲ）A O B ∠的最大值与p 无关．证明：（Ⅰ）⑴当AB 的斜率不存在时，||||2A B y y AB p -==；⑵设AB 的斜率为(0)k k ≠时，直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2222202p y k x ky py p k y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⇒--=⎝⎭⎨⎪=⎩……① ，①式的判别式()2241p k ∆=+， 且2A B y y p =-，所以||22||A B y y p k -==>，故||2A B y y p -≥．（Ⅱ）设2,2A A y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭、2,()2B B A B y B y y y p ⎛⎫<⎪⎝⎭，则22,OA OBA B p pk k y y ==． ()()()222222tan 1344A B A B A B OB OA OB OAA B p y y p y y y y k k AOB k k py y pp p----∠====++-+ ∵2A B y y p -≤-，∴ tan 0A O B ∠<，∴A O B ∠是钝角． （Ⅲ）∵2A B y y p -≤-， ∴()24tan 33A By y A O B p-∠=≤-，又∵tan x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，∴A O B ∠的最大值与p 无关．配套练习1、抛物线240x y +=的焦点坐标为 2、抛物线2116y x =-的准线方程为3、已知抛物线的项点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上点(),2m -到焦点的距离为4，则m 的值为4、若点A 的坐标为()3,2，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取最小值，则点P 的坐标应为5、已知A ，B 是抛物线()220y px p =>上两点，O 为坐标原点，若OA OB =，且A OB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线A B 的方程是6、过抛物线()220y px p =>的对称轴上一点(),0C p 作一直线与抛物线交于A ，B 两点，若A 点的纵坐标为2p -，则点B 的纵坐标为7、如图1-1-12所示，水电站在设计时，为了保护其坝基及下游堤坝的安全，常用鼻坝挑流的方法来消除水的部分动能．已知鼻坝的挑角为30 ，水电站的水位至鼻坝的落差为8m ．求挑出的水流所在的曲线的方程（不计空气阻力）．当挑出的水流离坝基的水平距离为30m 时，计算鼻坝下游基底距鼻坝的高（精确到0.1m ）．8、已知抛物线2y x =的弦A B 与直线1y =有公共点，且弦A B 的中点M 到y 轴的距离为1，求弦A B 的长度的最大值，并此时直线A B 的方程．9、设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且B C ∥x 轴，证明直线A C 经过原点．第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系例题选讲例1如图1-1-13所示，已知：定点()1,0A -、()2,0B ，求使2M BA M AB ∠=∠的点M 的轨迹方程．解：设()(),0M x y y ≠，则1A M y k x =+，2B M y k x =-，∵tan AM M AB k ∠=，tan BMM BA k ∠=-，又∵2M B A M A B∠=∠，∴22t a n t a n 1t a n M A B M B A M A B∠∠=-∠，于是221211y y x x y x ⨯+-=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即()22330y x y --=，由于0y ≠，点M 轨迹方程为()22113yx x -=>．例2 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>> 的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为()(),00F c c >，右准线为l ：12x =，3AF =．过点F 作直线交双曲线的右支于P 、Q两点，延长P B 交右准线l 于M ． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若17O P O Q =-，求△PBQ 的面积S ；（Ⅲ）若2P F F Q = ，问是否存在实数μ，使得A M M Q μ=．解：（Ⅰ）依题意知222231122a c a a b c c b c a+=⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=-⎩．则双曲线的方程是2213y x -=； （Ⅱ）设()11,P x y ，()22,Q x y ，易得()2,0F ，()1,0A -，()1,0B ，右准线l ：12x =．设PQ 方程为()2y k x =-，代入双曲线方程有()()222234430k x k x k -+-+=．由于P 、Q 都在双曲线的右支上，则()2222122212230361043034303k k k k x x k k x x k ⎧-=⎪=+>⎪⎪⎪⇒>⎨+=>⎪-⎪+⎪=>⎪-⎩．由于P 、Q 都在()2y k x =-上，∴可得212293ky y k -=-，由于()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，由已知17O P O Q =-，可得121217x x y y +=-，从而得24k =．∴365=⨯ ，∴12x x -==()1212y y k x x -=-=1BF =，∴△PBQ 的面积S 1212B F y y =⨯⨯-=（Ⅲ）∵2P F F Q =，∴()12222x x -=-，将直线()2y k x =-代入双曲线方程有：()()()223212290kx x -----=，韦达定理：()()()1222122223x x x k -+-=--=-，……①，()()()21222922223x x x k--=--=-……②，由①、②解之235k =，代入①解之2138x =，代入()12222x x -=-解之1114x =，∵k =k =，则14y =，28y =-，∵P 、B 、M 三点共线，则1,214M ⎛- ⎝⎭，∴3,214AM ⎛=- ⎪⎝⎭ ，∴93353,,85642144M Q AM ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在实数34μ=，使得A M M Q μ=成立．例 3 将抛物线()20y px p =>按向量()1,0a =-平移后，得曲线C ，且直线l ：()x y t t R +=∈与x 轴的交点在曲线C 的准线的右边．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线直线l ：x y t +=与曲线C 恒有两个交点；（Ⅲ）设直线l 与曲线C 的交点为A 、B ．且OA OB ⊥，求p 关于t 的函数()f t 的表达式．。