图形位似
第15讲 位似图形
第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。
知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。
（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。
（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
4.8.2图形的位似
原坐标 横纵坐标×
3 2
O(0,0)
A(6,0)
B(3,6)
-8 O′(0,0) A′(9,0) B′(4.5,9) C′(-4.5,4.5)
练习
• 如图，在直角坐标系中，四边形OABC的
顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B
（4，4），C（-2，3）.画出四边形OABC以
O为位似中心的位似图形，使它与四边形
OABC的相似比是2:1.
原坐标
y O(0,0)
8
6 4
A(3,0)
B(4,4)
C(-2,3)
横纵坐标×(-2)
O′(0,0) A′(-6,0) B′(-8,-8)
C′(4,-6)
B
C
2 -8 -6 -4 -2
O
-2 -4 -6
2 A 4
6
8
如图，在直角坐标 系中，四边形 OABC的顶点坐标 分别是O（0,0）A （3,0），B （4,4），C（x 2,3）.画出四边形 OABC以O为位似 中心的位似图形， 使它与四边形 OABC的相似比是 2:1. C(-2,3) C′(-4,6)
原坐标 横纵坐标×2
O(0,0)
-8
A(3,0)
B(4,4)
O′(0,0) A′(6,0) B′(8,8)
小结归纳
1.回顾位似图形、位似中心、相似比的定 义. 2.在直角坐标系中，以O为位似中心的两个 位似多边形的坐标和相似比之间有什么关 系？ 3.位似图形的作法都有哪一些？
作业
课本 P118 习题 第 2题 .
6
5 4 3 2 1
验 证
1 2 3 4 5 6 7
O
结论
图形的相似图形的位似ppt
。
工程制图
02
在工程制图中，可以利用位似图形来表示物体的形状和大小，
提高制图精度和效率。
艺术创作
03
艺术家可以利用位似图形创造出具有特殊效果的绘画作品，增
强艺术表现力。
03
图形的相似与图形的位似之间的关系
两者之间的联系
图形相似和图形位似都是图形变换的形式，它们都涉及到图 形形状和大小的变化。
图形的相似和位似都涉及到图形的形状和大小，它们都是图 形变换的基本概念。
性质
位似图形的对应线段、对应点所连线段平行（或在同一
图形的位似的判定方法
定义法
根据位似图形的定义进行判定 。
特征法
利用位似图形的性质进行判定 。
合同法
通过合同变换将两个图形转化 为位似图形。
图形的位似的应用
摄影
01
利用位似原理进行摄影，可以得到具有相同形状和大小的图片
在几何证明中的应用
证明定理
在几何证明中，图形的相似可以帮助证明几何定理。例如，通过使用相似图 形的性质，可以证明勾股定理或毕达哥拉斯定理。
推导公式
在几何中，图形的相似可以帮助推导重要的公式。例如，通过使用相似图形 的性质，可以推导出圆的面积公式或球的体积公式。
05
图形的相似与图形的位似在生活中的应 用
图形的相似的应用
艺术领域
在艺术领域中，人们经常利用相似图形的性质进行创作和设计，如相似三角 形在绘画中的应用。
实际生活
在日常生活中，我们也经常遇到相似图形的应用，如相似图形在广告、宣传 海报等方面的应用。
02
图形的位似
定义与性质
定义
如果两个图形形状相同，大小成比例，那么这两个图形称为位似图形。
17.图形的位似—知识讲解
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【典型例题】 类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比 为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5.则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1 ABC DE【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′； （3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ； ∴四边形DEFG 即为所求．要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.类型二、坐标系中的位似图形3.（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB ′C ′D ′；（2）填空：△AC ′D ′是 三角形．GFF'BCG'【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【答案与解析】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【总结升华】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.图形的位似--巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD 上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B的坐标为（x，y），∵△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B的坐标为（5，2）．故选C．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB-51AC+AC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，111xx=-，解得11+5=2x ,21-5=2x ,（负值舍去）， 经检验11+5=2x 是原方程的解．故选B ．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个； 全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′位似，OA=10cm ，OA ′=20cm ，∴五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且相似比为：OA ：OA ′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比为：OA ：OA ′=1：2． 故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.12.【答案】2:1.【解析】矩形ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD ∽矩形BFEA ，设矩形的长为a ，宽为b ．则AB=CD=b ，AD=BC=a ，BF=AE=2a ，根据矩形相似，对应边的比相等得到：,BF EF AB BC 即：2=ab b a，则b 2=22a ∴22=2,a b∴2=1a b13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【答案】25-2.【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF=116S矩形ABCO=116×4×43=3；（2）存在．∵OE=2222312 OF OD+=+=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，。
图形的位似
图形的位似要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.一、典型例题类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？二、巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。
图形的位似课件
03
位似的判定
依据定义判定位似
定义
如果两个图形不仅是相似图形， 而且每组对应顶点间的距离都相 等，则称这两个图形为位似图形 。
判定方法
判断两个图形是否为位似图形， 需要满足两个条件：一是相似， 二是对应顶点间的距离相等。
依据性质判定位似
性质1
位似图形对应边长之比是一个常数，记作k。
性质2
位似图形对应角相等。
室内空间布局
在室内设计中，位似原理可以帮助设计师复制家具、灯具 或其他装饰元素，以实现整个空间的统一感和和谐感。
位似在机械设计中的应用
01 02
机械零件设计
在机械设计中，位似原理常用于创建具有特定功能的机械零件。通过复 制和调整现有零件的形状和尺寸，工程师可以快速设计出满足特定需求 的零件。
装配线设计
位似与等腰三角形
总结词
等腰三角形是一种具有两边长度相等且对应的角相等的三角 形。位似可以用来描述等腰三角形的形状和大小关系。
详细描述
等腰三角形具有两个相等的角和两条相等的边。在位似变换 下，一个等腰三角形可以变为另一个大小不同的等腰三角形 ，但它们的形状和角的大小保持不变。这种特性在几何证明 和实际问题中具有广泛应用。
04
位似的作图方法
ห้องสมุดไป่ตู้
依据定义作位似图
定义
位似图形是相似图形的一种特殊情况 ，当两个图形不仅是相似图形，而且 每对对应顶点连接后都经过同一个点 时，这两个图形称为位似图形。
描述
依据位似的定义，我们可以确定位似 图形的作图方法。首先，确定相似比 和相似中心，然后根据相似中心和相 似比绘制出位似图形。
依据性质作位似图
位似与等腰梯形
总结词
图形的位似
图形的位似知识点一：位似的定义与位似作图图中的多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？总结：位似图形：1.定义:如果两个相似图形的每组对应点所在的直线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做中心，这两个图形的相似比又叫它们的2.性质：（1）位似变换是相似变换的特例，所有位似图形一定是但相似图形不一定是（2）位似图形的对应点和位似中心在，它们到位似中心的距离之比等于，（3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）对应边平行或在一条直线上知识点二：位似与坐标变换如图,在平面直角坐标系中,有两点O(0，0),A（3,0），B(2，3)以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△OAB扩大，观察对应点之间的坐标变化，你有什么发现总结：1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数K（），所对应图形与原图形，位似中心是它们的相似比是2.在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标的比是练习1:如图，△ABC在方格中（1）请在方格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为A（2,3），C（5,2）并求出B点的坐标（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形练习2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为；②△ABC与△A′B′C′的相似比；(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)练习3:如图，平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别为（3,0），（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1,0）.（1）画出△AB′O′；（2）点B′的坐标为．练习4:如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．提高练习:1.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和F的坐标分别是（3,2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是2.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是3.如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是4.如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点A（0,1）为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△AB’C’，△ABC与△AB’C’的位似比为1:2，若设点C的纵坐标是m，则其对应点C’的纵坐标是。
《图形的位似》
VS
详细描述
相似图形的判断主要依据是它们的形状是 否相同，即它们的角和线段是否对应相等 。而位似图形在此基础上还要满足对应线 段平行且相等这一条件。因此，在判断两 个图形是否为位似图形时，需要先判断它 们是否为相似图形，然后再进一步判断对 应线段是否平行且相等。
位似图形的特性与识别方法
总结词
位似图形具有以下特性：每组对应点到位似中心距离的比等于相似比，对应线段平行且相等，对应角相等，且放 缩比例与位似中心无关。通过这些特性，我们可以总结出位似图形的识别方法。
详细描述
位似图形的特性表现在每组对应点到位似中心距离的比等于相似比，对应线段平行且相等，对应角相等。这些特 性使得我们可以通过比较这些特性来识别位似图形。此外，位似图形的放缩比例与位似中心无关，这也是我们识 别位似图形的一个重要特性。
位似图形的应用场景
总结词
位似图形在日常生活中有着广泛的应用场景，如建筑 设计、艺术创作、工程图纸绘制等。了解位似图形的 概念和应用场景有助于更好地理解和应用相关领域的 知识。
详细描述
在建筑设计方面，位似图形的应用可以帮助设计师更 好地掌握建筑物的比例和尺寸，从而设计出更加美观 实用的建筑。在艺术创作方面，位似图形的应用可以 帮助艺术家更好地掌握画面的比例和构图，从而创作 出更加优美的艺术作品。在工程图纸绘制方面，位似 图形的应用可以帮助工程师更好地掌握物体的比例和 尺寸，从而制作出更加精确的模型或零件。
分为共线位似和非共线位似。共线位似是指位似中心位于图 形上的一条直线上，而非共线位似是指位似中心位于图形内 或图形外。
根据位似比的方向
分为放大和缩小。当位似比大于1时，为放大；当位似比小于 1时，为缩小。
02
位似图形的识别与判断
《图形的位似》与图形的相似
如果两个图形中对应顶点连线所 在的直线交于一点，则这两个图 形位似。
依据边判定位似
总结词
通过比较两个图形对应边的长度和夹 角的大小来判断是否位似。
详细描述
如果两个图形中对应边长相等，且对 应边之间的夹角相等，则这两个图形 位似。
依据角度判定位似
总结词
通过比较两个图形中对应角的大小来判断是否位似。
确定相似关系
在几何作图中，位似关系可以帮助确 定两个图形是否相似，从而判断它们 的形状和大小是否符合要求。
放大或缩小图形
利用位似关系，可以将一个图形按照 一定比例放大或缩小，这在建筑设计 、机械制造等领域非常有用。
在解决实际问题中的应用
测量和计算
在土地测量、建筑规划等领域， 位似图形可用于计算实际物体的 尺寸和比例，为工程设计和施工
当一个位似图形进行反射时，即关于一条直线进行对称， 其形状和大小保持不变。反射后，对称轴一侧的图形会出 现在对称轴另一侧的位置上，这种反射性质也是位似图形 的一个重要特性。
位似图形的平移性质
位似图形在平移时，其形状和大小保持不变，只是位置发生了平移。
当一个位似图形在平面上进行平移时，其形状和大小不会发生变化，只是整体位 置沿着某一方向发生了平移。这种平移性质也是位似图形的一个重要特性，使得 位似图形在几何学中具有广泛的应用。
理论作用
位似和相似的概念是几何学理论体系的重要组成部分，它们有助于理解 图形的性质和关系，以及解决几何问题。
03
实际应用
在实际生活中，位似和相似的概念也有广泛的应用。例如，在建筑设计
、机械制造、测量等领域中，经常需要利用位似和相似的概念来处理和
分析图形数据。
05
位似图形的特殊性质
《图形的位似》PPT课件 (共16张PPT)
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要 工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
概念与性质 2. 位似图形的性质
从第 (1)，(2)图中，我们可以看到，△OAB∽△O A′B′,
则OOAA′ ＝OOBB′ ＝A′ABB′ .从第（3）图中同样可以看到
AF AD
＝AAPC
＝AABE
＝EBPC
＝FDPC
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比.
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2， 则OA：OA’=（ 1:2 ）。
译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。
11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》
译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。
12．满招损，谦受益。 ——《尚书》
A’
A
B
B’
O
C
C’
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
例如，要把四边形ABCD缩小到原来的1/2， 1.在四边形外任选一点O（如图），
2.分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'， 使得 OA' OB' OC' OD' 1
OA OB OC OD 2 3.顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D' 就是所要求的图形．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时： 日期： 姓名：
课题：第七节 图形的位似（1）
目标：熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小。
重点：利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用。
难点：判断位似图形。
一、旧知链接
1、相似多边形： 、 的两个多边形叫做相似多边形；
2、相似多边形的性质： 。
二、自主学习，小组合作探究
.观察以上图形，自主学习课本113页归纳总结
3. 位似多边形的概念：
4. 位似图的性质：（1）对应边_____ 。
（2)任意一对对应点和位似中心在___________,它们到位似中心的距离之比等于__________
三、例题解析
5.如图，已知在△ABC ，以点O 为位似中心画△DEF ，使它与△ABC 位似，且相似比为2.
四、当堂练习 1.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到；
B.位似图形的对应边平行且相等；
C.位似图形的位似中心不只有一个；
D.位似中心到对应点的距离之比都相等。
2、如图，五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 是位似图形，点O 为位似中心，
12
'OD OD ，则''A B :AB =___________. 3.如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是
位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，
则△DEF 与△ABC 的面积比是
E'
D'C'B'A'E D C B
A
4.画一个任意四边形ABCD ，在它的内部任取一点O ，以O 为位似中心，画一个四边形 A ′B ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为21。
5.已知ABCDE 和点O ，请你以O 为位似中心画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，使它与五边形ABCDE 位似，且相似比为
21。
6.△ABC 与'''C B A △关于点O 位似，BO=3，6'=O B
（1）若AC=5，求''C A 的长；
（2）若△ABC 的面积为7，求'''C B A △面积。
7.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC △与A B C '''△是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O ；
（2）求出ABC △与A B C '''△的位似比；
（3）以点O 为位似中心，再画一个
111A B C △， 使它与ABC △的位似比等于
21．
五、收获与反思
A
B C C ' B ' A '
课时：日期：姓名：
课题：第七节图形的位似（2）
目标：1、掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律；
2、能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题。
重点：平面直角坐标系下的位似变换。
难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。
一、旧知链接
1.位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线，像这
样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。
2.位似图的性质：
（1）位似图形一定，位似比等于；
（2）位似图形对应点和位似中心在；
（3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
（4）对应边或者在（位置关系）。
二、自学探究
3.在平面直角坐标系中，有两点A(6,4)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为0.5，把线
段AB缩小．则对应点坐标为：A
1（）B
2
（）或A
2
（）B
2
（）
2，
)
平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘
以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形，位似中心是坐标原点，它们的相似比是当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为
三、例题解析
四、当堂练习
8.如图，在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是O （0,0），A （3,0），B （4,4），C （-2,3）.画出四边形OABC 以O 为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC 的相似比是2:1.
9．已知：E （－4，2），F （－1，－1），以O 为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF 缩小，则点E 的对应点E′的坐标为（ ）
A ．（2，－1）或（－2，1）
B ．（8，－4）或（－8，4）
C ．（2，－1）
D ．（8，－4）
10．已知△ABC 与△DEF 是以原点为位似中心的位似图形，位似比为3
2，则A （－1，1）的对应点D 的坐标为 。
11．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P （x ，y ）与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则P ′的坐标是 。
12．如图，△AOB 以O 位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为：A （1，2）、B （3，0）、D （4，0）则点C 坐标为 。
13． 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。
若ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标
是 。
14．如图，已知O 是坐标原点，B ，C 两点的坐标分别为(3
1)(21)-，，，．
（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将OBC △放大到
两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；
（3）如果OBC △内部一点M 的坐标为()x y ，，写出
M 的对应点M '的坐标．
五、收获与反思;。