广东省增城高级中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题

俯视图高一期末考试试题命题人:增城高级中学 吴玮宁一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A.7 B.8 C.9 D.102.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B，且AB =，则实数x 的值是（ ） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2- 3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ） A.1:3B. C.1:9 D.1:814.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.45.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ）A.B.C.D.6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1- 7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.()y x x R =-∈B.3()y x x x R =--∈ C.1()()2xy x R =∈ D.1(,0)y x R x x=-∈≠且 8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A.4π B.54πC.πD.32π9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，真命题是 （ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 10.函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A.()1,2 B.()2,3 C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),e +∞二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11.设映射3:1f x x x →-+，则在f 下，象1的原象所成的集合为12.已知2()41f x x mx =-+在(],2-∞-上递减，在[)2,-+∞上递增，则(1)f = 13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为14.已知12,9x y xy +==，且x y <，则12112212x y x y-=+三、解答题。

本大题6题共80分。

15（12分）已知二次函数2()43f x x x =-++（1） 指出其图像对称轴，顶点坐标；（2） 说明其图像由2y x =-的图像经过怎样的平移得来； （3） 若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值。

16（12分）求过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

17（14分）如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABC A B C -中，33,5,c o s 5A C ABC A B ==∠=，14,AA =点D 是AB （1）求证：1AC BC ⊥（II ）求证：11//AC CDB 平面 （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积。

18（14分）求经过(0,1)A -和直线1x y +=19(14分) 对于函数2()()21x f x a a R =-?+, （1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？证明你的结论 20（14分）已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++- （1） 当m 取何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2） 如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的值。

参考答案一、选择题CDABB CBCCB 二、填空11.{}1,0,1- 12.21 13.4570y x -+=14.3- 三、解答题15.22()43(2)7f x x x x =-++=--+ 2分 （1）对称轴2x =，顶点坐标(2,7) 4分（2）2()43f x x x =-++ 图象可由2y x =-向右平移两个单位再向上平移7个单位可得。

6分（3）(1)6,(4)3,(2)7f f f ===，由图可知在[]1,4x ∈，函数()f x 的最大值为7，最小值为3 12分 16.法一:(截距式)当直线过原点时,过点(2,3)的直线为32y x =------------------------(5分) 当直线不过原点时,设直线方程为1x ya a+=(0a ≠),直线过点(2,3),代入解得5a = 所以直线方程为155x y += 所以(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为32y x =和155x y+=. 法二(斜截式)依题意知直线显然存在斜率, --------------------(2分) 设直线方程为y kx b =+,直线过点(2,3)P ,代入方程有32k b =+ ①直线在x 轴和y 轴的截距分别为bk-和b , 依题意有bb k-= ② ----6分 由① ②解得320k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15k b =-⎧⎨=⎩ 10分 所以直线的方程为32y x =和5y x =-+----------------------------12分 17.证明（1）在ABC 中，由余弦定理得4BC =，ABC ∴ 为直角三角形，AC BC ∴⊥又1CC ⊥ 面ABC 1CC AC ∴⊥，1CC BC C ⋂=∴ 1AC BCC ⊥面1AC BC ∴⊥----------6分（2） 连结1B C 交1BC 于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ，则在1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ⊂面，则11//AC B CD 面-----------------------------10分（3） 在11,ABC C CF AB F ABB A ABC ⊥⊥ 中过作垂足为由面面知11CF ABB A ⊥面1111A B CD C A DB V V --∴=而1111111541022DA B S A B AA ==⨯⨯= 又 1134125511210835A B CD AC BC CF AB V -⨯===∴=⨯⨯=-----------------------------------------14分18.解:因为圆心在直线2y x =-上,设圆心坐标为(,2)a a - 1分 设圆的方程为222()(2)x a y a r -++= 2分 圆经过点(0,1)A -和直线1x y +=相切所以有222(21)a a r r ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩8分解得r =1a =或15a =- 12分所以圆的方程为22(1)(2)2x y -++=或2212()()255x y ++-= 14分19、(1)函数()f x 为R 上的增函数．证明如下： 函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x R Î，12121222()()()()2121x x x x f x f x a a 且，有<-=---++ =122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x --=++++. …………………………………4分因为2x y =是R 上的增函数，12x x <，所以1222x x -＜０，…………………………6分 所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………8分(2)存在实数a ＝1，使函数()f x 为奇函数． ………………………10分 证明如下：当a ＝1时，2()121x f x =-+＝2121x x -+.对任意x R Î，()f x -= 2121x x ---+＝1212x x -+＝－2121x x -+＝－()f x ，即()f x 为奇函数．……………………………14分 20.（1）函数()f x 的图象与x 轴有两个零点，即方程22(1)4210m x mx m +++-=有两个不相等的实根，∴2168(1)(21)02(1)0m m m m ⎧∆=-+->⎨+≠⎩得1m <且1m ≠-∴ 当1m <时，函数()f x 的图象与x 轴有两个零点。

------------4分（2） 1m =-时，则()43f x x =--从而由430x --=得304x =-< ∴ 函数的零点不在原点的右侧，帮1m ≠- ----------------6分当1m ≠-时，有两种情况： ①原点的两侧各有一个，则212168(1)(21)02102(1)m m m m x x m ⎧∆=-+->⎪-⎨=<⎪+⎩解得112m -<<-------------10分 ②都在原点的右侧，则21212168(1)(21)042(1)0212(1)0m m m m x x m m x x m ⎧∆=-+-≥⎪⎪+=-⎪+>⎨-⎪=⎪+>⎪⎩解得m φ∈ 综 ①②可得1(1,)2m ∈---------14分。