典型例题(1)
锐角和钝角，典型例题
典型例题例1．1．指出下面图形各有几个角：2．看下面图形各有几个锐角：分析：这部分教学知识要求我们不但认识角，还要学会判断常见图形的角的个数．解：1． 4个 3个 4个2． 2个 2个没有 1个例2．数一数下面图形中有多少个角？其中几个锐角？几个钝角？分析与解答：解答这道题时，同样不能盲目的去数角的个数，而应该先观察出图形的特点，在着手解答．这个图形是一个梯形，在这个梯形中，可以把众多的角分为两种不同的情况．第一种情况是这个梯形的4个角构成的角．这4个角的特点是相同的，都是由一条线把一个角分成了两个小一些的角．第二种情况在梯形的中间，两条线段相交，又构成了4个角．因此，我们可以先分别数出两种不同情况的角的个数，最后，再把两种情况的角加在一起．第一种情况：梯形的一个角中包含的角的个数：2＋1＝3（个）梯形的4个角包含角的总数：3×4＝12（个）第二种情况：4个角．图形中角的总个数：12＋4＝16（个）其中12个锐角，4个钝角．例3．1.下面画的角，哪些画对了，哪些画错了，对的打“√”，错的打“×”：2．下面图形中是直角的在（）里打“√”：分析：此题目是关于角的判断题，后者则是直角的判断．第一个题目中图形一和图形四的两条射线没有从一个顶点出发，而图形二两条射线中间出现了一条线段．解：1．只有第三个是角．2．图形一和图形二是直角．例4 1. 下面图形, 哪些是角? 哪些不是角? 画出√或×．2. 下面哪几个角是锐角？哪几个角是钝角？分析：此题目都是对角的判断，进一步巩固学生对角的识别．解：１．（１）√（４）√２．第二个图形是锐角，第四个图形是钝角．例5．说说下面的角是直角、锐角还是钝角？分析：要辨别图上有哪种角，就要首先了解各种角的特征，通过仔细观察它们属于其中的哪一种．解：第一个图形五角星有锐角也有钝角．第二个图形中有只有直角，第三个图形中只有一个锐角．。
高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)
数列裂项相消求和的典型题型1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为()A ．100101B ．99101C ．99100D ．1011002．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A ．－10B ．－9C ．10D ．93．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和．4．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n b 满足,,211*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ．6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．7．在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+==+．(Ⅰ)求}{n a 的通项公式；(Ⅱ)令,211n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n T ．8．已知等差数列}{n a 的前3项和为6，前8项和为﹣4．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S ．9．已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．(Ⅰ)求53,a a ；(Ⅱ)设),(*1212N n a a b n n n ∈-=-+证明：}{n b 是等差数列；（Ⅲ）设),,0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S ．10．已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2222*33221N n b b b b a n n n ∈++++= 求数列}{n b 的前n 项和n S ．11．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a n b 求数列}{n b 的前n 项和n T .12．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122nn a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .答案：1．A ；2．B3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42，∴q 2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=．故数列{a n }的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =++…+=﹣（1+2+…+n ）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，∴数列{}的前n项和为﹣．4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可有（a n﹣2n）（a n+1）=0∴a n=2n．(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，∴b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解有a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解有a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．(Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d，由已知有解有a1=3，d=﹣1故a n =3+（n ﹣1）（﹣1）=4﹣n ；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n =n •q n ﹣1，于是S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+n •q n ﹣1．若q ≠1，将上式两边同乘以q ，有qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+n •q n ．上面两式相减，有（q ﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2+…+q n ﹣1）=nq n ﹣于是S n =若q=1，则S n =1+2+3+…+n=∴，S n =．9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a 3=2a 2﹣a 1+2=6再令m=3，n=1，可有a 5=2a 3﹣a 1+8=20(Ⅱ)当n ∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可有a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8即b n+1﹣b n =8∴{b n }是公差为8的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ)(Ⅱ)解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2另由已知（令m=1）可有a n =﹣（n ﹣1）2．∴a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q ≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2+…+2n •q n ﹣1．两边同乘以q ，可有qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3+…+2n •q n ．上述两式相减，有（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2+…+q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n =2•∴S n =2•综上所述，S n =．10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16，有，2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除）∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1(Ⅱ)令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1两式相减，有a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2，．11．解(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T nn 为奇数，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)12．(1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝1161n 2－1(n ＋2)2T n…＝1161＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.。
初等函数(1)典型例题
例1. 已知a=91,b=9.求： （1）;315383327a a a a ⋅÷-- （2）111)(---+ab b a .解：（1）原式=3127⨯a.3123⨯-a÷［a21)38(⨯-·21315⨯a］ = 2167-a )2534(+--=a 21-.∵a=91，∴原式=3.（2）方法一 化去负指数后解..1111)(111b a abab b a ab b a ab b a +=+=+=+---∵a=,9,91=b ∴a+b=.982 方法二 利用运算性质解..11)(11111111111a b ab b a b b a a ab b a +=+=+=+----------- ∵a=,9,91=b ∴a+b=.982变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a解：（1）原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a baba b a b a（2）原式=-.4514545)(45)·2(252331331361331361ab abab b a b a b a b a b a -=⋅-=⋅-=÷-=÷--------例2. 函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是 （ ）A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x)C.f(b x )＞f(c x) D.大小关系随x 的不同而不同 解：A变式训练2：已知实数a 、b 满足等式ba)31()21(=，下列五个关系式： ①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3452+-x x ; （2）g(x)=-(5)21(4)41++xx.解：（1）依题意x 2-5x+4≥0, 解得x ≥4或x ≤1, ∴f （x ）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令u=,49)25(4522--=+-x x x ∵x ∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u ≥0，即452+-x x ≥0，而f(x)=3452+-x x ≥30=1,∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=49)25(2--x ,∴当x ∈（-∞，1］时，u 是减函数， 当x ∈［4，+∞）时，u 是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，f （x ）=3452+-x x 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数. 故f （x ）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-(,5)21(4)21(5)21(4)412++-=++xxxx∴函数的定义域为R ，令t=()21x (t ＞0),∴g(t)=-t 2+4t+5=-(t-2)2+9, ∵t ＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,即g(x)≤9,等号成立的条件是(x)21=2，即x=-1，∴g （x ）的值域是（-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9 (t ＞0),而t=(x)21是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间， 求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间. ∵g （t ）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减， 由0＜t=(x)21≤2,可得x ≥-1, 由t=(x)21≥2,可得x ≤-1.∴g （x ）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增， 故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=(226)21x x -+;(2)y=262--x x .解：（1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x 2,则y=(u )21.∵二次函数u=6+x-2x 2的对称轴为x=41, 在区间［41，+∞）上，u=6+x-2x 2是减函数，又函数y=()21u是减函数，∴函数y=(226)21x x -+在［41，+∞）上是增函数. 故y=(226)21x x -+单调递增区间为［41，+∞）.（2）令u=x 2-x-6,则y=2u , ∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数， ∴函数y=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数.故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）.例4．设a ＞0,f(x)=x x aa ee +是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解： ∵f （x ）是R 上的偶函数，∴f （-x ）=f （x ）， ∴,ee e e x x x x a a a a +=+--∴（a-)e1e )(1x x a -=0对一切x 均成立，∴a-a1=0，而a ＞0,∴a=1. （2）证明 在（0，+∞)上任取x 1、x 2，且x 1＜x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1e x +1e 1x-2e x -2e 1x =)e e (12x x - ().1e 121-+x x ∵x 1＜x 2,∴,e e 21xx <有.0e e 12>-x x∵x 1＞0,x 2＞0,∴x 1+x 2＞0,∴21ex x +＞1,21e1x x +-1＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0,即f(x 1)＜f(x 2),故f(x)在（0,+∞）上是增函数.变式训练4：已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)=142+x x. （1）求f （x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解： 当x ∈(-1,0)时，-x ∈(0,1).∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=-f （-x ）=-.142142+-=+--x xx x由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 f （x ）={}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-∈+-∈+1,0,10)0,1(142)1,0(142x x x xxx x(2)证明 当x ∈(0,1)时，f(x)=.142+x x设0＜x 1＜x 2＜1,则f(x 1)-f(x 2)=,)14)(14()12)(22(1421422121122211++--=+-++x x x x x x x x x x∵0＜x 1＜x 2＜1,∴1222x x -＞0，221x x +-1＞0,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,即f(x 1)＞f(x 2),故f(x)在（0，1）上单调递减. 例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg4932-34lg 8+lg 245. 解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1.（3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 变式训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83). 解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7. 方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log 1<< B.b b b baa1log 1log log << C.b b b a b a 1log 1log log << D.b bb a a b log 1log 1log <<解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x).∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数， ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83). 变式训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 例1 作出下列函数的图象.（1）y=21(lgx+|lgx|); （2）y=112--x x ; （3）y=)21(|x|. 解：（1）y=⎩⎨⎧≥<<).1(lg ).10(0x x x（2）由y=112--x x ,得y=11-x +2. 作出y=x 1的图象，将y=x1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=11-x +2的图象.（3）作出y=（21）x 的图象，保留y=（21）x 图象中x ≥0的部分，加上y=（21）x的图象中x ＞0的部分关于y 轴的对称部分，即得y=（21）|x|的图象.其图象依次如下：变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x； （2）y=|log 21（1-x ）|；（3）y=112+-x x . 解：（1）由函数y=2x的图象关于x 轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x的图象.如图甲.（2）由y=log 21x 的图象关于y 轴对称，可得y=log 21（-x ）的图象，再将图象向右平移1个单位，即得到y=log 21(1-x).然后把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y=|log 21（1-x ）|的图象.如图乙.（3）y=132112+-=+-x x x . 先作出y=-x3的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个单位，即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 （ ）解： A变式训练2：设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( )解： B例3设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).（1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x 2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.（2）解： 当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解： 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）解：当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.变式训练3：当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 .解： (1,2］例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -=（4）22y x x -=+ （5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+- 解：（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-∴此函数为奇函数．（2）12y x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x -===- ∴此函数为偶函数（4）22221y x xx x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+= ∴此函数的定义域为[0,)+∞此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴= ∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x = （2）43y x -= （3）54y x =（4）35y x -=（5）12y x -= 分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 例2比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.265.26-->； 综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2223332.5,( 1.4),(3)-- （2）3338420.16,0.5,6.25--（3）11121333322253(),(),(),3,()3532--解：（1）222333( 1.4) 2.5(3)-<<- （2）3338246.250.50.16,--<<（3）11211333322523()()()()35332--<<<<例3已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值．解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练3：证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x < ∴此函数在[0,)+∞上是增函数例1.（1）若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( ) A ．21 B ．－21 C ．2D ．－2解：A ．（2）设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．（3）已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有50a b c ⋅-=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：241270m m --<，解得：1722m -<<． （5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或，解得：x>3或x<1． 变式训练1： 当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a << 解：D例2.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x +22xx +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<变式训练2：已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．例 3. 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ． 由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=．变式训练3：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>.（1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围. 解：（1）证明 任取120x x >>1212122112111111()()()()x xf x f x a x a x x x x x --=---=-=∵120x x >>，∴120x x ⋅>，120x x ->，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,+∞)上是增函数.（2）解： ∵112x a x-≤在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0,∴112a x x≥+在（0，+∞）上恒成立， 令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g ，当且仅当12(0)x x x =>即x=22时取等号 要使112a x x≥+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥故a 的取值范围是［42,+∞)． （3）解： 由（1）()f x 在定义域上是增函数. ∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a-+=，2110n n a-+= 故方程2110x x a -+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a +=> 故只需要(21()40a ∆=->,由于0a >，则102a << ．例4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤． 变式训练4：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠ （1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =-- 由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点， ∴2(1)1x ax b x b =+++-，即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.。
windows操作典型题目(1)
三、WINDOWS操作典型例题（共计10分）第1题（10.0分）1、建立指向C盘的的快捷方式，名称为“C盘”。
2、新建一个“071234567”的文本文件，将本机的IP地址保存到该文件中，并设置文件属性为“隐藏”。
3、建立新文件夹“07123456”。
4、在当前目录下查找满足下列条件的文件：文件名第三个字符为“u”，大小大于“10KB”，把查找到的文件复制到“07123456”文件夹下。
代表任意一个字符*代表任意多个字符，或者代表字符串第2题（10.0分）1、将文件夹“notwell”中的“a.txt”文件剪切到“well”文件夹。
2、删除“notwell”文件夹。
3、在文件夹“well”中复制一个“复件 a.txt”。
第3题（10.0分）--------------------------------------------------------------------- 请在打开的窗口中，进行下列操作，完成所有操作后，请关闭窗口。
--------------------------------------------------------------------- 1、将文件夹“wg”内的文本文档“ks”属性设为“只读”、“隐藏”、“存档”。
2、将文件夹“yd”改名为“pe”。
3、在文件夹“wg”内新建一个名称为“mr”的Word文件。
第4题（10.0分）---------------------------------------------------------------------请在打开的窗口中，进行下列操作，完成所有操作后，请关闭窗口。
---------------------------------------------------------------------1、创建“记事本”应用程序的快捷方式，名称为“NOTEPAD.EXE”。
2、在“我的电脑”中查找calc.exe文件，并将该文件复制到当前文件夹。
数量关系例题 (1)
【例题】某行政村计划15天完成春播任务1500亩，播种5天后，由于更新机械，工作效率提高25%，问这个行政村会提前几天完成这1500亩的春播计划? A.4 B.3 C.2 D.1【例题】某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己的工作岗位上工作时，9小时可以完成一项生产任务。
如果交换工人甲和乙的工作岗位，其他人的工作岗位不变时，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的工作岗位，其他人的工作岗位不变时，也可提前1小时完成任务。
如果同时交换甲和乙、丙和丁的工作岗位，其他人的工作岗位不变，可以提前多少小时完成这项任务?A.1.6B.1.8C.2.0D.2.4【例题】有20人修筑一条公路，计划15天完成。
动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。
如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天? A.16 B.17 C.18 D.19【例题】单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间?A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时【例题】甲、乙两车运一堆货物。
若单独运，则甲车运的次数比乙车少5次；如果两车合运，那么各运6次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次? A.9 B.10 C.13 D.15【解析】C。
原来的工作效率为100亩/天，提高25%后则每天播种125亩，剩余的1000亩需要8天播完，因此可以提前2天完成任务。
【解析】【解析】D。
设每人每天干活1个单位，那么，题意可以理解为15人干活需要干满20天。
因为有5个人另干了3天，即相当于15个人干了一天的活，所以15人现在只需干活20-1=19天。
【解析】【解析】【例题】3，6，11，( )，27 A．15 B．18 C．19 D．24【例题】118，199，226，( )，238 A．228 B．230 C．232 D．235【例题】2/3 ，1/2 ，5/9 ，( )，11/15 A．2/5 B．6/11 C．3/4 D．7/12 【例题】2，3，10，23，( ) A．35 B．42 C．68 D．79【例题】8，16，22，24，( ) A．18 B．22 C．26 D．28【解析】B。
函数奇偶性典型例题(一)
函数奇偶性典型例题（一）
例1、已知，
⑴判断的奇偶性；
⑵证明.
解：⑴的定义域为，它关于原点对称，又
∴，
∴为偶函数；
⑵证明：∵当时，，
∴；
当时，，
∴.
又为偶函数，
∴，
故当时，.
综上可得：成立.
例2、已知f（x）的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f （x）＋f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.
解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得
3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）
∴f（x）－f（x－2）＞3
∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）]
又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴
即2＜x＜
例3. （1）定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。
（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若
成立，求的取值范围。
解：（1）∵
∴
∵奇函数
∴
又∵在上为减函数，
∴
解得.
（2）因为函数在上是偶函数，
则，
可得
又当时，为减函数，
得到
解之得.。
【典型例题系列】六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥基础篇(一)(解析版)北师大版
六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥基础篇（一）（解析版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元圆柱与圆锥基础篇（一）。
本部分内容主要是圆柱的认识、侧面积以及表面积的基本计算和应用，内容相对简单，多偏向于公式的运用和简单的转化，建议作为必须掌握内容进行讲解，一共划分为十个考点，欢迎使用。
【考点一】圆柱的认识。
【方法点拨】圆柱有三个部分组成，即底面、侧面、高：【典型例题1】下图中哪些是圆柱，在（）里打√，不是的打×。
( )( )( )( )( )( ) 解析：×√××√×【典型例题2】标出下面圆柱的底面、侧面和高。
(1) (2)（3）解析：(1)(2)(3)【典型例题3】圆柱体有上下两个底面，它们是完全相同的两个（），两底面之间的距离叫做圆柱的（）。
解析：圆；高【对应练习1】下面各图中h表示的是圆柱的高吗？是的在括号里画“√”，不是的画“×”。
( )( )( )( )( )解析：×；√；√；×；×【对应练习2】圆柱是由( )个面围成的。
圆柱的上、下两个面叫做( )。
圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做( )。
圆柱的两个底面之间的距离叫做( )，圆柱有( )条高。
解析：3；底面；侧面；高；无数【对应练习3】从一个圆柱的上面和前面进行观察，看到的形状分别如图。
（1）这个圆柱的底面半径是________厘米，高是________厘米。
（2）这个圆柱应是下面的图________。
解析：2.5；2.5； B【考点二】圆柱的侧面展开图。
2022-2023学年三年级数学上册典型例题系列之第二单元万以内的加法和减法(一)应用篇(解析版)人
2022-2023学年三年级数学上册典型例题系列之第二单元万以内的加法和减法（一）应用篇（解析版）编者的话：《2022-2023学年三年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
本专题是第二单元万以内的加法和减法（一）应用篇。
本部分内容考察加减法的实际应用，注意寻找关键词，题目综合性强，难度不大，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为五个考点，欢迎使用。
【考点一】加法的实际应用。
【方法点拨】利用加法解决实际问题，要注意抓关键词，例如：一共、和、总共等。
【典型例题】毛巾和牙刷一共卖了多少元钱？解析：540＋190＝730（元）答：毛巾和牙刷一共卖了730元。
【对应练习1】看图回答问题。
买雨伞和闹钟共需要多少元钱？花56元钱可以买到哪两样物品？解析：28＋25＝53（元）38＋18＝56（元）即花56元可以买一双球鞋和一个足球答：买雨伞和闹钟共需要53元；花56元可以买一双球鞋和一个足球。
【对应练习2】水果店运来香蕉180千克，梨120千克，苹果比梨多50千克，西瓜的质量与香蕉和苹果的总质量的和同样多。
运来西瓜多少千克？解析：120＋50＋180＝170＋180＝350（千克）答：运来西瓜350千克。
【对应练习3】小华和小芸同时从家出发，以同样的速度走路上学。
当小芸走了200米的时候，发现作业忘带了，于是又回去拿作业，再去学校。
问小芸到达学校的时候，小华到了吗？解析：200＋200＋380＝780（米）820＞780答：小华没有到。
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唱片J=mR2/2) (2) 由转动定律求 α ，(唱片 )
v 例 一长为 L的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中， 的均匀磁场中，以角速度 ω 在与磁场方向 垂直的平面上绕棒的一端 × × × v× × P 转动， 转动，求铜棒两端的 d × × × l× × 感应电动势. 感应电动势 ×v × × × v × B × Oω × v × × × 根据楞次定律， 解 根据楞次定律，判 × × × × × 断感应电动势的方向
dM =
µmg
2
o
r
dl dr
rdr (2πr )
M 4 µg α= = 作匀加速转动） （作匀加速转动） J 3R 3ωR 由 ω = ω0 + αt 可求得 t = 4 µg 2 2 (3) 由 ω = ω0 + 2αθ 可得在 0 到 t ) 2 的时间内， 的时间内，转过的角度为 θ = 3ω R 8µg 1 驱动力矩做的功为 W = Mθ = mR 2ω 2 4
力学部分、 电磁学部分、 波动光学部分 典型习题举例
例 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面 作匀速转动．放上唱片后， 的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片后， 唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 设唱片的半径为R，质量为m， 动．设唱片的半径为 ，质量为 ，它与转 µ ，求：(1)唱片与转盘 盘间的摩擦系数为 ) 间的摩擦力矩； ) 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱 要多长时间； )在这段时间内， 动力矩做了多少功？ 动力矩做了多少功？
x1 = A1 cos(ω t + ϕ 1 ) x2 = A2 cos(ω t + ϕ 2 )
v A 2
ϕ2
O
ω
v A
xx
x = x1 + x2
x = A cos( ω t + ϕ )
2 1 2 2
x2
ϕ1
ϕ
x1
v A 1
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 tan ϕ = A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
解 (1) 如图取面 ) 积元ds 积元 = drdl，该面元 ， 所受的摩擦力为
v df
df =
µ mg
πR
2
o
r
dl dr
d rd l
R
此力对点o的力矩为
r df =
µmg
πR
2
r dr dl
于是，在宽为 的 于是，在宽为dr的 圆环上， 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
v df
πR R 2 µ mg 2 = r dr 2 R 2 µmg R 2 2 M = 2 ∫0 r dr = 3 µRmg R
ξ
方向 O
P
v v v dξ = ( v × B ) ⋅ dl
= v Bd l
ξ =
=
∫
L
0
vBdl
× ×
× ×
×
v× d × l×
× ×
× P ×
∫
L
0
ω lB d l
×v ×
B × ×
× ×
v× Oω v × × ×
× × ×
1 2 ξ = BωL 2
ξ
方向 O
P
例 两个同方向同频率的简谐振动的合成