同济大学高等数学第六版上第一章第九节 连续函数的运算和初等函数的连续性
高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)
四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章 函数与极限第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。
高等数学课件同济六版上册1-9
处处间断,
处处连续 .
x2， B．仅是 ， 1
2， C．仅是(， 1) D．是(， 1)，
设f ( x)在x x0处连续，g ( x)在x0处不连续， 试判定F ( x) f ( x) g ( x)在x0处的连续性．
f [ ( x0 )]
故复合函数
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
* 上连续 . x R 在
y
1 y sin x
o
x
例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
根据连续函数运算法则 , 可知 连续 .
第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调 递增 (递减).
也在
上
二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续
例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则lim [()]f x ϕ=f （A ）， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解 因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解 由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭． 例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭． 解 由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭． 例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解 初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π． 例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5． 第十节 闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值． 但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证 令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证 设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0． 综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证 由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０． 由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理． 定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论 设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证 因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)
高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限（7天）（考小题）第二章 导数与微分（6天）（小题的必考章节）f •- 2 5? eH5 =™ 5 eH三5 S-］買 a :B'rw 匸匸FTrs?B'pf Fa :IM FS ?ru Fa'B'^~?s?irff#r u F 匸■J TSFS ?R F F ^^rts'S'■®-?s?rs?匸J ff匸BS ?PF s^Wr匸a :J rv*匸^^rrtsv-^rta匸?可I 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求bjL = SS191!lSlBl EE13丄£1血氐1就聖啡上吐的上测"翊暨E12UM価戲 1.E昭皿1』U1徂阿血暑沁测!!亦1認£1注仙皿珂HI2U1話!!EM上也血珂託聘5吕見山見叮竺打蠱幣人W豊WJVJVUJJIN出曹-W期J-但叮竺叮朗I第一节：导数的定义、几何意义、物理意义（数三不1.理解导数和微分的t r |r ■!■ BI・■・・!■■ ・・■!■・・■=■ ■■■!■■■■ ■=■ ■■■«■■■ Uwi/wviwvxwuvmwuw&m-nvi*WWLWL wvwuw»i wi>wwwxww wi>vwwmwn WL wh wwvuwk—Wh•"■■■WWUVL vh wwwmv^w^ H vi wvxwwxwv wwvuwm-VXWMX wkVHrwb WLWI w wxwuxwt xU作要求，可不看，数三要知道导数的经济意 义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系， 可导与连续之间的关系（非常重要，经常会 出现在选择题中），函数的可导性，导函数 奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定 义求导及其适用的情形，利用导数定义求极 限•会求平面曲线的切线方程和法线方程 （导数定义年年必考）例1 —例6 IF ...习题 2— 1： 3,4,5，6, 7,8，11, 15, 16,18,19,（重点）20II复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复 合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微 分法则，（幕、指数函数求导法，反函数求导 法），分段函数求导法（基本求导法则与求导 公式要非常熟）（定理1, 3的证明不用看， f 例1,17不用做，定理2的证明理解，例6,7,8 I重点做）习题2 — 2:除2,3,4,12不用做，其余全做， 13,14重点做&高阶导数和N 阶导数的求法（归纳法，分解法，， li 用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶导）| ^例 1—例 7 习题2— 3: 5,6,7，11 不用做，i f 其余全做，4,12重点做| （由参数方程确定的函数的求导法（数三不用 I '看），变限积分的求导法，隐函数的求导法（相I 关变化率不用看）例1—例10 I 习题2 — 4: 9,10,11,12均不用做，数三 I 5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做| 函数微分的定义，微分运算法则，微分几何意 义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲不 作要求）例 1—例 6 习题 2-5: 5,6,7,8 ,9,10,11,12 均不用做，其余全做总复习题二：4,10,15,16,17,18 均不用做，其余全做，2,3,6,7,14 重点做，数三不用做 12,13 第二章测试题f 导数的概念| I （重要）i ［第二节： i 函数的求导 |法则 I （考小题） 概念，理解导数与微分 , 的关系，理解导数的几 *何意义，会求平面曲线 ,的切线方程和法线方 程，了解导数的物理意 义，会用导数描述一些 . 物理量，理解函数的可 导性与连续性之间的 17,关系. iiII 1： ---- :- -— d - zrrzxnTEaiaTaiaTKiirEiiiTEiirEaiaTiidaEiimiaxEiiTKiiaiEairKiia-Eiiii'EiiaEiiiTEairKiiixiiiTEiii-EiiirEaiaxiiixEiiiEiiiTEiirEiiaxiiii'Eiii-EEiiTEiiaTii;•第三节： |高阶导数［（重要，考 |的可能性很 ［大） ^rESi31：Si3?ES3SlSS3TEi3rE5S3 + £i ：饬四节： I 隐函数及由 I 参数方程所I j 确定的函数II 的导数（考 I j 小i ［第五节： ［函数的微分I | （考小题）［自我小结：!2 •掌握导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则，掌握基 本初等函数的导数公 式•了解微分的四则 运算法则和一阶微分 形式的不变性，会求 函数的微分.3•了解高阶导数的概念，会求简单函数的 高阶导数. 4 •会求分段函数的导 数，会求隐函数和由 参数方程所确定的函 数以及反函数的导数.第三章微分中值定理与导数的应用(8天)考大题难题经典章节第四章不定积分（7天）（重要，本章数二考大题可能性更大）第五章定积分（6天）（重要，考研必考）|学习内容|复习知识点与对应习题|大纲要求i第一节：定积定积分的概念与性质（可积存在定理）（定积门.理解原函数概念，分的概念与分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分|理解定积分的概念.%■・・・■・・・«■ ■■・■・■・■■・■・・■・・・■・・・■・・」<^wuv!&ewvvxwux*wxwk VLWL wxvwxwuvHn VLWWL witvwuvxwuxWiWHfWLwsnnwvx WSJXVL wa/invk VL*VBrUwL WMWWA—wvwuviAWLVMn!wumtwi ewt wi><vsn I wi*nt反常积分无界函数反常积分与无穷限反常 积分例1 一例5习题：5-4:全做，3题结论记住 |第五节：反常 总复习题五：1 (3)，2(3) (4) (5) ,15,16 不用做，其余全做，重点做3,5,7,8,9,10(1) (2) (3) (8) (9)iiiTEiii [iii]iiiiinimi [iiixiiiiEiiaiiii] ma [in [ini ini [IIIII1I1EIIIEIIHIIIII总结本章第六章 定积分的应用(4天)(考小题为主)waia .・■・・・ ■・■ ■■■ M ■ ■ BM ■ ■・■ ■ ■ Ir 性质(理解)|第二节：微积 |分基本公式 | (重要) 中值定理要会证明)(定积分近似计算不用看) 习题 5- 1: 1,2,3,6,8,9,10 余全做，5,11,12重点做 微积分的基本公式 积分上限函数及其导数i (极其重要，要会证明) 公式(重要，要会证明) 例5不用做，例6极其重要，记住结论 习： 题 5-2: 6( 1) (2) (4) (5) (6) (7) ,7,8 ［ 均不用做，其余全做，2数三不做，9(2)， 10,11,12,13 重点做 ］第二节：定积i I 分的换元积i I 分法与分部I $积分法(重i ［要，分部积分| I 法更为重要)I 定积分的换元法与分部积分法例1—例10例5,例6,例7,例12经典例 题，记住结论 习题 5- 3: 1 (1) (14) (15) (16) 不用做，其余全做， (18) (25) (26) (13)［2.掌握定积分的基 2本公式，掌握定积分 均不用做，其I 的性质及定积分中 ||值定理，掌握换元积........................... 1分法与分部积分法.牛顿-莱布尼兹〔三角求有理式及 ii 二角函数有理式及1简单无理函数的积 分. 4.理解积分上限的 ［函数，会求它的导■ - ______ J . J| 数，掌握牛顿-莱布 ［尼茨公式. 〔5.了解广义反常积 |分的概念，会计算广 i (2)( 3)( 6)(⑵ ，7 (1) (3) (8) 重点做1 (4) ( 7) ,2,6,7 (7) (10) (9) (17) (12)1第四节：反常 ［积分(考小丨 I 题) I:积分的审敛 [法(不用看)^EIIIXIlllEIIIIIIIIEIiaEIIIXIIIEEldklI 自我小结(10) ,13,14,17 [inmi rij ii常微分方程（9天）（本章对数二相对重要，必考章节）复习知识点与对应习题第七章学习内容 大纲要求第一节：微分方程基 本概念 （了解）微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解， 例1、2、3、4，（例2数三不用看） 习题 7-1 : 1 （3）（4），2 （2）（ 4），3 （2），第二节：可 分离变量 的微分方 程（理解）可分离变量的微分方程的概念及其解法例1、2、3、4，（例2,3,4数三不作要求） 习题 7-2 : 1，2第三节：齐 次方程（理解） 一阶齐次微分方程的形式及其解法（例2不用看，可化为齐次的方程不用看） 习题 7-3： 1，2 第四节：一 阶线性微 分方程 （重要，熟记公式） 一阶线性微分方程、伯努利方程（仅数一考，记 住公式即可），例1，3，4,习题7-4 : 1，2，3，8仅数一做 第五节：可 降解的高 阶微分方 程（仅数 一、数二 考，理解）全微分方程（会求全微分方程） 会用降阶法解下列微分方程：和 ，例 1— 6习题：7-5 :数三不用做、数一数二只做1,2第六节：高 阶线性微 分方程（理 解）线性微分方程解的结构（重要）（微分方程的特 解、通解）（二阶线性微分方程举例不用看；常 数变易法不用看）定理1,2，3,4重点看习题 7-6 : 1，3,4 1 .了解微分方程及其阶、解、通解、初始条 件和特解等概念•2. 掌握变量可分离的 微分方程及一阶线性 微分方程的解法.3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分 方程，会用简单的变量 代换解某些微分方程.4. 会用降阶法解下列 微分方程：「一, 和旳.5. 理解线性微分方程 解的性质及解的结构.6. 掌握二阶常系数线 性微分方程的解法，并 会解某些高于二阶的 常系数齐次线性微分 方程• 7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函 数、余弦函数以及它们 的和与积的二阶常系 数非齐次线性微分方 程.8. 会解欧拉方程.第七节：常特征方程，微分方程通解中对应项9•会用微分方程解决系数齐次例1，2，3，6，7 (例4,5不用做) 一些简单的应用问题.线性微分习题7-7: 1，2方程(最重要，考大题)第八节：常会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余系数非齐弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次次线性微线性微分方程分方程(最例1 —4，(例5不用看) 重要，考大习题7 —8: 1, 2,6重点做题)第九节：欧欧拉方程的通解拉方程(仅习题7 —9:数一只做5,8数一考，了 (第十节不用看)解)自我小结总复习题十二：1 (1)( 2)( 4)，2 (2)，3(1)( 3)( 5)( 7)( 8)，4 (3)( 4)，5，7,8，10 其中8,10仅数一做第八章空间解析几何和向量代数(4天)(仅数一考，考小题，了解)第九章多元函数微分法及其应用（10天）（考大题的经典章节，但难度一般不大）学习内容复习知识点与对应习题第一节：二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小多元函数值定理、介值定理基本概念例1—8,习题8—1：2，3，4，5，6，8（了解）第二节：偏导数的概念，高阶偏导数的求解（重要）偏导数例1 —8，习题8 —2：1，2，3，4，6，9（理解）第三节：全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件全微分（全微分在近似计算中应用不用看）（理解）例1, 2，3,习题8—3：1，2，3，4第四节：多元复合函数求导，全微分形式的不变性多元复合例1—6，习题8—4：1—12 函数的求导法则（理解，重要）第五节：隐函数存在的3个定理（方程组的情形不用看）隐函数的例1—4，习题8—5：1 —9 求导公式（理解，小题）第六节：了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线多元函数的概念，会求它们的方程（一元向量值函数及其大纲要求1 •理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2•了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3 •理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6. 会用隐函数的求导法则.7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.微分学的 导数不用看）几何应用 例 2—7，习题 8—6： 1 —9 （仅数一 考，考小 题）第七节： 方向导数与梯度的概念与计算 方向导数 例 1—5，习题 8—7：1— 8， 10 与梯度 （仅数一 考，考小 题）第八节： 多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在 多元函数 的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值， 的极值及 会用拉格朗日乘数法求条件极值其求法 例 1－9，习题 8—8：1— 10 （重要， 大题的常考题型） 第九节： n 阶泰勒公式，拉格朗日型余项 二元函数 （极值充分条件的证明不用看） 的泰勒公 （第十节 最小二乘法 不用看） 式（仅数 例 1，习题 8—9：1，2， 3 一考，了解） 自我小结 总复习题八： 1—3，5，6，8，11— 19本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格（ 合格成绩为 80分以上 ） ，如果合格继续向前复习， 如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性的对本 章的内容进行复习或者到总部答疑。
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★ 对数函数 y loga x (a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
★ y x a
loga x
在(0, )内连续,
y au,
u log x. a
讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
x2 1 x x
1
1
1 x2
1
lim arcsin( x x2 1 x2 ) x
arcsin[ lim ( x x2 1 x2 )] x
arcsin 1
26
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性.
复合函数的连续性.
初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x 2 ( x 1)3 , D : x 0, 及x 1,
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x 时, 0
f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
2.将x x0换成x 可得类似的定理
例1 求 lim ln(1 x)x
x0
1
ln[lim(1 x)x ] ln e 1. x0
例2 求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y),
连续函数的运算与初等 函数的连续性
一、连续函数的四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
当x 0时, y 0.
原式 lim y y0 ln(1
y)
lim 1 y0 ln(1
1
y) y
1.
同理可得
ax 1
lim
ln a.
x0 x
定理4 设函数u ( x)在点 x x0连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [( x)]在点 x x0也连续.
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续, x x0
则有 lim f [( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
证 f (u)在点 u a连续,
0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f (u) f (a) 成立.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 1 在(, 0) (0, )内连续, x
y sin u 在(, )内连续, y sin 1 在(, 0) (0, )内连续.
x
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★ 指数函数 y ax (a 0, a 1)
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
意义 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符
号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直
接取在内层，
2.变量代换(u ( x))的理论依据.
注 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数
在极限值点处连续
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x)]
1
sgn
x
2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,)上处处连续
x 0是它的可去间断点
)
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
例4
求 lim
1 x2 1 .
x0
x
解 原式 lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
x( 1 x2 1)
lim x0
x 1 x2
1
0 2
0.
例5 求 lim arcsin( x x2 1 x2 ) x
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如,
y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续.
解 当x 时，x x2 1和x2都
不能应用差的极限运算法则，须变形 ——先分子有理化，然后再求极限
lim ( x x2 1 x2 )
x
lim x( x2 1 x)( x2 1 x)
x
x2 1 x
lim x
1 2
x
lim
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x 2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
思考题解答
1,
g(x) 1 x2
f ( x) 0,
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1 1,
x0 x0 x0
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间[1,)上连续.
注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例3 求 lim lnsin x x 2
解 y ln sin x是初等函数
它的一个定义区间是 (0, )
而x0
2
(0,