固有频率的计算
固有频率的计算范文
固有频率的计算范文固有频率是指物体在没有外部作用力的情况下自然振动的频率。
对于任何物体而言，都有其自身的固有频率。
在物理学中，固有频率常常用于描述弹簧振子、摆锤、弦上的波动等问题。
计算固有频率可以帮助我们更好地理解振动的特性，并应用于工程设计、建筑物的抗震设计等领域。
要计算一个物体的固有频率，首先需要了解物体的质量、刚度和几何结构等因素。
下面将分别介绍如何计算弹簧振子、摆锤和弦上波动的固有频率。
1.弹簧振子的固有频率计算：考虑一个简单的弹簧振子，由一根弹簧和一个附在其一端的质点组成。
假设质点的质量为m，弹簧的刚度系数为k。
弹簧振子在垂直方向上做简谐振动。
根据胡克定律，弹簧的力与其伸长量成正比，即F = -kx其中，F为弹簧的力，k为弹簧的刚度系数，x为弹簧的伸长量。
根据牛顿第二定律，质点在竖直方向上的运动方程为：m * d^2x/dt^2 = -kx其中，m为质点的质量，x为质点距离平衡位置的位移，t为时间。
将上述方程改写为：d^2x/dt^2 + (k/m) x = 0这是一个常微分方程，其解为简谐振动方程：x = A * sin(ωt + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
将上述解代入原方程中，得到：ω = sqrt(k/m)由此可得弹簧振子的固有频率为：f = ω / (2π) = 1 / (2π) * sqrt(k/m)2.摆锤的固有频率计算：摆锤是由一条线或摆杆固定在一个固定支点上，质量集中在摆锤的质点上构成。
可以通过计算摆锤在重力作用下的动能和势能的转换来计算其固有频率。
设摆锤长度为L，质量为m，重力加速度为g。
当摆锤偏离竖直方向角度为θ时，可得到摆锤的势能和动能：势能：PE = mgh = mgL(1 - cosθ)动能：KE = (1/2)mv^2 = (1/2)m(Lω)^2其中，v=Lω为质点的速度。
根据能量守恒原理，势能和动能的和保持不变：PE + KE = mgL(1 - cosθ) + (1/2)m(Lω)^2 = const.将上述表达式对时间求导，可得到：-mgLsinθ * dθ/dt + mL^2ωdω/dt = 0进一步整理，得到摆锤的运动方程：d^2θ/dt^2 + (g/L)sinθ = 0这是一个非线性微分方程，难以直接求解。
固有频率计算公式
固有频率计算公式
固有频率计算公式：Q=wL\R=2πfL\R(因为w=2πf)=1/wCR=1/2πfCR
固有频率也称为自然频率，物体做自由振动时，其位移随时间按正弦或余弦规律变化，振动的频率与初始条件无关；
而仅与系统的固有特性有关（如质量、形状、材质等），称为固有频率，其对应周期称为固有周期。
对固有频率的研究有利于保证产品稳定性。
扩展资料：
物体做自由振动时，其位移随时间按正弦规律变化，又称为简谐振动。
简谐振动的振幅及初相位与振动的初始条件有关，振动的周期或频率与初始条件无关，而与系统的固有特性有关。
物体的频率与它的硬度、质量、外形尺寸有关，当其发生形变时，弹力使其恢复。
弹力主要与尺寸和硬度有关，质量影响其加速度。
同样外形时，硬度高的频率高，质量大的频率低。
一个系统的质量分布，内部的弹性以及其他的力学性质决定。
机械系统动力学 第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
二、邓克利法（Dunkenley法）
对于多自由度振动系统，若用柔度法建立的运动微分 方程可表示为：
X MX
同样地令 X {u}sinnt
4-2-8
(I 2 M)u 0
I 2 M 0
特征方程
对于二个自由度系统：
1-211m1 -212m2 0 -221m1 1-222m2
若取 u1
{1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
=
{1
1} k m
1} 0
k
1
0 1 2m 1
1 2 代入式4-2-7进行试算
k 0.定 于对振型的假设。计算 一阶固有频率精度较高
2k k 1
但数值偏大
若取
{1
2 n1
{u1}T {u1}T
K{u1} M {u1}
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
单自由度无阻尼自由振动系统运动
mx kx 0
只要列出单自由度无阻尼自由振动系统的运动微分 方程，就可以得到振动系统的固有频率
n
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
振动系统固有频率：
n
ka2 Jo
ka2 1 ml3 3
3ka2 ml 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法
原理：
对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振
动位，置系，统势能T 为U0，c动ons能t 达或到最ddt大(T，U即) ：0U
固有频率 自振频率 自振圆频率
固有频率自振频率自振圆频率固有频率、自振频率和自振圆频率，这三个概念在物理学和工程学中扮演着重要的角色。
它们涉及到振动系统的特性和行为，对于理解和设计振动系统具有重要意义。
本文将通过深度和广度的介绍，带你全面了解这三个概念的含义、联系和应用。
一、固有频率1.1 什么是固有频率固有频率是指振动系统在没有外力作用下的自然频率，也可以理解为系统固有的振动频率。
在物理学中，振动系统可以是机械系统、电子系统、光学系统等，它们都有各自的固有频率。
当振动系统受到外界扰动或激励时，如果激励频率接近系统的固有频率，将会发生共振现象，这对于一些特定的应用有着重要的意义。
1.2 固有频率的计算和影响因素振动系统的固有频率与系统的质量、刚度和阻尼等因素有关。
具体地，固有频率可以通过下式计算得出：\[f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]其中，\(f_0\)表示固有频率，\(k\)表示系统的刚度，\(m\)表示系统的质量。
从这个公式可以看出，固有频率与系统的质量和刚度成正比，与阻尼无关。
1.3 固有频率的应用固有频率在工程学中有着广泛的应用，比如在建筑结构设计中，为了避免共振现象的发生，需要对结构的固有频率进行分析和设计。
另外，在机械振动领域，对于机械系统的固有频率进行分析可以帮助预测系统的振动行为和稳定性。
二、自振频率2.1 什么是自振频率自振频率是指振动系统在受到外力激励时，系统本身的固有频率。
当激励频率接近系统的自振频率时，系统将呈现出共振现象，振幅会急剧增大。
自振频率是指在自由振动状态下，振动系统的固有频率。
2.2 如何计算自振频率自振频率可以通过系统的固有频率和阻尼比来计算。
在一般情况下，自振频率可以表示为：\[f_r = f_0\sqrt{1-\xi^2}\]其中，\(f_r\)表示自振频率，\(f_0\)表示固有频率，\(\xi\)表示阻尼比。
从这个公式可以看出，当阻尼比为0时，自振频率等于固有频率；当阻尼比接近于1时，自振频率将趋于0。
振动固有频率计算公式
振动固有频率计算公式
振动固有频率是物理学上重要的一个量，它可以反映出物体的物理性质，也可以用来对物体的性能进行评估。
它的计算公式十分简单，可以帮助我们更好地理解物体的振动行为。
振动固有频率的计算公式是：f = 1/2π √(K/M)，其中K是物体的弹性系数，M是物体的质量。
由于这个公式中涉及到物体的质量和弹性系数，因此我们可以推断，物体的质量和弹性系数均对物体的振动固有频率有重要影响。
例如，物体的质量越大，它的振动固有频率越低；反之，物体的质量越小，它的振动固有频率越高。
弹性系数也会影响物体的振动固有频率。
如果弹性系数增大，则物体的振动固有频率会增大；反之，如果弹性系数减小，则物体的振动固有频率也会减小。
因此，通过计算物体的振动固有频率，可以对物体的性能进行评估。
例如，在机械设计中，可以使用振动固有频率来评估机械零件的强度，同时也可以使用振动固有频率来检测机械零件是否出现变形。
振动固有频率是物理学中重要的量，它可以反映出物体的物理性质，也可以用来对物体的性能进行评估。
它的计算公式也很简单，只需要知道物体的质量和弹性系数即可。
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
代入式4-2-7进行试算
若取
1 u 若取 2 1
2 k k 1 { 1 2 } T k k 2 2 { u } K { u } k k 2 1 1 = 0 . 2 2 2 n 1 T m 0 1 9 { u } M { u } m m 1 1 { 12 } 2 0 2 m
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前 提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但 振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数 情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。 例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-1求特征值法 例4-2-1：2个自由度振动系统，其运动微分方程为：
x x m0 2 k k 0 1 1 x x 02 m k k 0 2 2
即Dunkenley法计算自由度的振动系统一阶固有频 率的计算公式。 用Dunkenley法求解上例
2 k k 11 1 K k k k 12
1
1
1 1 2 5 m m m =m 2 m 1 1 1 2 2 2 k k k 1
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
有限元计算固有频率
有限元计算固有频率
在有限元计算中，固有频率可以通过以下步骤进行计算：
1. 确定结构的有限元模型，首先需要将结构进行离散化，将结构划分为有限个单元，并确定每个单元的材料性质、几何形状和边界条件。
2. 求解结构的特征值问题，利用有限元分析软件对离散化后的结构进行特征值分析，通过求解结构的惯性矩阵和刚度矩阵，得到结构的固有频率和振型。
3. 后处理和结果分析，获得固有频率和振型后，可以对结果进行后处理和分析，了解结构在不同模态下的振动情况，以及对结构设计和性能评估提供参考。
有限元计算固有频率的方法可以帮助工程师和设计师预测结构在自由振动状态下的响应，从而指导结构设计和改进，确保结构在实际工作中具有良好的动态性能。
同时，固有频率的计算也是动力学分析、地震响应分析等工程领域的重要基础工作，对于工程结构的安全性和稳定性具有重要意义。
总之，有限元计算固有频率是工程领域中一项重要的技术手段，通过该方法可以有效地预测结构的固有振动频率，为工程设计和分
析提供重要的参考依据。
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受
力图如图(b)。根据动量矩定理 Jo M0(F)
Joka2cl2
令其特征方程的系数行列式等于0得
2k2m k
=0
k k22m
即： (2 k 2 m )(k2 2 m )k2= 0
可得固有频率
1
2
=
0
.
2
1
9
2
k m
2 2
=
2
.2 8
0
8
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
U = 1 2 k (a)2 1 2 k (a0 s inn t)2 = 1 2 k a 20 2 s in 2n t
最大动能
Tmax
=
1 2
J 2 2 00 n
最大势能：
Umax
=
1 2
ka22 0
由 Tmax=Um
系统的固有频率
= ka2
n
J0
若取
u1
1
2
代入式4-2-7进行试算
k1 k 0.333k
01 3m
m
2m1 瑞利法的计算精度决定
于对振型的假设。计算
一阶固有频率精度较高
2k k1
但数值偏大
若取 n2u12{{uu11}}TT1M 1K{{uu11}} =n2{{211{ 2{ 2u }u }22}} m 0T TkM K{2{0 uu m k22}} =1 22{{ 11 9 21 m 1 k}} 2m 00kk.222 20m kkm k 1111 35m k1.667m k
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2.8.6.1 液压传动的固有频率
2.8.6.1.1 概述
液压传动装置的固有频率，对于闭环系统的动态特性和系统计算的原点，是一个重要的参数。
从稳定性观点来看，一个闭环系统，若系统具有较高的固有频率，则会有一些问题。
可粗略地划分为如下的3个频率区：
⌝低频：3～10Hz，重型机械、机械手、手动设备、注射机。
中频：50～80Hz，位置控制的机床。
⌝
⌝高频：>100Hz，试验机、注射机、压机。
2.8.6.1.2 基本公式
计算弹簧质量系统固有频率的基本公式为：
式中：（1/s）
m=质量（kg）
C=弹簧刚度（）
弹簧刚度“液压刚度”C，主要由受压的油液体积决定，由下式确定，
式中：E=液压油的弹性模量
=1～1.4×109（）
=1～1.4×104（bar）
A2=油缸面积的平方（m4）
V=油液体积（m3）
如基本公式已经表明的那样，一个液压传动系统的固有频率，取决于执行器液压马达或液压缸的尺寸，和驱动的质量。
系统中的其他元件，例如调节阀，也有自已的固有频率。
因为整个闭环系统的角频率，是由系统中动态特性最低的元件决定的，因而也要注意闭环调节阀的极限频率。
此值在50到150Hz的范围。
2.8.6.1.3 双出杆液压缸
让活塞处于缸的中间位置，得到：
式中：AR=油缸环形面积（┫）
h=油缸行程（m）
注：对于死容积，应预先给行程h增加20～50%的附加值。
人们都明确地了解到，活塞面积与行程之比，对固有频率有着重要的影响。
A：h的系数也可表示为λ=“长径比”。
从提高固有频率观点考虑，较大的面积和较短的行程是比较有利的。
面积的确定，还要由其他的一些因素，如规格大小、压力、体积流量等一同来考虑。
在作这些考察时，管道的容积未加考虑。
很显然，总要尽可能地减小死容积，这就是说，阀与缸之间的管道短些、刚性大些，有利于提高固有频率。
上面计算固有频率，是按活塞处于中间位置的情况得到的一个最小固有频率值，这是实践中处于最不利情况下必须达到的数值。
例1已知：D=50mm，d=32mm，m=50kg≌[ ]，h=500mm=0.5m，E=1.4•109
解：
2.8.6.1.4 单出杆缸
这里固有频率的计算，也要注意到活塞面积与环形面积之比，以及活塞位置。
最小的，即临界的固有频率的计算，像在双出杆液压缸一样，其结果要用系数来修正。
此系数为：
式中
从提高固有频率观点出发，较大环形面积，即较小的活塞杆直径，是有利的。
完整的最小固有频率计算公式为：
注：对于死容积，应预先给行程h增加20～50%的附加值。
2.8.6.1.5 液压马达
式中：V=液压马达排量（m3/U）；1U=360°=2π弧度
V0=单侧死容积（m3）
I=惯性矩（kg•┫）
对于液压缸而言，当死容积与液压缸的工作容积相比很小时，可以忽略不计；而对液压马达，则要很好地加以考虑。
从固有频率角度看，相对液压缸而言，液压马达是个较好的控制元件，其缺点是泄漏损失比较大。
特别是在低转速时，按不同结构，泄漏损失将产生回转不均匀和制动压力等影响。