辽宁省葫芦岛市2021届高三下学期第一次模拟考试数学试题

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2021年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试

数学

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡

上．

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

纸上。写在本试卷上无效。

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.)

1. 已知集合U={x|?1≤x≤3}，A={x|x2?2x?3<0}，则=

A. {?1}

B.{3}

C.{ ?1,3}

D. ?

2.

42i

1i

-

=

+

A. ?1?3i

B. ?1+3i

C. ?1+3i

D. 1?3i

3. 以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝10 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝100

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋3)2＋(y－1)2＝100

4. 在(2-x)6展开式中，x2的系数为

A. 240

B. -240

C. -160

D. 160

5. 已知sinα+cosα=

1

5,且α∈(0,π),sinα-cosα=

A. ±

7

5 B. -

7

5 C.

7

5 D.

49

25

6. 已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)上一点M（x0,22）到焦点F的距离|MF|

3

2

=x0,则p＝

A．1 B．2 C．4 D．5

7. 某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用

来放置新

鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区

输送氮气从而实现保鲜功能）.如图所示，该装置外层上部分是

半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，

内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆

锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多

物品，充氮区空间最小可以为

A．4πB．

16π

3C．

28π

3D．

4π

3

8. 已知函数()

2

a

f x x

x

=+.若曲线()

y f x

=存在两条过(2,0)点的切线，则a的取值范围是

A．(,1)(8,)

-∞+∞B．(,1)(8,)

-∞-+∞

C．(,0)(8,)

-∞+∞D．(,8)(0,)

-∞-+∞

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)

9. 如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）. 根据对比图，

其中正确的为

数学近三年难易程度对比

学校

姓名

考号

高三数学试卷第2页（共6页）高三数学试卷第1页（共6页）

A. 近三年容易题分值逐年增加

B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年

C. 2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上

D. 近三年难题分值逐年减少

10. 设正实数a,b满足a+b=1,则

A. 11

a b

+有最小值4 B.

ab

a b

+

有最大值

1

2

C. a b2

D. 22

a b

+有最小值1 2

高三数学试卷 第4页 （共6页）

高三数学试卷 第3页 （共6页）

11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼

形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点.若函数y =f (x )的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f (x )为这个圆的“和谐函数”.给出下列命题中正确的有 A. 对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个 B. 函数f (x )=ln(x +x 2+1 )可以是某个圆的“和谐函数” C. 正弦函数y=sin x 可以同时是无数个圆的“和谐函数” D. 函数f (x )=2x +1不是“和谐函数”

12．已知22sin(),(1)()24log (1),(1)x x f x x x ππ?+≤?

=??->?

，则下列有关函数22()[()]()g x f f x f x ππ=-

-

在[3,5]-上零点的说法正确的是

A ．函数g (x )有5个零点

B ．函数g (x )有6个零点

C ．函数g (x )所有零点之和大于2

D ．函数g (x )正数零点之和小于4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．写出两个与11

3

π-

终边相同的角 . 14. 2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级

医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系,让乡村医生“下得去、留得住”.为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为 .

15. 在边长为2的正三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE →=2EB →

,CE 交AD 于F ． ①若BF →=x BC →+y BA →，则 x +y = ; ②BF →?DE →

＝ . (第一空3分，第二空2分)

16. 已知数列{}n a 满足：a 1=1,a n +1=2a n +1,若b n +1=(n -2t )(a n +1),b 1= -t ,且数列{b n }是单调递增数列，则实数t 的取值范围是_____________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）

在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , cos 2B +cos 2C －cos 2A ＝1－sin B sin C （1）求A ；

（2）若a =3,求△ABC 的面积的最大值.

18. （本小题满分12分）

已知首项为2的数列{}n a 中， 前n 项和S n 满足S n =tn 2+n （t ∈R ）. （1）求实数t 的值及数列{}n a 的通项公式n a ； （2）将①1

1n n n b a a +=

，②2n a

n n a b =+，③2n a n n b a =?三个条件任选一个补充在题中，求数列{}n b 的前n 项和.n T

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. （本小题满分12分）

目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作. 吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12, m , 1

4

.若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为1

12

.

(1) 求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值;

(2) 三个团队有X 个在两年内出成果，求X 分布列和数学期望.

20. （本小题满分12分）

正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多

边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相

邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、

正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR和一个正八面

体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个

新多面体.

（1）求新多面体的体积；

（2）求二面角A―BF―C的余弦值；

（3）求新多面体为几面体？并证明.

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)=

sin x

e x .

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若对于?x∈[0,

π

2]，f(x)≤kx恒成立.求实数k的取值范围.

22. （本小题满分12分）

已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的焦距为23b，经过点P(-2,1).

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OM

→

=NO

→

，直线PM，PN分

别交椭圆于A，B．PQ⊥AB，Q为垂足.是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．