高三一模考试试题及答案(数学文)
第1页 共11页 延庆区—高三模拟试卷 数学（文科）
.3
本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合{|02},{|10}AxxBxx，则AB
（A）{|02}xx （B）{|12}xx
（C）{|0}xx （D）{|1}xx
2. 在复平面内，复数21i的对应点位于的象限是 （A） 第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D）第四象限
3. 下列函数在其定义域内是增函数的是 （A）cosyx （B）lg(1)yx （C）xye （D）1yx
4. 已知函数()2sin()3fxx,则“23”是“()fx为奇函数”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5. 若，满足030xyxyx则22xy的最小值为 （A） （B） （C）4.5 （D） 6. 该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，4，则输出的为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）14 第2页 共11页
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 （A）32
（B）34 （C）41 （D）52
8. 某上市股票在30天内每股的交易价格（元）与时间（天）所组成的有序数对，点落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示,且与满足一次函数关系， 那么在这30天中第几天日交易额最大 （A）10 （B）15 （C）20 （D）25
第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 双曲线2214xy的渐近线方程为 ． 10. 已知00x,y,且244xy，则xy的最大值为 ． 11. 已知(1,2)(3,，ab)x，()aba则x= ． 12. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和3名女教师中，选取2人参加无偿献血，则恰好选中一名男教师和一名女教师的概率为 ． 13. 已知fx，gx在定义域内均为增函数，但fxgx不一定是增函数，例如当()fx
= 且()gx= 时，fxgx不是增函数.
第天 4 10 16 22 （万股） 36 30 24 18
正（主）视图 侧（左）视图
俯 视 图 （7题图） 4
5 3 第3页 共11页 14. 有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）. 现已知每人只从事一个职业，且： (1)A和来自美国的人他们俩是医生； (2)B和来自德国的人他们俩是教师； (3)C会游泳而来自德国的人不会游泳； (4)A和来自法国的人他们俩一起去打球. 根据以上条件可推测出A是来自 国的人，D是来自 国的人.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知等差数列na和等比数列nb，其中数列nb的前n项和为nS，11a，11b，
222ab，335ab.
（Ⅰ）求nb的通项公式和前n项和nS； （Ⅱ）设2lognnncab，求数列nc的前n项和nT. 16.（本小题满分13分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2. （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）求边c及△ABC的面积.
17.（本小题满分13分） 为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图. 第4页 共11页
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）试估计该小区今年7月份用电费用不超过260元的户数； （Ⅲ）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
18.（本小题满分14分） 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AB平面BEC，BEEC，
2BEEC，点,GH分别是线段,BEEC的中点，点,FN分别是线段,CDBC的中
点. （Ⅰ）求证：//GH平面ADE； （Ⅱ）求证：AC平面ENF； （Ⅲ）在线段CD上是否存在一点P，使得423DAEPV，若存在，求DP的长，若不存在，请说明理由. 第5页 共11页
19.（本小题满分13分）
已知椭圆E：222210xyabab过点0,2，且离心率. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设直线:1,()lxmymR交椭圆E于,AB两
点，判断点G9,04与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.
20.（本小题满分14分） 已知函数（为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当0,2x时,不等式恒成立,求实数的取值范围； （Ⅲ）设gxfxax，当函数()gx有且只有一个零点时,求a的取值范围.
延庆区2017-2018学年度一模考试数学文评分标准 一、选择题：CDBA CBDB 二、填空题：9. 12yx 10. 12 11. -4 12. 35 13. 答案不唯一 14.英, 德（第一空3分，
第二空2分）13题参考答案：3,;,;,ln;,lg;,xxxxxxxxxxe 三、解答题： 15．（Ⅰ）设公差为，公比为， ………1分
则， 第6页 共11页
(0.0010.0030.004)1001a=0.002a解得
解得或（舍去）. ………4分 所以 ，.122112nnnS
………7分
（Ⅱ） ， ………8分
………10分 显然，数列是首项为-1，公差为2的等差数列 ………11分
所以，. ………13分
16．（Ⅰ）由sin3cos0AA得π2sin03A，
………2分
即ππ3AkkZ， ………3分
又0,πA，∴ππ3A，得2π3A. ………5分
（Ⅱ）由余弦定理2222cosabcbcA， ………6分
又∵127,2,cos2abA ………8分
代入并整理得2125c，故4c； ………11分
113sin2423222SbcA ………13分
17.（Ⅰ） ………3分 （Ⅱ）当用电量为400度时，用电费用为元 所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为户 所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户 ………7分
所以该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户………8分 （Ⅲ）该市居民平均用电费用为 元 ………13分 18.（Ⅰ）如图，点,GH分别是线段,BEEC的中点 第7页 共11页
所以点GH 是BEC的中位线，所以//GHBC， ………1分 由ABCD是正方形得，ABCD， //ADBC，所以 //GHAD，……2分 又AD平面ADE，GH平面ADE 所以//GH平面ADE ………4分
（Ⅱ）如图，点,FN分别是线段,CDBC的中点 所以FN是BCD的中位线，所以//FNBD， 由ABCD是正方形得，ACBD，所以 ACFN， ………6分 又因为 BEEC，点N是BC的中点 所以ENBC. ………7分 又因为 AB平面BEC，EN平面BEC.ENAB ABBCB，EN平面ABCD ………8分
AC平面ABCD,ENAC ………9分
FNENN,AC平面ENF； ………10分 （Ⅲ）假设在线段CD上存在一点P，使得423DAEPV
设DPa
,
DAEPEADP
VV
………11分
142233EADPADPVS,4ADPS ………12分
14AD=222，ADPSADDP
所以DP的长为22 ………14分
19．（Ⅰ）由已知 解得 所以椭圆E的方程为 . ………4分 （Ⅱ）设点AB中点为.
222222bcaabc
222abc
广州市2020届高三年级数学(文科)一模试题(含答案)
二、填空题
13. 2
14. 1
2
15.
9
16.
1 8
，
1 2
1
1 2n
三、解答题 17. (12 分)
（1）解：由于 62.0,63.0内的频率为 0.075 0.225 0.5 0.15，…………………1 分
63.0,63.5 内的频率为 0.75 0.5 0.375， …………………………………2 分
的取值范围是
A. ,1
B. 0,1
C.
0,
1 ln 2
D.
1 ln 2
,
文科数学试题 第 2 页（共 5 页）
11.
已知
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2
1 a
0 的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线
与 C 相交于 A ， B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为
2
A.
3
3
B.
3
22
C.
3
23
D.
3
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ，CC1 ，C1D1 的
中点，给出下列四个命题:
① EF B1C ;
② 直线 FG 与直线 A1D 所成角为 60 ;
③ 过 E ， F ， G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
P
（2）解法 1：因为 AC 3PB 2 ，
则 AC 2 ， PB 2
3
.
3
A
O
C
2025届上海崇明区高三一模数学试卷及答案
2024学年第一学期崇明区高三第一次模拟考试高三数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.已知集合{}{1,2,3,4,5,A B x x ==>∣，则A B ⋂=．2.不等式1021x x -<+的解为．3.若复数z 满足21i z z +=+，其中i 是虚数单位，则z =．4.7(1)x -的二项展开式中3x 的系数为．5.双曲线2214y x -=的渐近线方程是．6.已知,x y 为正实数，且满足440x y +=，则x y ⋅的最大值是．7.已知(1,2),(2,)a b k == ，如果//a b，则实数k 的值为．8.已知21,1()1,1x x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩关于x 的方程()2f x =的解x =．9.在空间直角坐标系中，点()1,2,3关于xOy 平面的对称点的坐标是．10.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10,,10,8x ，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x =．11.已知()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，若函数()y f x =在区间[]0,2π上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是．12．已知函数()y f x =的定义域{}1,2,3,4D =，值域{}5,6,7A =，则函数()y f x =为增函数的概率是．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（）.A 3y x =.B e x y =.C lg y x=.D sin y x=14.已知直线l 和平面α，则“l 垂直于平面α内的两条直线”是“l α⊥”的（）.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件.C 充要条件.D .既非充分又非必要条件15.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验结果，设事件:8E x y +=；事件F ：至少有一颗点数为6；事件G ：4x >；事件H ：4y <．则下列说法正确的是（）.A 事件E 与事件F 为互斥事件.B 事件F 与事件G 为互斥事件.C 事件E 与事件G 相互独立.D 事件G 与事件H 相互独立16.已知无穷数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足对任意正整数n ，都有()()110n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是{}n a 的交错数列．有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{}n a ，不存在等差数列{}n b ，使得{}n b 是{}na 的交错数列；②对任意给定的等比数列{}n a ，都存在等比数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列．下列结论正确的是（）.A ①是真命题，②是假命题.B ①是假命题，②是真命题.C ①、②都是真命题.D ①、②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点，112,AA AB BC C F AB ===⊥．（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求点C 到平面ABE 的距离．ABCFE A 1B 1C 118.（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）在ABC △中，已知点D 是BC 边上一点，且1,3BD CD ==．（1）若AD BC ⊥，且2ABD ACD ∠=∠，求AD 的长；（2）若55,32ABD ACD ︒︒∠=∠=，求AD 的长（结果精确到0.01）．19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将[)5060,记作第一组，[)6070,、[)7080,、[)8090,、[]90,100分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）王老师将测试成绩在[)8090,和[]90,100内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[]90,100内的概率；（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．Ob0.0450.020a5060708090100频率/组距成绩(分)20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）已知椭圆22:143y x Γ+=，点1F 、2F 分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．（1）若直线l 平行于x 轴，求线段AB 的长；（2）若点A 在y 轴左侧，且1294F A F A ⋅= ，求直线l 的方程；（3）已知椭圆上的点C 满足CA CB =，是否存在直线l 使得ABC △的重心在x 轴上？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分）定义：若曲线1C 和曲线2C 有公共点P ，且曲线1C 在点P 处的切线与曲线2C 在点P 处的切线重合，则称1C 与2C 在点P 处“一线切”．（1）已知圆222()(0)x a y r r -+=>与曲线2y x =在点()1,1处“一线切”，求实数a 的值；（2）设2()2,()ln(1)f x x x a g x x =++=+，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处“一线切”，求实数a 的值；（3）定义在R 上的函数()y f x =的图像为连续曲线，函数()y f x =的导函数为()y f x '=，对任意的x ∈R ，都有()|()|,|()|f x f x f x '⎧≥⎪⎨<⎪⎩成立．是否存在点P 使得曲线()sin y f x x =和曲线1y =在点P 处“一线切”？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准（高中数学）一、填空题1.{3,4,5}；2.1(,1)2-； 3.1i 3+； 4.35； 5.2y x =±； 6.100；7.4；8.2log 3；9.(1,2,3)-；10.8或12；11.175,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭；12.112.二、选择题13.A；14.B；15.D；16. C.三、解答题17.（1）解取AB 中点G ，连接FG ，则12FG AC =∥，................................2分又112C E AC =∥，所以1FG C E ∥，...........................................................4分所以四边形1FGEC 是平行四边形，所以1C F EG ∥，................................................5分又EG 在平面ABE 内，1C F 不在平面ABE 内，所以1C F ∥平面ABE ；.................7分（2）取AC 中点H ，连接EH 、BH ，则EH ⊥平面ABC ，所以EH BH ⊥，由题意EB =，同理EA =2AB =，所以ABC S =△分因为1C C ⊥平面ABC ，1C F AB ⊥，由三垂线定理得CB AB ⊥，所以2ABC S =△，.....4分设点C 到平面ABE 的距离为h ，由C ABE E ABC V V --=得1133ABE ABC S h S EH ⋅=⋅△△所以h =C 到平面ABE分18.解（1）因为AD BC ⊥，所以tan 1AD ABD ∠=，tan 3ADACD ∠=，又2ABD ACD ∠=∠，所以22tan tan 1tan ACDABD ACD∠∠=-∠............................4分即2231()3AD AD AD ⨯=-，解得AD =分（2）在ABC △中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，所以sin 3.281sin BC ABCAC BAC⋅∠=≈∠，........................4分在ACD △中，由余弦定理得1.75AD =........................8分19.解（1）由题意得10100.3,10(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨++=⎩解得0.005,0.025.a b =⎧⎨=⎩所以平均数等于550.05650.25750.45850.2950.0574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=............4分（2）由题意，[80,90)内有8人，[90,100]内有2人所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90,100]内的概率为2821017145C C -=............4分（3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为221212,,x x s s ，由题意，第二组、第四组分别有10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数651083108873x ⨯++⨯==成绩在第二组、第四组的方差108108222221122111111[()()][()([()()]1818i j i j i j i j s x x y x x x x x y x x x ====⎧⎫⎧⎪⎪=-+-=-+-+-+-⎨⎨⎬⎪⎪⎩⎩⎭∑∑∑∑()()222211225499s x x s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()2254400406573708373993⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故估计成绩在第二组、第四组的方差是4003................................6分20.解（1）由题意，1(0,1)F -、2(1,0)F ，所以直线l 的方程是1y =，代入22143y x +=中，得32x =±，所以||3AB =..............................................4分（2）设000(,)(0)A x y x <，则100200(,1),(,1)F A x y F A x y =+=-所以2120009(1)(1)4F A F A x y y ⋅=++-= ，又2200143y x +=，所以03,21.x y ⎧=-⎪⎨⎪=±⎩所以A 点坐标是3(,1)2-或3(,1)2--......................4分所以直线l 的方程是1y =或413y x =+..............................................6分（3）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，代入22143y x +=中，得2(34)690k kx ++-=设11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 则122634k x x k -+=+，所以AB 中点2234(,)3434k M k k -++又ABC △的重心在x 轴上，所以1230y y y ++=即123()20k x x y +++=，故32834y k =-+.................4分因为CA CB =，所以MC AB⊥所以3312122234(,)(,)3434k MC AB x y x x y y k k ⋅=+-⋅--++33122234(,)()(1,)03434k x y x x k k k =+-⋅-=++因为120x x -≠，所以32934k x k=+，所以2298(,)3434k C k k -++因为点C 在椭圆上，所以2222()(18934334)4k k k -+++=，解得0k =或33k =±.........6分当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时A 、B 恰为长轴顶点，点C 为短轴顶点，满足题意.综上所述，存在直线l 使得ABC △的重心在x 轴上，其方程为：1y =+或1y =或0x =..............................................8分21.解（1）'2y x =，所以曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，因为圆222()(0)x a y r r -+=>与曲线2y x =在点(1,1)处“一线切”，所以直线210x y --=与圆222()(0)x a y r r -+=>在点(1,1)处相切所以22(1)1,.a r r ⎧-+=⎪=所以3a =....................................4分（2）设00(,)P x y ，'()22f x x =+，1'()1g x x =+由题意，0000()()'()'()f x g x f x g x =⎧⎨=⎩，所以000200222111x x x x a x ⎧=+⎪++⎪⎨=+⎩+解得11ln 222a =-....................................6分（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ''=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x '+=，即0000()sin ()cos f x x f x x '=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x '==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x '+=，因此2200201[()]1[()][()]f x f x f x '⋅+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x '+=，而恒有()()f x f x '≥成立，则有2200[()][()]f x f x '≥，从而4200[()]2[()]f x f x ≥，显然0()0f x ≠，于是20[()]2fx ≥，即0|()|f x ≥()f x <恒成立矛盾，所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.....................................8分。
2025届内蒙古鄂尔多斯市康巴什区鄂尔多斯一中高三下学期一模考试数学试题含解析
2025届内蒙古鄂尔多斯市康巴什区鄂尔多斯一中高三下学期一模考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16B ．25C ．28D ．334．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是 （ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x6．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．117．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．283588．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)10．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-11．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+12．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年山西太原高考一模考试 数学试卷(含答案解析)
2
2
2
由正弦定理得 b c a
2
2
2
选择条件②： cos A cos B sin C sin B sin C ，
2
2
2
由题意可得 1 sin A 1 sin B sin C sin B sin C ，
2
2
2
2
2
2
即 sin B sin C sin A sin B sin C ，由正弦定理得 b c a bc ， ………3 分
令 x1 1 ，则 z1 1 ， n (1,0,1) ，
x1 2 y1 z1 0，
cos m, n
mn
| m || n |
2
3
，
3
3 2
平面 PAB 与平面 PAD 夹角的余弦值为
20.解：
（1）
20
bˆ
x y
i 1
20
i
n2 n
n 1
1 1 1
1
1
.
Tn b1 b2 bn [(1 ) ( ) (
)]
4 8
3 3 5
2n 1 2n 1 4n 2
2
2
18.解：
（1）选择条件①： sin B sin C sin A(22 Nhomakorabea2
由题意可得 sin B sin C sin A
勘
误
高三数学一模：
第 11 题 C 选项
原为：
C. 若�� ⊥ ��，则线段��的最大值为 2 2
现更正为：
C. 若�� ⊥ ��恒成立，则线段��的最大值为 2 2
陕西省渭南市2023届高三下学期文科数学一模试题含解析
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。
2024北京东城高三一模数学试题及答案
2024北京东城高三一模数 学2024.4本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．AB B ．A BC ．()UA B D ．()UA B2．已知,,0a b ab ∈≠R ，且a b <，则（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．33a b < D ．lg lg a b < 3．已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B ．13 C ．3− D ．13− 4．设函数()11ln f x x=+，则（ ） A ．()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．()12f x f x ⎛⎫−=⎪⎝⎭C ．()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，最大值为，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于直线4x π=−对称B ．关于点,04π⎛⎫−⎪⎝⎭对称C ．关于直线8x π=对称D ．关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481a a a a a ++++=，则m 的取值可以为（ ） A ．2B ．1C ．1−D ．2−7．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm ．首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦．每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近．（参考数据： 3.14π≈）（ ）A ．30.8mB ．31.4mC ．31.8mD ．32.2m8．设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的中点，O 为ABD △的中心．现将ABD △沿BD 翻折为1A BD △，记1A BD △的中心为1O ，如图2．设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C D 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a−=∈−R ，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈−∞时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
浙江省金华市2024-2025学年高三上学期一模考试数学试题(解析)
金华十校2024年11月高三模拟考试数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦干净.3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =I （ ）A. {}1,0,1-B. {}1,0,1,2-C. {}1,0- D. {}0,1【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可.【详解】因为集合{}22M x x =-<<，{}1,0,1,2,3N =-，所以M N =I {}1,0,1-.故选：A.2. 在复平面中，若复数z 满足1i 1z =-，则z =（ ）A. 2B. 1C.D.【答案】D 【解析】【分析】由复数的计算化简得到复数z ，再求模长.【详解】∵1i 1z =-，∴11i i z -==-，∴1i z =-=故选：D.3. 若,a b ÎR ，则a b =是22a b =的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件概念，结合指数函数性质判断即可.【详解】考虑条件a b =.这意味着a 和b 要么相等，要么互为相反数.考虑等式22a b =.由于2xy =是单调递增的，所以22a b =当且仅当a = b .如果a = b ，那么a b =必然成立.但是，如果a b =，a 和b 可以互为相反数，此时22a b =不一定成立.因此，我们得出结论：a b =是22a b =的必要不充分条件.故选：B.4. 已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点()3,M m 在抛物线C 上，且4MF =，则抛物线C 的方程为（ ）A. 2y x =B. 22y x= C. 24y x= D. 26y x=【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得p ，即可求得抛物线方程.【详解】根据题意，连接MF ，过M 作MH 垂直于抛物线的准线2px =-，垂足为H ，作图如下：由抛物线定义可知3422M p pMF MH x ==+=+=，解得2p =，故抛物线方程为：24y x =.故选：C..5.已知πtan 6a æö+=ç÷èø，则sin cos a a ×=（ ）A.14B.C. 12-D.【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得tan α的值，再将弦化切，即可求解.【详解】由πtan 6a æö+=ç÷èø得πtan αtan6π1tan αtan 6+-=tan α=所以222sin cos tan αsin cos sin αcos αtan α1a a a a ××==++=故选：B.6. 已知函数()32f x x ax bx c =+++的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（ ）A. 2a =，1b =B. 1a =-，2b =C. 2a =-，1b =D. 2a =，1b =-【答案】C 【解析】【分析】由图象可知：()f x 在()0,¥+内有两个极值点，即()0f x ¢=有两个不同的正根，结合二次函数的零点分布列式求解即可.【详解】因为()32f x x ax bx c =+++，则()232f x x ax b ¢=++，由图象可知：()f x 在()0,¥+内有两个极值点，即()0f x ¢=有两个不同的正根，则()2Δ41200300a b a f b ì=->ïï->íï=>î¢ï，可得0a b ì<ïí>ïî对比选项可知：ABD 错误，C 正确.故选：C.7. 某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A 、B 可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，则（ ）A. 选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数B. 选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的男生人数C. 选辩题A 的女生人数多于选辩题A 的男生人数D. 选辩题A 的男生人数多于选辩题B 的女生人数【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可.【详解】设选辩题A 的男生有x 人，选辩题A 的女生有y 人，选辩题B 的男生有m 人，选辩题B 的女生有n 人.已知该班女生人数多于男生人数，即y n x m +>+；又知选辩题A 的人数多于选辩题B 的人数，即x y m n +>+.将这两个不等式相加得到：22y x n m x n ++>++，两边同时消去x n +得到22y m >，即y m >.这就意味着选辩题A 的女生人数多于选辩题B 的男生人数.故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，P 为正方体内部一动点，球O 为正方体内切球，过点P 作直线与球O 交于M ，N 两点，若O M N V 的面积最大值为4，则满足条件的P 点形成的几何体体积为（ ）A.32π3B.C. 16π3-D. 32π3-【答案】D 【解析】【分析】根据几何性质可得OM ON ^，则OP R ³，从而可得满足条件的P 点形成的几何体，根据几何体的体积计算即可得结论.【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则正方体内切球球O 的半径12R =´=，所以11sin sin 4sin 22OMN S OM ON MON MON MON =××Ð=´Ð=ÐV ，因为[]0,MON p ÐÎ，则()max sin 1MON Ð=，若O M N V 的面积最大值为4，即OM ON ^，由于P 在MN 上，则2OP R ³==，则满足条件的P 点形成的几何体为正方体去掉以O 为球心，2为半径的球体，故其体积为(33423p -´=32π3-.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量()3,4a =r ，()4,b m =r，则（ ）A. 5a =r B. min1a b -=r rC. 若a b ∥r r，则3m = D. 若a b ^r r，则3m =【答案】AB 【解析】【分析】运用平面向量的模长计算公式计算，根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解．【详解】解：向量()3,4a =r，A ．||5a ==r，故正确，符合题意；B ．()3,4a =Q r ，()4,b m =r ，则()1,4a b m -=--rr ，所以a b -==r r ，当4m =时，min1a b-=rr ，正确，符合题意；C ．若a b ∥r r，则3160m -=，解得163m =，故错误，不符合题意；D ．若a b ^r r，则1240m +=，解得3m =-，故错误，不符合题意；故选：AB ．10. 设函数()sin5sin cos xf x x x=×，则（ ）A. ()f x 的图象有对称轴B. ()f x 是周期函数C. ()f x 在区间π0,2æöç÷èø上单调递增 D. ()f x 的图象关于点π,02æöç÷èø中心对称【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项由偶函数得到y 轴是其中一条对称轴；B 选项用周期的定义找到其中一个周期为2π；C 选项通过两个特殊点函数值的大小判定函数在区间π0,2æöç÷èø不是单调递增；D 选项由中心对称的定义验证是否成立即可.【详解】∵()()()()()sin5sin5sin5sin cos sin cos sin cos x x xf x f x x x x x x x---====-×--××，∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，故A 正确；∵()()()()()sin 52πsin 52πsin 2πcos 2πsin cos x xf x f x x x x x++===++，∴2πT =是函数()f x 的一个周期，故B 正确；()2sin5sin2x f x x =，∵π2sinπ220ππ10sin sin55f æö==>ç÷èø，π2sin π2π5sin 5f æö==ç÷èø，显然ππ105f f æöæö>ç÷ç÷èøèø，故()f x 在区间π0,2æöç÷èø上不单调递增，故C 错误；()ππsin5sin5ππcos5cos5220ππππ22cos sin cos sin sincos sin cos 2222x x x x f x f x x x x x x x x x æöæö-+ç÷ç÷æöæöèøèø-++=+=+=ç÷ç÷××-æöæöæöæöèøèø-×-+×+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，∴()f x 的图象关于点π,02æöç÷èø中心对称.故选：ABD.11. 从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n 次时恰好为第一次回到A 点的概率为()n P n +ÎN ，恰好为第二次回到A 点的概率为()n Q n +ÎN ，则（ ）A. 329P =B. 4127Q =C. 2n ³时，1n nP P +为定值 D. 数列{}n Q 的最大项为427【答案】A 【解析】【分析】根据题意计算3P 判断A 选项，发现规律求出n P 和1n P -的关系判断C 选项，根据规律求出4Q 判断B 选项，寻找规律求出1n nQ Q +，求出数列{}n Q 的最大项判断D 选项.【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为13，10P =，213P =，第三次行走时，若第二次行走在A 点，那么第三次行走不可能到A 点，若第二次行走不在A 点，那么第三次行走到A 点概率为13，所以3212033913P ´+´==，故A 选项正确；第四次同理，均满足111110[1]33n n n n P P P P ----´+-´==，所以1n nP P +不为定值，故C 选项错误；因为第一次行走不可能回到A 点，所以第二次行走最多即第一次到A 点，所以120Q Q ==，若第二次行走到了A 点，则第三次行走不可能到A 点，假设第二次行走没到A 点，则第三次行走是第一次行走到A 点，。
2024年重庆市高三一模数学试题及答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷数学(一)数学测试卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在复平面内，位于第四象限的复数是 1A.1i i --+ 2B.1i i -+ 1C.1i - 1D.1i-+2. 设集合 2{},{|}|2<233A x a x a x x a B ==<+≤≤ 若A B ⊆，则a 取值范围是 3A.,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3B.,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3C.1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3D.1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 在等比数列{}n a 中,15·0a a >是30a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ,若()3P X p >=,则()11P X -<<=1A.2p - B. 1p - C. p D. 12p+5. 设()f x 是奇函数, 若 ()())lng x f x ax =⋅是偶函数，则a =A. 1-B. 0C. 1D. 1±6. 已知ϕ是函数()3f x x tanx =-的一个极值点, 则2cos ϕ=A.-1C.3- D.137.已知0,0,2,a b ab b >>+=当a b +取最小值时, ab a +=1- C. 1 1+8. 已知椭圆C: (222210)x y a b a b+=>的右焦点为()2,0,F 直线l 经过F 且与C 相交于点 ,,A B 并过椭圆内一点()0,1,N - 若,AF BN =则C 的方程为22A.162x y += 2233B.1164x y += 22C.15x y += 223D.3113x y +=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届天津和平区高三一模数学试题(含答案与解析)
2024届天津和平区高三一模考试试卷数 学温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 球的表面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径.如果事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ . 如果事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数()32x f x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（ ）A.1+B.1-C. 4+D. 4-4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 46. 设131122112,log 3log 9,32ab c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 8. 若三棱台111ABC A B C -上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（ ） AB. 8C. 6或8D. 或69. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习的的.强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______.13. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______.14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值； （2）求tan A 的值；（3）求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值； （3）若直线MF 与平面ABCDMC 的长度. 18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程； （2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；的的（3）若()()(),01,,1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}N 22,Z 2A x x B x x =∈-≤<=∈<，集合C A B = ，则集合C 的子集个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集运算求得集合C ，然后可解. 【详解】因为{}{}0,1,1,0,1A B ==-， 所以{}0,1C A B == ， 所以集合C 的子集个数为224=. 故选：D2. 函数()32x f x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性可排除C ；利用导数可求得()f x 单调性，由此可排除AD. 【详解】()f x 定义域为R ，()()()3322x x f x f x x x --==-=-++， ()f x \为定义在R 上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C 错误；当0x >时，()32x f x x =+，()()()()()232223223022x x x x x f x x x +-+'∴==>++， ()f x \在()0,∞+上单调递增，AD 错误，B 正确.故选：B.3. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若1321,,4a a a 成等差数列，则91089a a a a +=+（ ）A.1+B.1-C. 4+D. 4-【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，且0q >，由等差数列的中项性质列方程计算可得q ，再由等比数列的通项公式计算可得【详解】因为等比数列{}n a 中的各项都是正数，设公比为q ，得0q >，又1321,,4a a a 成等差数列， 可得31212312111222242a a a a a a q a a a q ⨯=+⇒+=⇒+=，又10a ≠，所以2220q q --=，解得1q =1q =， 又0q >，所以1q =+则()()991098988111a q a a a q a a a q a ++====+++，故选：A4. 已知,a b ∈R ，则“222a b +>”是“2a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【解析】【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案.【详解】例如：12a b ==，此时22225a b =+>，但122a b +=+<，所以充分性不成立；设直线:2l x y +=，圆22:2C x y +=，则圆心为(0,0)O ，半径为r =可得圆心(0,0)O 到l 的距离为d r ===，此时直线l 与圆C 相切，所以2x y +>与圆C 没有公共点，即满足不等式2a b +>的点(,)a b ，使得222a b +>恒成立，即必要性成立， 所以“222a b +>”是“2a b +>”的必要不充分条件. 故选：B.5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）①估计居民月均用水量低于31.5m 的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ；③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m 的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间(]1.5,2中应抽取4人. A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.【详解】由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于31.5m 的概率为()0.20.30.50.25P =+⨯=，故①正确；前三组的频率之和为(0.20.30.4)0.50.4550%++⨯=<，而前四组频率之和为(0.20.30.40.5)0.50.750%+++⨯=>，故中位数位于[)2,2.5，由0.50.4520.5 2.10.70.45-+⨯=-，可以估计居民月均用水量的中位数约为32.1m ，②正确；估计40万居民中月均用水量不低于33m 的人数为4000000.1560000⨯=，③正确；根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则在用水量31.52m 中应抽取()200.40.54⨯⨯=人，④正确.故选：D6. 设131122112,log 3log 9,32a b c -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用33b c >得出,b c 大小.【详解】由123a⎛⎫= ⎪⎝⎭可得1133log 2log 10a =<=，11122221log 3log 9log log 313b =-==>，11331202c -⎛⎫===> ⎪⎝⎭， 下面比较,b c ，因为2322328⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以3232>，所以32223log 3log 22b =>=，而333327228c ⎛⎫==<=⎪⎝⎭，故32c <，所以c b <， 综上，b c a >>. 故选：B7. 已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数π2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 B. 函数()f x 与()f x '的值域相同 C. 函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D. 函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】D 【解析】【分析】化简()f x 并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，22()sin cos cos 2,()2sin 2f x x x x f x x =-=-'=， 对A, ππcos 2cos 222f x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故A 错误； 对B ，易知()f x 的值域为[]1,1-，()f x '的值域为[]22-,，故B 错误； 对C , ππ(cos 042f =-=,故C 错误； 对D, ()πππ2π,,2,0,π6333x x ⎛⎫⎛⎫∈∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,cos 2y x =单调递减，故()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D正确. 故选：D.8. 若三棱台111ABC A B C -的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260π的球O的表面上，112AB A B ==，则三棱台111ABC A B C -的高为（ ）A. B. 8C. 6或8D. 或6【答案】C 【解析】【分析】由题可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，上下底面的中心1M ，M 连线构成的线段为高，根据球的性质可得17OM =，1OM =，进而可得1M M . 【详解】设球O 的半径为r ，则24π260πr =，得r =，如图所示，1M 为111A B C △的中心，M 为ABC 的中心，由题意可知，三棱台111ABC A B C -为正三棱台，1MM 为其高，球心O 在1MM 上， 在111A B C △中11114B M A B ==，在ABC中8BM AB ==，故17OM ==，1OM ==，当O 在线段1M M 上时，118M M OM OM =+=，当O 在线段1M M 的延长线上时，116M M OM OM =-=， 故选：C9. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，1112F AF B =，2ABF △的面积为220F A F B ⋅> ，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22142x y -=B. 22144x y -=C. 221424x y -=D.221169x y -= 【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的定义及对称性求出1AF ，2AF ，由余弦定理解三角形可得2c ，即可得解. 【详解】如图，由1112F AF B =及双曲线、直线的对称性可知，1212F A F A =， 则由双曲线定义可知，21124AF AF AF a -=== 所以28AF =，24BF =，所以22222211sin 84sin 16sin 22ABF S AF BF AF B AF B AF B =∠=⨯⨯∠=∠=解得2sin AF B ∠=因为220F A F B ⋅> ，所以2π3AF B ∠=，所以122π3F AF ∠=，由余弦定理可知2221212122π2cos1664321123F F AF AF AF AF =+-=++=， 所以228c =，22228424b c a =-=-=，所以双曲线方程为：221424x y -=故选：C第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10. i 为虚数单位，复数1i z =+则3i z +=_______.【解析】【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.【详解】3i 3i(1i)2i z +=++=+==，故答案11.在52x ⎛- ⎝的二项展开式中，3x 的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】80- 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为17102(5)33155C (2)(2)C r rrr rrr r T xxx---+=-=-，令71033r-=，解得3r =, 所以333458C 80T x x =-=-， 故答案为：80-12. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X 的数学期望为_______；党员甲能通过初试的概率为_______. 【答案】 ①.95②. 23【解析】【分析】求出随机变量X 的各个取值的概率，求期望，据此求(2)P X ≥即可. 【详解】由题意，X 的可能取值为0,1,2,3，为则()34310C 410C 12030P X ====，()1264310C C 3631C 12010P X ====， ()2164310C C 6012C 1202P X ====，()36310C 2013C 1206P X ====，所以3119()12310265E X =⨯+⨯+⨯=； 党员甲能通过初试的概率为112(2)(2)(3)263P X P X P X ≥==+==+=. 故答案为：95；2313. 圆226160x y y ++-=与抛物线()220x py p =>的准线相交于A ，B 两点.若6AB =，则抛物线的焦点坐标为_______. 【答案】()0,7 【解析】【分析】根据弦长为6AB =，利用垂径定理可得14p =，进而可得焦点坐标为()0,7.【详解】如图，抛物线()220x py p =>的准线方程为2p y =-， 圆226160x y y ++-=即()22325x y ++=，圆心坐标为()0,3-，半径为5，由垂径定理可得2223522AB p ⎛⎫⎡⎤⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，即23162p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得14p =或2p =-（舍去），故抛物线的方程为228x y =，焦点坐标为()0,7. 故答案为：()0,714. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M 在正六边形的边上运动，动点,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称.（i ）请用,MA MB 表示MO = _______；（ii ）请写出MA MB ⋅的取值范围_______.【答案】 ①. 1122MA MB +②. []8,12【解析】【分析】（i ）根据向量线性运算可直接得到结果；（ii ）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为24MO - ；根据正六边形性质可求得MO的范围，由此可得结果.【详解】（i ）,A B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，O ∴为AB 中点，1122MO MA MB ∴=+；（ii ）()()()2MA MB MO OA MO OB MO OA OB MO OA OB⋅=+⋅+=++⋅+⋅ 2224MO OA MO =-=- ；当M 为正六边形顶点时，MO 取得最大值；当OM 与正六边形的边垂直时，MO取得最小值；六边形为正六边形，ODE ∴ 为正三角形，max4MO OD ∴==；作OF DE ⊥，则F 为DE 中点，minMOOF ∴===[]248,12MO ∴-∈ ，即MA MB ⋅的取值范围为[]8,12.故答案为：1122MA MB +；[]8,12.15. 若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.【答案】114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分别分析()2434g x ax x a =-++和()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.【详解】当0a >，设()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2434g x ax x a =-++， 则()g x 为开口向上的二次函数，()()()Δ164344322a a a a =-+=--+， ①当23a =，()0g x =有唯一解3x =，此时()23πsin π34h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π3π31ππ,34412t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且均不为3，符合题意； ②当2,03a >∆<，()0g x =无解，故()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间[]0,5上恰有4个零点，则3π3π5π4π4a ≤-<，解得319420a ≤<，符合题意； ③当20,03a <<∆>，()g x 的对称轴20x a =>，且()()52816,274g a g a =-=-，（i ）当47a =，()()250g g ==，此时()0g x =有两个解：2和5，43π3π59ππ,74428t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解2，5不重合，不合题意， （ii ）当4273a <<，且()()250g g =>，此时()0g x =有两个解，且均属于()2,5，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦， 若()0h x =有2个解，故3ππ5π2π4a ≤-<，解得7112020a ≤<，则a ∈∅，舍去；（iii ）若()0h x =有3个解，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<， 若此时()0g x =有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：3πππ4a x k -=，则()43=Z 4k x k a +∈，()0h x =的3个解为3711,,444x a a a=， 且[]315(1,2,5411a ∈⊄，[]7735(,2,54211a ∈⊆，[]1111(,5]2,543a ∈⊆， 故重根可能为74a ，114a ，34a. 令()24340g x ax x a =-++=，023a <<，解得12x x ==当2x 重合，若2114x a =，则114a =（0a >），解得42,73a ⎛⎫=⎪⎝⎭，满足题意；若274x a =，则74a =，即14-=，无解；若234x a =，34a =，即54-=，无解；当1x 重合，若134x a =，则34a =47a =<（舍去）；若174x a =，则74a =47a =>，符合题意；若1141x a =，则114a =34-=，无解，舍去； （iv ）当407a <<，()()250g g =<，此时()0g x =有1个解， 设为m ，则()1,2m ∈，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<， 又407a <<，综合得114207a ≤<，同理（iii ）的分析，[]32115(,1,241611a ∈⊆，[]7735(,]2,54211a ∈⊆， 此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解不重合，符合题意， 综上所述：114207a ≤<或19232020a ≤<或23a = 故答案为：114[,)207⋃3192[,)4203⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c，其中2,a b c =+=，且sin A C =.（1）求c 的值； （2）求tan A 的值； （3）求cos 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）（2）（3【解析】【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解；（3）由二倍角的正余弦公式及两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】sin A C = ，a ∴=，2a b c a =+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，c ∴=.【小问2详解】由余弦定理可得222cos 2c b a A bc +-==，又0πA <<，sin A ∴==sin tan cos A A A ==【小问3详解】因为23cos 22cos 1sin 22sin cos 4,A A A A A =-=-==所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 444A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 17. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，3PD AD ==，点,E F 分别是棱PA ，PC 的中点，点M 是线段BC 上一点.（1）求证：PB ⊥平面EFD ；（2）求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值；（3）若直线MF 与平面ABCD MC 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2 （3）1 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；（3）利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，所以以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()()33333,0,0,3,3,0,0,3,0,0,0,0,0,0,3,,0,,0,,2222A B C D P E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3333,0,,0,,2222DE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面EFD 的法向量为()1,,n x y z =，则113302233022n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()11,1,1n =- ，又因为()3,3,3PB =- ，则13PB n =，即1//PB n ，由n ⊥平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD【小问2详解】设平面EFD 与平面ABCD 的夹角为θ，平面EFD 的法向量()11,1,1n =- ，平面ABCD 的法向量()20,0,1n =,所以，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ ，则平面EFD 与平面ABCD【小问3详解】.设MC 长度为(0)m m >，(0),3,M m ， 设直线MF 与平面ABCD 所成角为1θ，因为133sin ,,22MF m θ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，2122sin cos ,MF n MF n MF n θ⋅=====⋅，解得1m =，此时MC 的长度为1.18. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆C 的方程； （2）设不过原点O的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为T ，直线OT 与椭圆C 交于两点M ，N ，证明：TP TQ TM TN ⋅=⋅.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）设AB的方程为y x m =+，联立方程组，求得1212,x x x x +，得到()2mT ，再由OT 的方程为y x =，联立方程组，求得(M N ，进而求得27(6)12TM TN m ⋅=-，再由弦长公式，求得PQ ，结合21()2TP TQ PQ ⋅=，即可得证. 【小问1详解】解：由椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为12，且过点F 且与x 轴垂直的直线截得的线段长为3，可得22221223c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】证明：设直线AB所在的直线方程为(0)y x m m =+≠，联立方程组22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得223260x m ++-=，所以()()22Δ43260m =-⨯->，解得m <<，设112200(,),(,),(,)P x y Q x y T x y，则21212263m x x x x -+==，所以0x =，则(2m y m =+=，即()2mT ， 所以OT的方程为y x =，联立22143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(M N ，则27(6)12TM TN m ⋅==-，又由2PQ x =-===，又因为T 的中点，可得22221117()(6)24412TP TQ PQ PQ m ⋅====-，所以TP TQ TM TN ⋅=⋅.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略：1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19. 若数列{}n a满足)1n a n *+=∈N ，其中0,0n d a ≠>，则称数列{}n a 为M 数列.（1）已知数列{}n a 为M 数列，当11,1d a ==时. （ⅰ）求证：数列{}2n a 是等差数列，并写出数列{}()n a n *∈N的通项公式；（ⅱ）()()242*1(1)nkn kkk T a a n =⎡⎤=+-∈⎣⎦∑N ，求()*11nk kn T =∈∑N . （2）若{}n a 是M 数列()n *∈N ，且0d >，证明：存在正整数n .使得112024ni ia =>∑. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析，n a =（ⅱ）11222n -+ （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）(ⅰ)根据等差数列定义即可证明并写出通项公式（ⅱ）分组求和得出n T ，利用裂项相消法求解即可；（2）求出1na ，利用放缩法可得1na >，相加相消即可)1112ni ia a d =>∑，据此即可得证.【小问1详解】（ⅰ）由1n a +=()22*11N n n a a n +-=∈，所以数列{}2n a 是首项为21a 公差为1的等差数列，所以()2211n a a n d n =+-=，又因为0n a >，所以)*N n a n =∈.（ⅱ）4242,n na n a n ===，()222422111(1)(1)(1)nnnkkk n kkk k k T a a k k ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=-⋅+-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 设221(1)n kk A k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，21(1)nkk B k =⎡⎤=-⋅⎣⎦∑，()()()22222222142(1)12342374122nk k n n A k n n n n=+⋅⎡⎤=-⋅=-+-+-+=++-==+⎣⎦∑ ，21(1)12342nkk B k n n =⎡⎤=-⋅=-+-+-+=⎣⎦∑ ，所以()2211111222,2121n n T A B n n n n n T n n n n ⎛⎫=+=++=+==- ⎪++⎝⎭， 111111111111112223121222ni n T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ . 【小问2详解】 若{}n a 是M 数列()n *∈N ，有()2211naa n d =+-，故n a =0d >，即1na==>==，则112ni ia d =>++∑)12a d=，1a -随n 的增大而增大， 若)122024a d->，可得()2120241012n a d >+，因为n *∈N ，故对任意的0d >，总存在正整数n 使)122024a d->，即总存在正整数n ，使得112024ni ia =>∑.【点睛】关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键. 20. 已知函数()1()ln ,()1e (0)x f x x x g x x x -==->，（,e a ∈R 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间：（2）设()g x 在1x =处的切线方程为()y k x =，求证：当(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <；（3）若()()(),01,, 1.f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，存在123x x x <<，使得()()()123h x h x h x ==，且21x mx =，求证：当()1,2m ∈时，231(2ln 2e)1x x x +<+.【答案】（1）单调递增区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导数，解不等式即可得解；（2）求出切线方程，令()()()x k x g x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性，即可得证；（3）由(),()f x g x 的单调性，得出()h x 的单调性，转化为()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，可转化的为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，构造函数利用导数求最值即可得证.【小问1详解】因为()ln 1f x x '=+，定义域为()0,∞+， 令()0f x '>，即1ln 1,ex x >->， 所以()f x 递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【小问2详解】 因为()()11e1x g x x -'=-++，所以(1)1g '=-，而(1)0g =，所以()g x 在点(1,0)处切线方程为：()1y k x x ==-+， 当()1,x ∞∈+时，令()()()()1e 21,1,x x k x g x x x x ϕ∞-=-=-+∈+，由e (1)x y x =-+，e1xy '=-，当0x <时，0'<y ，当0x >时，0'>y ，所以e (1)x y x =-+在(,0)-∞递减，在(0,)+∞上单调递增，故0e (01)0y ≥-+=，即e 1(0)x x x >+≠， 所以12e 21210x x x x x --+>-+>，所以()0x ϕ>， 所以()()1e210x k x g x x x --=-+>在(1,)x ∈+∞时恒成立，即(1,)x ∈+∞时，()()g x k x <得证. 【小问3详解】 由题意可知()1ln ,01e ,1x x x x h x x x x -<<⎧=⎨-+≥⎩， 因为1x ≥时，()()1e 1xh x x =-++'，令()()()()()1e 1,2e 0xxw x h x x w x x ''==-++=-+<，所以()h x '在1x ≥时单调递减，所以()()10h x h ''≤<，所以()h x 在(1,)+∞上为减函数，且()10h =，此时()(],0h x ∞∈-， 则由（1）有()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且11e e h ⎛⎫=-⎪⎝⎭，此时()1,0e h x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 的由题意，设()()()1231,0eh x h x h x t ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，设()1y k x x ==-+与y t =交点的横坐标为3x '，则31x t '=-，有33x x '<，因为()()()112211111111ln ln ln ln ln ln mmx x x x t x x mx mx x mx x mx ==⇒=⇒=⇒=，且1ln ln 1m mx m=-，所以111ln ln 1m t x x x m m -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，又21x mx =，所以232321111ln 11m x x x x x t mx t m m x m '⎛⎫⎛⎫+<+=+-=-+=++⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 令()ln 1m d m m m m ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()()()()2221ln ln ,1,211m m m m m m d m m m m ----==∈--' ()()()()()2221ln ln ,1,211m m mm m mf m m m m ----==∈--'，令ln (1)(0)y x x x =-->，则111xy x x-'=-=， 所以01x <<时，0'>y ，1x >时，0'<y ，所以函数ln (1)(0)y x x x =-->在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以ln (1)ln1(11)0x x --≤--=，即ln 1(1)x x x <-≠，所以()222ln 1210m m m m m m m m -->---=-+>，()0d m '>，所以()d m 在(1,2)m ∈单调递增. 在(1,2)m ∈时，()()222ln 222ln 221d m d <=+=+-， 所以()()231122ln 212ln 2e 1x x x x +<++=+， 所以()2312ln 2e 1x x x +<+.【点睛】关键点点睛：本题第三步证明困难，关键在于由()()()123h x h x h x ==，转化为231ln 11m x x m m x m ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，再利用导数求出1ln 11m m m x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,2)m ∈上的最值.。
2023-2024学年四川省高考热身考试数学(文)模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年四川省高考热身考试数学（文）模拟试题（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20,1,A a =，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则=a （）A.1或2-B.2-C.1-或2D.2【正确答案】B【分析】分析可知A B ⊆，利用集合的包含关系可出关于a 的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数a 的值.【详解】因为{}20,1,A a=，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则B A ⊆，所以，21a -=或22a a =-，若21a -=，则1a =，此时，21a =，集合A 中的元素不满足互异性，故1a ≠；若22a a =-，可得220a a +-=，因为1a ≠，则2a =-，此时，24a =，合乎题意.因此，2a =-.故选：B.2.已知12i z a =+，22i z b =+，(),a b ∈R ，若()()1122i 413i z z z z ++=+，则（）A.2a =，3b =B.2a =-，3b =-C.2a =，3b =±D.2a =-，3b =±【正确答案】C【分析】由已知可得112z z a +=，2224z z b =+，代入根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，112i 2i 2z z a a a +=++-=，2222224z z b b =+=+，所以()()()21122i 24i 413i z z z z a b ++=++=+，所以有224413a b =⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=-⎩.故选：C.3.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A.支出最高值与支出最低值的比是6：1B.利润最高的月份是2月份C.第三季度平均收入为50万元D.1～2月份的支出的变化率与10～11月份的支出的变化率相同【正确答案】B【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是6:1，A选项正确；2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C 选项正确；1～2月份的支出变化率为60303021-=-，10～11月份的支出变化率为5020301110-=-，故变化率相同，故选项D正确.故选：B4.已知πsin sin22θθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则tanθ=（）A.2- B.1- C.1 D.2【正确答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sinθ、cosθ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tanθ的值.【详解】因为πsin sin sin cos22θθθθ⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2sin 22cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.5.函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的部分图像大致为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】先判断函数()f x 的奇偶性排除选项C 、D ；再由ππln 022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，即可求解.【详解】函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，且()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，其函数图像关于()0,0对称，所以选项C 、D 错误；又ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=>⎪⎝⎭，所以选项B 错误；故选：A.6.过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A.()()22122x y ++-= B.()()22225x y -+-=C.()()22122x y -+-= D.()()22225x y ++-=【正确答案】C【分析】分析可知，圆心在直线2y =上，设圆心为(),2C t ，根据圆与直线1y x =-相切以及圆过点A 可得出关于t 的等式，解出t 的值，即可得出所求圆的方程.【详解】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.7.已知a ，b 是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，现有以下四个命题：①//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//b a a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；④//b a b a αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭．其中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】若a b αα⊥⊥，，则//a b ，故①正确；若a a αβ⊥⊥，，则//αβ，故②正确；若b a b α⊥⊥，，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，则在平面α内存在直线c ，使得//a c .又,b c αα⊥∈，所以b c ⊥，所以a b ⊥r r，故④正确.所以正确的个数有3个.故选:C.8.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【正确答案】C【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.9.已知34a =，1b =-，3ln 2c =，则（）A.c b a<< B.a c b<< C.b<c<aD.c<a<b【正确答案】A【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出1<-，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以，()110f f =->=，即1<-，因为9e 4<，则32<，所以，3ln ln 12c b =<=，又因为2749e416⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则74>314a b =>=，故c b a <<.故选：A.10.已知双曲线C ：22221x y a b-（a >0，b >0）左，右焦点分别为12F F ，，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A.2B.C.3D.4【正确答案】D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF SS=求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan b MOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF SS==⨯⨯⨯=，故选：D11.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h =（）A.cos sin()sin()a αγαγβ-- B.sin sin()sin()a αγαγβ--C.cos sin()sin()a αγβγα-- D.sin sin()sin()a αγβγα--【正确答案】D【分析】在PAB 中，根据正弦定理求得sin()sin()a PB αβγα-=-，结合PQ PC CQ =+，即可求解.【详解】在PAB 中，ππ,()()22PAB BPA αβαγγα∠=-∠=---=-，由正弦定理得sin()sin()PB a αβγα=--，可得sin()sin()a PB αβγα-=-，过点B 作BD AQ ⊥，可得sin CQ BD a β==所以sin sin()sin sin sin()a PQ PC CQ PB a αγβγβγα-=+=⋅+=-.故选：D.12.若函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+B.()0,eC.()()0,11,+∞ D.()()0,11,e 【正确答案】C【分析】设()ln f x x x =，求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出()y f x =的大致图象，将函数()g x 的零点个数转化为函数函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象交点个数，分析函数与直线情况，即可得实数a 的取值范围.【详解】令()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，则()ln 1f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示．由题知函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象恰有2个交点，易知点()1,0为()y f x =与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-，所以当01a <<，直线()1y a x =-与与曲线()y f x =有2个交点；当1a >时，直线()1y a x =-与曲线()y f x =有2个交点．综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()1,a λ= ，()2,1b =，若()2//a b b + ，则λ=________．【正确答案】12##0.5【分析】求出向量2a b +的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数λ的值.【详解】因为()1,a λ= ，()2,1b =，则()()()21,22,15,2a b λλ+=+=+ ，因为()2//a b b + ，则()225λ+=，解得12λ=.故答案为.1214.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S =__________.【正确答案】17【分析】由314a a =可得24q =，再由求和公式求比值即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314a a =，可得23114a a a q ==，即24q =，所以()()84844112111141711q S q q S q a a q--=+=+==--.故17.15.如图，ABCD 是边长为2的正方形，其对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD沿对角线BD 折叠，使点A 所对应点为'A ，'2A OC π∠=.设三棱锥'A BCD -的外接球的体积为V ，三棱锥'A BCD -的体积为'V ，则'VV =__________．【正确答案】4π【分析】由题知球心为O,求得球的体积，再求锥的体积，则比值可求【详解】由题 OA OB OD OC ='==,易知三棱锥A'BCD -的外接球的球心为O ，∴R =，∴82πV 3=，A'到底面BCD ，∴1V 23=⨯⨯=，∴V4πV'=.故答案为4π本题考查球与三棱锥的体积，外接球问题，明确球心位置是突破点，准确计算是关键，是基础题16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为__________．【正确答案】【详解】由题意，设22(,),(,)A a a B b b ，则220m a m b m a m b --+=--，即110m a m b+=++，所以2a b m +=-，又221a b k a b a b-==-+，所以12k m m m -=--≤-=．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线的斜率公式和基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中正确推算k m -的表达式和运用基本不等式是解答的关键．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某学习APP 的注册用户分散在A 、B 、C 三个不同的学习群里，分别有24000人、24000人、36000人，该APP 设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A 、B 、C 三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配多少人？（2）设匹配的7名学员分别用：1m 、2m 、3m 、4m 、5m 、6m 、7m 表示，现从中随机抽取出2名学员参与新的游戏．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M 为事件“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”，求事件M 发生的概率．【正确答案】（1）应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配2人、2人、3人（2）（ⅰ）答案见解析（ⅱ）1621【分析】（1）利用分层抽样可求得A 、B 、C 三个学习群分别匹配的人数；（2）（i ）利用截距法可列举出所有的可能抽取的结果；（ii ）确定事件M 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件M 发生的概率.【小问1详解】解：三个学习群人数比例为24000:24000:360002:2:3=，因此，应从A 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从B 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从C 学习群匹配的人数为3737⨯=人.【小问2详解】解：（ⅰ）所有可能的结果为：()12,m m 、()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()34,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m 、()56,m m 、()57,m m 、()67,m m ，共21种；（ii ）“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”抽取的2名学员不是来自同一个学习群”包含的基本事件有：()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m ，共16种，所以其概率为()1621P M =.18.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，π2A ≠，且cos sin 0a C C b -+=．（1）求A ；（2）若22b a ac =+，求证：△ABC 是直角三角形．【正确答案】（1）π6（2）证明见解析【分析】（1）由正弦定理边化角可得sin cos sin sin 0A C A C B C -+=，然后根据两角和的公式以及辅助角公式，即可推得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据A 的取值范围，即可得出答案；（2）由余弦定理结合已知可推得0c a -+=.正弦定理边化角可得1sin 02C B -+=.又5π6C B =-，代入化简可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.然后根据B 的范围，即可得出π3B =，进而得出π2A B +=，即可得出证明.【小问1详解】由已知及正弦定理得sin cos sin sin 0A C A C B C --+=.因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin C A C A C =+.因为sin 0C ≠cos A A +=，整理有πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0πA <<，所以ππ7π666A <+<，所以ππ63A +=或π2π63A +=，所以，π6A =或π2A =.因为π2A ≠，所以π6A =.【小问2详解】由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c =+-=+.又因为22b a ac =+，所以20c ac +=，整理可得0c a +=.因为1sin 2A =，由正弦定理得1sin sin 02C B -+=.因为π5ππ66B C +=-=，所以5π6C B =-，所以5π1sin 062B B ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，整理得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以ππ66B -=，所以π3B =，所以π2A B +=，即ABC 是直角三角形.19.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥，45A ∠=︒．将四边形CDEF 沿EF翻折，使得C ，D 分别到1C ，1D 的位置，并且1BC =（1）求证：11ED BC ⊥；（2）求点E 到平面11ABC D 的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）在图甲中AB ⊥BC ，在图乙中1EF FC ⊥，EF BF ⊥，从而有EF ⊥平面1BC F ，则1EF BC ⊥，再分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，通过22211C F BC BF +=，得到11BC C F ⊥，从而证得1BC ⊥平面11C D EF 即可．（2）过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，易得1C Q ⊥平面BEF ，从而有113sin 602C Q C F =⋅︒=，再由11E ABC C ABE V V --=求解.【小问1详解】证明：∵在图甲中，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝2EF ＝4CD ＝4，AB ⊥BC ，∴在图乙中有，1EF FC ⊥，EF BF ⊥，又1FC 与BF 是平面1BC F 内的交线，∴EF ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，∴1EF BC ⊥，如图，分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，易知111MF C D ==，∴1EM =，又145FED BAE ∠∠==︒，∴111C F D M EM ===，同理2BF EN AN ===，又1BC =∴22211C F BC BF +=，则11BC C F ⊥，又EF 与1C F 是平面11C D EF 内的交线，∴1BC ⊥平面11C D EF ，ED 1在面C 1D 1EF 内，∴11BC ED ⊥．【小问2详解】由（1）知EF ⊥平面1BC F ，AB ∥EF ，所以知AB ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，所以1AB BC ⊥，则1112ABC SAB BC =⨯⋅=，11sin 4544222ABESAB AE =⨯⋅⋅︒=⨯⨯=，过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，由（1）知EF ⊥平面1BC F ，且EF ⊂平面ABFE ，所以平面1BC F ⊥平面ABFE ，又平面1BC F平面ABFE BF =，C 1Q 在面BC 1F 内，所以1C Q ⊥平面ABFE ，又EF ⊂平面ABFE ，所以1C Q EF ⊥，又BF 与EF 是平面ABF 内的交线，∴1C Q ⊥平面BEF ，113sin 602C Q C F =⋅︒=，由11E ABC C ABE V V --=，得111133ABC ABES h S C Q ⋅=⋅，23431332h h =⨯⇒=，∴点E 到平面11ABC D 的距离为1．20.已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与椭圆2C ：2212xy +=的离心率相等，1C 的焦距是．（1）求1C 的标准方程；（2）P 为直线l ：4x =上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线1C 的交点A ，B 满足PA AT PBTB=？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22142x y +=（2）存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA ATPB TB=【分析】（1）由已知求出2C 的离心率为2，又c =，即可得出4a =.根据,,a b c 的关系，即可得出答案；（2）设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y ，先求出直线AB 与x 轴重合时，满足条件的T 点坐标；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+.根据已知可推得0PA TB PB AT ⋅-⋅=，代入坐标整理可得()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与1C 的方程可得()()2222240m y mty t +++-=，根据韦达定理得出坐标关系，代入（*）式，整理化简可得()()2110t m -+=，求出1t =，检验即可得出答案.【小问1详解】因为椭圆222:12x C y +=2=，又椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与椭圆222:12x C y +=的离心率相等，1C 的焦距是，所以2c =，c =所以，222c a a ==，所以2a =，2222b a c =-=，所以，1C 的标准方程为22142x y+=.【小问2详解】设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 与x 轴重合时，设()2,0A ，()2,0B-，()4,0P ，则2PA =，6PB =，2AT t =-，2TB t =+，由已知PA ATPBTB =，可得221263t t -==+，解得1t =或4t =（舍去），所以，()1,0T ；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+，则有4ms t =-.,,,P A B T 四点共线，由PA AT PBTB=结合图象可知，0PA TB PB AT ⋅-⋅=，于是有，()()()()()()()()1212212140400x x t y s y x x t y s y --+--+--+--=，化简得：()()()1212121222480x x y y t x x s y y t +-++-++=，变形得：()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与椭圆的方程22142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()()2222240m y mty t +++-=，当()()222244240m t m t ∆=-+->时，由韦达定理可得12221222242mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将上式与4ms t =-共同代入（*），化简得：()()2110t m -+=，即1t =，且此时0∆>成立，故存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA AT PBTB=．方法点睛：设直线AB 方程为x my t =+，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.然后根据已知，化简可得出()()2110t m -+=.因为m 的任意性，所以必有1t =，即可得出答案.21.已知函数()()()2ln ,11f x x g x a x ==--.（1）当14a =时，求函数()()()F x f x g x =-的最大值；（2）当14a =-时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【正确答案】（1）3ln 24+（2）1y x =-【分析】（1）代入14a =，然后求出()F x '，进而可得单调性求出最值；（2）代入14a =-，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.【小问1详解】当14a =时,()()()()22ln 11l 11134424n F x f x g x x x x x x ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣++⎦，()()()22111222221x x x x x x xF x x '∴+=---+-++==，令()0F x '>，得02x <<，令()0F x '<，得2x >，∴求函数()F x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()()max 32ln 21134244ln 242F x F ⨯∴==-+⨯+=+；【小问2详解】当14a =-时，()()221115114424g x x x x =---=-+-，设函数()ln f x x =上一点为()11,ln x x ，又()1f x x'=，()111f x x '∴=，∴函数()ln f x x =上过点()11,ln x x 的切线方程为：()1111ln y x x x x =-+，即111ln 1y x x x =+-，设函数()g x 上一点为2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，又()1122g x x '=-+，()221122g x x '∴=-+∴过点2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的切线方程为：()222221111522424y x x x x x ⎛⎫=-- ++⎪--⎝⎭，即22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= ，若111ln 1y x x x =+-与22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= 为同一直线，则212211112215ln 144x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1211x x =⎧⎨=-⎩,∴公切线的方程为.1y x =-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为88x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），点()4,0P ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，射线l 的极坐标方程为()π06θρ=≥．（1）写出曲线1C 的极坐标方程；（2）若l 与1C ，2C 分别交于A ，B （异于原点）两点，求△PAB 的面积．【正确答案】（1）2cos232ρθ=（2）5【分析】（1）由参数方程可得2226416x t t =++，2226416y t t =+-，进而即可推得2232x y -=，根据公式即可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）将π6θ=分别代入1C ，2C 的极坐标方程得出8A ρ=，3B ρ=，进而得出弦长5AB =.然后求出点()4,0P 到射线的距离d ，即可得出答案.【小问1详解】由1C 的参数方程得2226416x t t =++，2226416y t t=+-，所以2232x y -=.又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2cos232ρθ=，所以1C 的极坐标方程为2cos232ρθ=.【小问2详解】将π6θ=代入曲线1C 的极坐标方程2cos232ρθ=可得8A ρ=，将π6θ=代入曲线1C的极坐标方程ρθ=可得3B ρ=，所以5A B AB ρρ=-=.又射线l的直角坐标方程为3y x =30y -=，所以点()4,0P 到射线的距离为2d ==，所以1125522PAB S d AB =⋅⋅=⨯⨯=△.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()R f x x a x a a =++-∈，．（1）若1a =，求函数()f x 的最小值；（2）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，即可求函数()f x 的最小值；（2）因为2A ∉，所以f ()25>，即225a a ++->，分类讨论，即可求a 的取值范围．【小问1详解】因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2．【小问2详解】因为2A ∉，所以()2f 5>，即225a a ++->，当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52a <-，所以52a <-；当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；当2a >时，不等式可化为225a a ++->，解得52a >，所以52a >；综上，a 的取值范围为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。