线性代数 6-2标准形规范形
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交 特征向量 . 标准正交特征向量 特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形 为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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, 在解析几何中 在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性 替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明 证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理 概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理 定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.
⎛0 ⎜ 二次型 u = xy + 2 yz 的矩阵为 A = ⎜ 1 2 ⎜0 ⎝
1 2
0 1
0⎞ ⎟ 1⎟ 0⎟ ⎠
5 5 | λ E − A |= λ (λ − )(λ + ) 2 2
5 5 λ1 = − , λ2 = 0, λ3 = 2 2
x 2 + y 2 + z 2 = 10 ⇒ α = ( x, y, z )T , α T α = 10
| E − A |= 0,|10 E − A |= 0; b > 0 ⇒ a = −4, b = 2
λ1 = λ2 = 1: α1 = (0,1,1)T , α 2 = (4, −1,1)T ; λ3 = 10 : α 3 = (1, 2, −2)T
这里特征向量选取时注 意已经正交，故省去了 向量正交化的步骤。
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2 2 + 5 x3 + 2 bx1 x 2 例3 设二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12 + 5 x 2 − 4 x1 x 3 + 2 ax 2 x 3 ( b > 0)
2 2 + 10 y3 经正交变换X＝QY化为 f = y12 + y2 ，求a,b,Q.
2 2 f = x12 + x2 + x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3
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例1 求正交变换X＝QY，将二次型
f = 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 2 x 2 x 3 化为标准形 . 化为标准形.
解：
⎛0 ⎜ A = ⎜1 ⎜1 ⎝ λ1 = λ2 1 0 1 1⎞ λ −1 −1 2 ⎟ 1 ⎟ ，λ E − A = −1 λ −1 = ( λ + 1) ( λ − 2 ) −1 −1 λ 0⎟ ⎠
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从代数观点看 二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,⋯ , xn )
作适当的 非退化线 性替换
⎧ x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋯ + c1n yn ⎪ x = c y + c y +⋯+ c y ⎪ 2 11 1 12 2 1n n ⎨ ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎩ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋯ + cnn yn
2 = ( x1 − 2 x2 )2 − 2( x2 + x3 )2+5 x3
2 2 2 = y1 − 2 y2 + 5 y3
y1＝x1－2x2 ⎧ x1 = y1＋2 y2 − 2 y3 ⎪ ⎨ x 2 = y2 − y3 X y2＝x2＋x3 即： ⎪x = y y3＝x3 3 ⎩ 3
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⎛ 1 2 −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 1 −1 ⎟ Y ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
T | | 1 f ( α ) α Aα 取得的最 α = = 的条件下 瑞利原理：在
小、最大值为 λ1 , λn .
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例4 求 u = xy + 2 yz 在条件 x 2 + y 2 + z 2 = 10下的最大值 和最小值.
解：（方法一）Lagrange乘数法 （方法二）二次型方法
将
β 1 , β 2， α3
单位化为η1 ,η 2 ,η 3
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⎛ 1 ⎜− 2 ⎜ ⎜ 1 令 Q = (η1 ,η2 ,η3 ) = ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝
1 − 6 1 − 6 2 6
1 ⎞ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ . 是正交矩阵. ⎟ ，则Q是正交矩阵 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎠
Q是正交矩阵，且
2 6 1 6 1 6
0 1 2 1 2
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1 ⎞ − ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 3 ⎠
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⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ Q T AQ = Q −1 AQ = ⎜ 0 3 0 ⎟ ⎜ 0 0 4⎟ ⎝ ⎠ 故曲面方程经正交变换 ⎧
⎛ x⎞ ⎛ x′ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ′⎟ ⎜ y⎟ = Q⎜ y ⎟, ⎜z⎟ ⎜ z′ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
↕
A ⎯⎯ ⎯ D → A ≃ D ←⎯
X = CY , C ≠ 0
二次型XTAX
⇒
2 定理 定理2
↕
标准形YTDY
5.1定理D=CTAC
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例5 用配方法化二次型
2 2 f = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
. 为标准形，并求出所用的非退化线性替换 标准形，并求出所用的非退化线性替换. 解： f = ( x − 2 x )2 −2 x 2 + 3 x 2 − 4 x x 2 3 2 3 1 2
⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 Q =⎜ ⎜ 2 ⎜ 1 ⎜ ⎝ 2
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4 3 2 −1 3 2 1 3 2
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1 ⎞ ⎟ 3 ⎟ 2 ⎟ 3 ⎟ ⎟ −2 ⎟ 3 ⎟ ⎠
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瑞利（Rayleigh）原理 实二次型 f ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) =
n i , j =1 T T a x x = AX ( A = A) X ∑ ij i j
化为标准方程
2 x′ ⎪x = 6 即 ⎪ ⎪ 1 x′ + ⎨y = 6 ⎪ ⎪ 1 x′ − ⎪z = 6 ⎩
1 z′ − 3 1 1 z′ y′ + 2 3 1 1 y′ + z′ 2 3
2 2 2 ′ ′ ′ x + 3 y + 4z = 1
. 由解析几何知，曲面是椭球面 由解析几何知，曲面是椭球面.
∑a x x
ij i
j
= X AX
标准形
（aij = a ji）
⋯ 0 ⎞⎛ y1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⋯ 0 ⎟⎜ y2 ⎟ ⋱ ⋮ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⋯ dn ⎠⎝ yn ⎠
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⎛ d1 0 ⎜ 0 d2 ⎜ f = ( y1 , y2 ⋯, yn ) ⎜⋮ ⎜ ⎝0 0
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注：用正交替换法化该二次型为标准形 T λ = − 1 α = (2, 2,1) — ⎛ 1 −2 0 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ λ = 2 —α = (2, −1, −2)T A = ⎜ − 2 2 −2 ⎟ 2 2 ⎜ 0 −2 3 ⎟ λ = 5 —α = (1, −2, 2)T ⎝ ⎠ 3 3
= −1：
正交化 : 正交化:
⎛− 1 2⎞ ⎜ ⎟ β 1 = α1 , β 2 = ⎜ − 1 2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
λ3 = 2：
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ α3 = ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α1 = ⎜ 1 ⎟ , α 2 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
线性代数
数学科学学院 陈建华
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6.2 二次型的标准形、规范形
• 复习 • 正交替换法（实二次型） 初等变换法 ） 标准形（配方法、初等变换法 初等变换法） • 标准形（配方法、 • 规范形（实、复二次型）
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复习回顾
二次型
n i , j =1
T
f ( x1 ,⋯ , xn ) =
经过正交替换X＝QY，原二次型化为标准形：
2 2 f = − y12 − y2 + 2 y3
⎛ ⎛ −1 0 ⎜ T ⎜ −1 AQ = Q AQ = Q ⎜ ⎜ 0 −1 ⎜ 0 0 ⎜ ⎝ ⎝
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
东北大学线性代数_第六章课后习题详解二次型
教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性 设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
解 由于所给二次型中无平方项，所以
记X=BY
得 再把所有含y1的项集中,配平方;同样地 把含有y2的项集中,配平方,就得到
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型
都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和）
证明பைடு நூலகம்
对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
4、没有改变二次型的秩，事实上，二 次型的系数中正负项的个数也没有被 正交变换改变。
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
例3
解
含有平方项
去掉配方后多出来的项
所用变换矩阵为
例4 用配方法化二次型
为标准型，并求出所用的可逆线性变换。 解
令
(1)
则
(2)
(2)是可逆线性变换，使
2 2 9 2 f (x1, x2, x3) y1 + y2 - 4 y3
例5
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
得
,
当
时,解方程组
得基础解系 当 得基础解系 时,解方程组
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵 由 构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
线性代数6.2线性规划
第一步，明确问题的条件。一般可以将问题的条件列成 表格形式，如下表6－3
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第二步，明确问题的变量。 为了做出决策，我们把决策中关键量设为未知量，这种变量 称为决策变量。本例中，设产品甲的日产量为件，产品乙的
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三、线性规划问题的几个基本概念
定义2 在线性规划问题中，满足约束条件的解， 称为可行解。
一般来说，线性规划问题可能有无穷多个可行解， 也可能没有可行解。
使目标函数达到最大值或最小值的可行解，称 为最优解。将最优解代入目标函数，所得到的目标 函数值，称为最优值。
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B3 8,
知 B1, B2 , B3 都是非奇异矩阵，
所以 B1 , B2 , B3 都是这一问题的基。
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四、两个变量线性规划问题的图解法
例6 用图解法求解下列线性规划问题：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12,
s.t.
x1 2x2 8, 4x1 16,
6,
约束条件
x1 0, x2 0
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综合上述分析，我们可以写出该问题的数学模型如下
目标函数 约束条件
maxS 3x1 4x2
x1 x2 6,
s.t.
x1
2x2 x2 3,
6,
x1 0, x2 0
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例2 某建设工地，需要直径相同、长度不同的成套钢筋， 每套由7根2m长和2根7m长的钢筋组成，今有15m长的钢筋150
2m长有 4x1 7x3 根
7m长有 x1 2x2 根，根据配套要求，有
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⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
得基础解系
ξ1
=
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟ ⎟
,
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
单位化即得 p1
=
1 2
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟⎟.
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时,解方程(E − A) x = 0,
可得正交的基础解系
nn
x
2 n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2an−1,n xn−1 xn
取 a ji = aij , 则2 aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,于是
f = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
⎪⎪ x2 = p21 y1 + p22 y2 + ⋯ + p2n yn
⎨ ⎪
⋯⋯
⎪⎩ xn = pn1 y1 + pn2 y2 + ⋯ + pnn yn
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
( ) 记
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
P = pij n×n
⎢ ⎣
x
n
⎥ ⎦
⎢ ⎣
yn
⎜⎝ x3 ⎟⎠
⎜ ⎝
2
3
−2 5 15
0
−2
45
⎟⎞⎜⎛
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
线性代数—二次型的标准形和规范形课件
已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3$，求其标准形。
解答部分
答案3：略
答案2：略
答案1：略
01
03 02
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详细描述
二次型可以用矩阵表示，通过将二次型中的系数排列成一个矩阵，可以方便地 研究二次型的性质和变化。这种矩阵称为二次型的矩阵表示。通过矩阵运算， 可以方便地计算二次型的值、求导数、求解方程等。
二次型的性质
总结词
二次型具有一些重要的性质，如对称性、正定性、负定性等，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价 值。
二次型用于描述物理系统的能量关系，如弹簧振荡器、谐振腔等系统的能 量形式。
二次型在物理学中用于建立数学模型，如线性方程组、微分方程等，以解 决实际问题。
二次型在经济学中的应用
01
二次型在经济学中常用于描述成本、收益和利润等 经济量之间的关系。
02
二次型用于描述经济系统的最优化问题，如生产、 消费和投资的最优配置问题。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是二次型的重要属性 ，它们可以通过线性变换来获得。
VS
详细描述
特征值是二次型在某个特定变换下的不变 值，而特征向量则是与该特征值对应的向 量。通过特征值和特征向量，可以进一步 了解二次型的性质和结构。例如，特征值 可以用于判断二次型的正定性、负定性或 零定性，而特征向量可以用于构建二次型 的标准形。
详细描述
二次型具有对称性，即对于任意实数$x, y$，都有$f(x, y) = f(y, x)$。此外，二次型还具有正定性、负定性等性 质，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价值。例如，在物理学中，二次型用于描述物体的运动状态 和受力情况；在经济学中，二次型用于描述成本和收益的关系等。
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
《线性代数》课程标准
课程标准课程名称：线性代数适用专业：经济、管理类新疆财经大学应用数学学院基础数学教研室目录第一部分课程性质 (3)第二部分课程目标 (3)第三部分教学内容与基本要求 (3)第四部分教学方案 (8)第五部分课程作业与考核评价 (9)第六部分教材与教学参考书 (10)第一部分课程性质一、课程性质线性代数是高等院校经济类、管理类专业的一门重要的基础课，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的经济、管理类专业人员而设的一门必修课，通过该课程的学习，不仅使学生了解有关线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本计算方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，而且使学生会应用线性代数知识分析、解决实际问题，并为后续课程作好必要的准备。
二、课程基本情况课程名称：线性代数适用专业：财经。
管理类各专业总学时数：54学时修课方式：必修三、课程说明本课程共六章，由于我校线性代数课实行普通班与快班分级教学，根据教学计划（每周3课时），因此，第一至四章为必学内容，主要掌握矩阵、线性方程组理论、n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量及其有关的基本知识，第五章为快班必学内容，普通班为选学内容，第六章为普通班和快班选学内容。
第二部分课程目标通过本课程的教学，使学生系统地掌握矩阵及线性方程组理论，n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量，二次型理论知识，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力，并为进一步学习后继课程和现代化科学技术打下坚实的数学基础。
第三部分教学内容与基本要求第一章行列式（8学时）【教学内容】§1.1 阶行列式的定义二、三阶行列式的定义、排列的逆序数、n阶行列式的定义。
§1.2 行列式的性质行列式的性质§1.3行列式的展开定理余子式和代数余子式的概念、行列式按行(列)展开定理。
§1.4 行列式的计算§1.5 克莱姆法则克莱姆法则。
【基本要求】1、了解排列与逆序的概念。