第二章 推理与证明导学案

§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a的第一项11a=，且nnn aaa+=+11(1,2,3.n=，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na}中，11()2n nna aa=+（2n≥），试猜想这个数列的通项公式.23§2.1.1 合情推理（2）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P 30~ P 38，找出疑惑之处）1.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、新课导学※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法 实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1()2S a b c r=++（r 为三角形内切圆的半径）新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.B.－则存在怎样的等式？A.苹果∶水果B.手指∶身体C.菜肴∶萝卜D.食品∶巧克力4§2.1.2 演绎推理1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.一、课前准备（预习教材P39~ P42，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.复习2：合情推理的结论.二、新课导学※学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C︒时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提——；小前提——；结论——. 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※典型例题例1 在锐角三角形ABC中，,AD BC BE AC⊥⊥，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2f x x x=-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.6§2.1 合情推理与演绎推理(练习)1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.2840复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .二、新课导学※ 典型例题 例1 观察（1）（2）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan75tan75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.110n+ D.118§2.2.1 综合法和分析法（1）1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4547复习1：两类基本的证明方法: 和 .复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 反思： 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ※ 典型例题例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中, 90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条10件明确表示出来.※ 动手试试练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=练2. ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B ++=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）三、总结提升※ 学习小结综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.※ 知识拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2. 如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a = 3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ）A ．01P <<B ．12P <<C ．23P <<D ．34P << 4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ .5. 已知b a ,是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>2. 在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-§2.2.1 综合法和分析法(二)1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法 问题：如何证明基本不等式(0,0)2a ba b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※典型例题例1变式：求证+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※动手试试练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：2224c a b ab--+≥三、总结提升※学习小结分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,,P P⋅⋅⋅，直到所有的已知P都成立.※知识拓展证明过程中分析法和综合法的区别:在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x+>;②2b aa b+≥,其中恒成立的是A.①B.②C.①②D.都不正确3.已知0y x>>,且1x y+=,那么A.22x yx y xy+<<< B.22x yxy x y+<<<C.22x yx xy y+<<< D.22x yx xy y+<<<4.若,,a b c R∈,则222a b c++ab bc ac++. 5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(0)b a>>,则其浓度为;若再加入m千克的白糖(0)m>,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .1.已知0a b>>,求证:22()()828a b a b a ba b-+-<.2. 设,a b R+∈,且a b≠,求证:3322a b a b ab+>+12§2.2.1 综合法和分析法（3）1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.一、课前准备（预习教材P 50~ P 51，找出疑惑之处）复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学※ 学习探究 探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且 2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙= 求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证： 222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例 1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin24cos2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用. 例 2 在四面体P ABC -中，P D A B C ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.14小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※ 动手试试练1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a cx y+=.练 2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个 2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）.①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④ 3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.A ．a ，b 均为负数，则2a bb a+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中真命题是 .5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc=.求证：111a b c <++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.§2.2.2 反证法1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.一、课前准备（预习教材P 52~ P 54，找出疑惑之处）复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例 1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. ※动手试试练1. 如果12x>,那么2210x x+-≠.练 2. ABC∆的三边,,a b c的倒数成等差数列,求证:90B<︒.三、总结提升※学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）.A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）. A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）.A．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c中恰有一个偶数”的反设为.5. “4x>”是“240x x->”的条件.1. 已知,0x y>,且2x y+>.试证:11,x yy x++中至少有一个小于2.2. 不是有理数.16第二章 推理与证明(复习)1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；.一、课前准备（预习教材P 28~ P 55，找出疑惑之处）复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※ 典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：tan()p αβ+=；（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.AB C S F E18C 3H 8C 2H 6CH 4H H H H H H H H H H H H H C C C C C H H H H C 小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性有较高的要求.※ 动手试试练1. 求证：当220x bx c ++=有两个不相等的非零实数根时，0bc ≠.练2. 数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的结论.（理科）三、总结提升※ 学习小结※ 知识拓展帽子颜色问题“有3顶黑帽子，2顶白帽.让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色.（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人.事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式．．．是（ ）. A ．C 4H 9 B ．C 4H 10 C ．C 4H 11 D ．C 6H 12 2. 用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）. A.a b > B.a b < C.a b = D.a b ≤ 3. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（ ）.A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理:,n 角形的个数n 之间的关系式可以是___________. 5. 由“以点()00,x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为()()22200x x y y r -+-=”可以类比推出球的类似属性是. 1. 若sin cos 1αα+=,求证:66sin cos 1αα+=2. 求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++, 22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.理：§2.3 数学归纳法(1)1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解.一、课前准备（预习教材P 104~ P 106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n aa a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q-=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)20小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时, 2135(21)n n ++++-=练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时, 21122221n n -++++=-三、总结提升※ 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.※ 知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为A.1B.21a a ++C.1a +D.231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. 12+kB. )12(2+kC. 112++k kD. 132++k k 3. 设*111()()122f n n N n n n=+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ）A. 121+n B. 221+nC. 221121+++n n D. 221121+-+n n4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a5. 数列}{n x 满足1221,3x x ==，且11112n n n x x x -++=（2≥n ），则=n x .1. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21nn n n ++++=⨯⨯⨯-++2. 用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n ∙+∙-+∙-+∙=++高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案理：§2.3 数学归纳法(2)1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.一、课前准备（预习教材P 107~ P 108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.试试：已知数列 1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.※ 典型例题例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出。