高数函数的极值与最大最小值
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高数大一知识点总结全微分
高数大一知识点总结全微分微积分是大学数学中的重要分支，也是大一学生必修的一门课程。
其中，全微分是微积分中的一个重要概念和计算方法。
在学习全微分时，我们需要掌握一些基础知识和技巧。
本文将对高数大一知识点进行总结，并详细介绍全微分的概念和应用。
1. 函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是一个重要的概念。
对于一个函数来说，极值是指函数在某个点附近取得的最大值或最小值。
通过求导可以找到函数的驻点，然后通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。
2. 全微分的概念全微分是微积分中对函数的微小改变进行近似描述的一个概念。
对于函数f(x, y)，全微分df定义如下：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy表示自变量x和y的微小增量。
全微分可以近似表示函数的改变量。
3. 全微分的应用全微分在实际问题中有广泛的应用，尤其在物理、经济等领域。
通过对函数进行全微分，可以估计函数在某个点附近的变化趋势，从而可以更好地理解和分析问题。
3.1 曲面切平面全微分可以用来计算曲面在某一点处的切平面方程。
对于一个曲面z=f(x, y)，在点(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dz = (∂f/∂x)(x0, y0) * dx + (∂f/∂y)(x0, y0) * dy通过计算偏导数和代入函数值，可以求得切平面的方程。
3.2 近似计算全微分可以用来进行近似计算，特别是在高阶微积分中。
对于一个函数f(x)，如果可以求得函数的全微分df，那么可以用全微分代替函数在某点附近的改变量，从而简化计算过程。
4. 总结通过对高数大一知识点的总结，我们了解了函数的极值和最值的概念，以及全微分的定义和应用。
全微分在微积分中扮演着重要的角色，可以帮助我们更好地理解和分析函数的变化趋势，并在实际问题中进行近似计算。
掌握全微分的概念和应用，对于深入学习微积分和相关领域的知识具有重要意义。
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件
几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
高数函数的极值与最大最小值课件
(不是极值点情形)
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例 y=|x|
极小值点x=0
但x=0是y=|x|的不可导点.
驻点和不可导点统称为可疑极值点
01
03
02
04
05
06
求极值的步骤:
以及不可导点；
(4) 求出各极值点的函数值, 就得函数 f (x)的全部极值.
01
例
02
解
*
用开始移动,
例7. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作
解: 克服摩擦的水平分力
正压力
即
令
则问题转化为求
的最大值问题 .
为多少时才可使力
设摩擦系数
问力与水平面夹角的大 Nhomakorabea最小?*
令
解得
而
因而 F 取最小值 .
解:
即
令
则问题转化为求
的最大值问题 .
清楚(视角 最大) ?
当 在 上单调时,
最值必在端点处达到.
若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .
(小)
对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大值点或最小值点 .
(小)
在闭区间[0,3]上的
解
例
求函数
最大值与最小值.
先求出驻点与不可导点
如,
在x=0处分别属于上述三种情况.
3) 判别
例2. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
2) 求驻点
令
得驻点
因
故 为极小值 ;
又
故需用第一判别法判别.
*
定理4 (判别法的推广)
同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值
(1) 函数在极值点处的特征 由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其
极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在 极值点 x0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点 的分析特征是导数变号的 临界点。
因此，若函数在极值 点 x0 处可导，则应有
f ( x 0 )= 0 .
可判别导数不存在的点的极值性。 • 缺点 应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为
因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定 其在各保号区间上的符号较为麻烦。
从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最 高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的 凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧 的凹向的考察来判别驻点的极值性。
y y f x , x a, b
f x1 f x1 0
Oa
f x2
f x2 0
x1
x2
bx
• 优点 应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只
需通过驻点处的二阶导数值 f ( x 0 )的符号便可确定 可疑点的极值性。
• 缺点 第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，
下考察各驻点处的二阶导数符号： 因为 f ( 1 )= -2 < 0 ，故 f( x )在驻点 x 1 = 1 处取 得极大值。极大值为：
f( 1 ) =[( x - 1 )2( x - 2 )3]x = 1 = 0 .
由于 f
7 5
5 x 1 x 22
求得驻点
x1 1, x2
7 5
, x3 2.
• 判别可疑点是否为极值点 由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别
法考察可疑点的极值性。
高数微积分极值与最值
的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面
解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第
一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )
则长方体的体积为V=8xyz
令
F
xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1)
Fx
yz
2x a2
0
Fy
xz
2y b2
0
Fz
xy
ห้องสมุดไป่ตู้
2z c2
0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
a
b
c3
x ,y ,z
3
3
3
25
解四
即求
x2 a2
y2 b2
z2 c2
的最大值
而此三个正数的和一定（=1）
当
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 3
积最大 x
a ,y 3
b ,z 3
c 3
26
例6 将给定的正数 m 分成三个非负数x,y,z 之和 使xa ybzc最大 其中a, b, c 为给定的正数
说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0 处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 06 .
推广: 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
同济大学高数 第五节 函数的极值与最大值最小值
1 ( x 2) 的极值.
2 3
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
最大值最小值的求法
若函数 f ( x )在 [a , b]上连续, 除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点, 则 f ( x )在 [a , b] 上的最值的计算步骤如下： 1. 求驻点和不可导点; 2. 求区间端点、 驻点及不可导点的函数值, 比较大小, 哪个大哪个就是最大值, 哪个 小哪个就是最小值. 注意: 如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是 最值 (最大值或最小值).
第三章 微分中值定理 和导数的应用
第五节 函数的极值与 最大值最小值
问题：单调性发生改变的点是怎样的？
y y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b )内有定义, x0是 (a , b ) 内的一个点. 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于该邻域内的 任何点 x, 除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 ) 均成立, 就 称 f ( x0 ) 是函数 f ( x )的一个极大值; 类似可定义 极小值
f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0.
定理2 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个 邻域内连续并且可导 (导数 f ( x0 )也可以不存在),
(1)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, f ( x )不变号, 则 f ( x ) 在 x0处没有极值.
2 3
y
y f ( x)
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
最大值最小值的求法
若函数 f ( x )在 [a , b]上连续, 除个别点外处处可导, 并且至多有有限个导数为零的点, 则 f ( x )在 [a , b] 上的最值的计算步骤如下： 1. 求驻点和不可导点; 2. 求区间端点、 驻点及不可导点的函数值, 比较大小, 哪个大哪个就是最大值, 哪个 小哪个就是最小值. 注意: 如果区间内只有一个极值, 则这个极值就是 最值 (最大值或最小值).
第三章 微分中值定理 和导数的应用
第五节 函数的极值与 最大值最小值
问题：单调性发生改变的点是怎样的？
y y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x )在区间 (a , b )内有定义, x0是 (a , b ) 内的一个点. 如果存在着点 x0的一个邻域, 对于该邻域内的 任何点 x, 除了点 x0外, f ( x ) f ( x0 ) 均成立, 就 称 f ( x0 ) 是函数 f ( x )的一个极大值; 类似可定义 极小值
f ( x ) f ( x0 ) (或 f ( x ) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0.
定理2 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个 邻域内连续并且可导 (导数 f ( x0 )也可以不存在),
(1)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ( x ) 0; 在点 x0的右 邻域内 f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, f ( x )不变号, 则 f ( x ) 在 x0处没有极值.
同济第五版高数3-5极值最值.ppt
• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .
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C(x) = x3 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 − 6x2 +15x, 售出该产品 x 千件的收入是R(x) = 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) = R(x) − C(x) = −x3 + 6x2 − 6x p′(x) = −3x2 +12x − 6 = −3(x2 − 4x + 2) 令p′(x) = 0, 得 x1 = 2 − 2 ≈ 0.586 y x2 = 2 + 2 ≈ 3.414 p(x) 又 p′′(x) = −6x +12, 2− 2 p′′(x1) > 0, p′′(x2 ) < 0 2+ 2 x O 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
第三章 三 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大值点 , 极大值点 为函数的极大值 ; 极大值 的极小值点 , 极小值点 为函数的极小值 . 极小值
最小值
f (a), f (b)}
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特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调 单调时, 最值必在端点处达到. 单调
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
α 为多少时才可使力F 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力 正压力
α
F
∴
即 令
F cosα =µ (5 g − F sinα) 5µ g F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα
P
则问题转化为求 ϕ(α) 的最大值问题 .
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−1
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O
返回
1
结束
x
定理3 判别法的推广 判别法的推广) 定理 (判别法的推广 数,且 则: 1) 当 n为偶数时, 为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n为奇数时, 证: 利用 在 不是极值点 . 点的泰勒公式 , 可得
f (n) (x0 ) ≠ 0,
+
−
f (n) (x0 ) (x − x0 )n f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +L+ n! 当 充分接近 o((时, x0 )n ) + x − 上式左端正负号由右端第一项确定 ,
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ′(x) = 6x (x2 −1)2 ,
f ′′(x) = 6(x2 −1)(5x2 −1)
2) 求驻点 令 f ′(x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f ′′(0) = 6 > 0, 故 为极小值 ; 又 f ′′(−1) = f ′′(1) = 0, 故需用第一判别法判别. y
20
A x D
100
B
C 厂C 的运费最省, 问D点应如何取? 解: 设 AD = x (km) , 则 CD = 202 + x2 , 总运费
( k 为某常数 )
(400 + x ) 所以 x =15为唯一的 令 得 极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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5µ g 即 F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα 令 则问题转化为求ϕ(α)的最大值问题 .
L 解: L
α
F
P
ϕ′′(α) = −cosα − µ sinα
令 而 ϕ′′(α) < 0, 因而 F 取最小值 .
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y
x1 , x4 为极大值点 x 2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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极值第一判别法) 定理 1 (极值第一判别法 极值第一判别法
设函数 f (x) 在x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ′(x) “左正右负” ,则f (x) 在x0 取极大值. 左
x1 = 0, x2 =1, x3 = 2
∆ = (−9) − 4 ⋅ 2 ⋅12 = 81− 96 < 0
故函数在 x =x2取最小值 0 ; 0 x =1及 5 取最大值 5. ∴ 2 0 − 9x +12 > 在 2
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 说明 令 ϕ(x) = f 2 (x)
收入函数 R(x) = 9x
O 2− 2
亏损最大
目录
2+ 2 x 收益最大
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内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 正 负 由负变正 负 正 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广
2 令 f ′(x) = 0 , 得 x1 = 5 ;
令 f ′(x) = ∞ , 得 x2 = 0
2 5 2 (5 , + ∞)
x (−∞, 0) + f ′(x) f (x)
0 ∞ 0
2 (0 , 5)
−
0 − 0.33
+
其极大值为 是极大值点， 是极小值点， 其极小值为
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解得
例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.4
θ
1.8
x 1.4 +1.8 1.8 − arctan , x ∈(0, + ∞) θ = arctan x x − 3.2 1.8 −1.4(x2 − 5.76) + 2 = 2 θ′ = 2 2 2 x + 3.2 x +1.8 (x + 3.22 )(x2 +1.82 ) 令 θ ′ = 0, 得驻点 x = 2.4∈(0, + ∞) 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
定理3
− +
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定理3
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2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
f (x) − f (a) ( = −1, 则在点 a 处( 1. 设 lim 2 x→a (x − a)
B
).
( A) f (x) 的导数存在 , 且 f ′(a) ≠ 0； (B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值; (D) f (x) 的导数不存在.
(2) f ′(x) “左负右正” ,则f (x) 在x0 取极小值; 左
(自证)
点击图中任意处动画播放\暂停
. 求函数 解: 1) 求导数 f ′(x) = x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
2 − 1 5 x−5 + (x −1) ⋅ 2 x 3 = 3 ⋅ 3 3 x
f (0) = 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
则其最值只能 在极值点 端点处达到 . 极值点或端点 极值点 端点 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M = max{
定理2 极值第二判别法 极值第二判别法) 定理 (极值第二判别法 二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
− +
f ′(x) f ′(x) − f ′(x0 ) = lim 证: (1) f ′′(x0 ) = lim x→x0 x − x0 x→x0 x − x0
由f ′′(x0 ) < 0知, 存在 δ > 0, 当 < x − x0 < δ 时, 0 f 故当 x0 −δ < x < x0 时，′(x) > 0; + − f 当x0 < x < x0 + δ 时， ′(x) < 0, x0−δ x0 x0+δ 由第一判别法知 f (x) 在x0 取极大值.
y′ = k (
5x 400 + x 又
2
− 3),
y′′ = 5k
400
2 32
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 − b2 ) , =6 2 2 1 3
C(x) = x3 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 − 6x2 +15x, 售出该产品 x 千件的收入是R(x) = 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) = R(x) − C(x) = −x3 + 6x2 − 6x p′(x) = −3x2 +12x − 6 = −3(x2 − 4x + 2) 令p′(x) = 0, 得 x1 = 2 − 2 ≈ 0.586 y x2 = 2 + 2 ≈ 3.414 p(x) 又 p′′(x) = −6x +12, 2− 2 p′′(x1) > 0, p′′(x2 ) < 0 2+ 2 x O 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
第三章 三 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大值点 , 极大值点 为函数的极大值 ; 极大值 的极小值点 , 极小值点 为函数的极小值 . 极小值
最小值
f (a), f (b)}
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特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调 单调时, 最值必在端点处达到. 单调
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 .
α 为多少时才可使力F 的大小最小?
解: 克服摩擦的水平分力 正压力
α
F
∴
即 令
F cosα =µ (5 g − F sinα) 5µ g F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα
P
则问题转化为求 ϕ(α) 的最大值问题 .
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−1
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O
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1
结束
x
定理3 判别法的推广 判别法的推广) 定理 (判别法的推广 数,且 则: 1) 当 n为偶数时, 为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n为奇数时, 证: 利用 在 不是极值点 . 点的泰勒公式 , 可得
f (n) (x0 ) ≠ 0,
+
−
f (n) (x0 ) (x − x0 )n f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +L+ n! 当 充分接近 o((时, x0 )n ) + x − 上式左端正负号由右端第一项确定 ,
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ′(x) = 6x (x2 −1)2 ,
f ′′(x) = 6(x2 −1)(5x2 −1)
2) 求驻点 令 f ′(x) = 0, 得驻点 x1 = −1, x2 = 0, x3 =1 3) 判别 因 f ′′(0) = 6 > 0, 故 为极小值 ; 又 f ′′(−1) = f ′′(1) = 0, 故需用第一判别法判别. y
20
A x D
100
B
C 厂C 的运费最省, 问D点应如何取? 解: 设 AD = x (km) , 则 CD = 202 + x2 , 总运费
( k 为某常数 )
(400 + x ) 所以 x =15为唯一的 令 得 极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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5µ g 即 F= , α ∈[0, π] 2 cosα + µ sinα ϕ(α) = cosα + µ sinα 令 则问题转化为求ϕ(α)的最大值问题 .
L 解: L
α
F
P
ϕ′′(α) = −cosα − µ sinα
令 而 ϕ′′(α) < 0, 因而 F 取最小值 .
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y
x1 , x4 为极大值点 x 2 , x5 为极小值点
x3 不是极值点
O a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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极值第一判别法) 定理 1 (极值第一判别法 极值第一判别法
设函数 f (x) 在x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时, (1) f ′(x) “左正右负” ,则f (x) 在x0 取极大值. 左
x1 = 0, x2 =1, x3 = 2
∆ = (−9) − 4 ⋅ 2 ⋅12 = 81− 96 < 0
故函数在 x =x2取最小值 0 ; 0 x =1及 5 取最大值 5. ∴ 2 0 − 9x +12 > 在 2
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 说明 令 ϕ(x) = f 2 (x)
收入函数 R(x) = 9x
O 2− 2
亏损最大
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2+ 2 x 收益最大
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内容小结
1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 正 负 由负变正 负 正 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广
2 令 f ′(x) = 0 , 得 x1 = 5 ;
令 f ′(x) = ∞ , 得 x2 = 0
2 5 2 (5 , + ∞)
x (−∞, 0) + f ′(x) f (x)
0 ∞ 0
2 (0 , 5)
−
0 − 0.33
+
其极大值为 是极大值点， 是极小值点， 其极小值为
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解得
例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
1.4
θ
1.8
x 1.4 +1.8 1.8 − arctan , x ∈(0, + ∞) θ = arctan x x − 3.2 1.8 −1.4(x2 − 5.76) + 2 = 2 θ′ = 2 2 2 x + 3.2 x +1.8 (x + 3.22 )(x2 +1.82 ) 令 θ ′ = 0, 得驻点 x = 2.4∈(0, + ∞) 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 驻点又 唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
定理3
− +
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定理3
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2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
思考与练习
f (x) − f (a) ( = −1, 则在点 a 处( 1. 设 lim 2 x→a (x − a)
B
).
( A) f (x) 的导数存在 , 且 f ′(a) ≠ 0； (B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值; (D) f (x) 的导数不存在.
(2) f ′(x) “左负右正” ,则f (x) 在x0 取极小值; 左
(自证)
点击图中任意处动画播放\暂停
. 求函数 解: 1) 求导数 f ′(x) = x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
2 − 1 5 x−5 + (x −1) ⋅ 2 x 3 = 3 ⋅ 3 3 x
f (0) = 2为极大值 , 但不满足定理1
~ 定理3 的条件.
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二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
则其最值只能 在极值点 端点处达到 . 极值点或端点 极值点 端点 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M = max{
定理2 极值第二判别法 极值第二判别法) 定理 (极值第二判别法 二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
− +
f ′(x) f ′(x) − f ′(x0 ) = lim 证: (1) f ′′(x0 ) = lim x→x0 x − x0 x→x0 x − x0
由f ′′(x0 ) < 0知, 存在 δ > 0, 当 < x − x0 < δ 时, 0 f 故当 x0 −δ < x < x0 时，′(x) > 0; + − f 当x0 < x < x0 + δ 时， ′(x) < 0, x0−δ x0 x0+δ 由第一判别法知 f (x) 在x0 取极大值.
y′ = k (
5x 400 + x 又
2
− 3),
y′′ = 5k
400
2 32
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 − b2 ) , =6 2 2 1 3