【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：6.3 平面向量线性运算的应用

6.3平面向量线性运算的应用学习目标考点学习目标核心素养几何应用通过本节课学习理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性并体会向量在几何和现实生活中的意义数学抽象、数学建模物理应用运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决简单的物理问题数学抽象、数学建模自主预习预习教材P168~170的内容,解决以下问题:1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为()A.-1B.1C.2D.-1或22.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)3.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.4.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=.课堂探究一、向量在平面几何中的应用例1如图所示,MN是中位线,求证:MN∥BC且MN=12BC.例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形.例3如图所示,已知△ABC中,E,F分别是AB,BC的重点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.跟踪训练如图,在直角梯形ABCD中,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2r+3s=()A.1B.2C.3D.4二、向量在物理中的应用例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已经物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小.跟踪训练已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,试用向量的减法来求水流的速度大小.课堂练习1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以ABCD为顶点的四边形是()A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)3.已知在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=14AC,试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.核心素养专练1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则人的实际速度为()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.|v1v2|2.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-73),B(1,13),C(-12,2),D(-72,-2),则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形3.查阅资料,了解更多向量线性运算在平面几何和物理等方面的应用.参考答案自主预习课堂探究:因为M ,N 分别是AB ,AC 边上的中点,所以AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而可知MN ∥BC 且MN=12BC.例2 证明:由已知可设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a. 又因为a+b=b+a ,所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC⃗⃗⃗⃗⃗ , 因此AE FC ,从而可知四边形AECF 是平行四边形.例3 解:因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又因为E ,F 都是中点,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 另外,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(s-2)OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t-2)OE⃗⃗⃗⃗⃗ . 从而由共线向量基本定理可知s=t=2,因此AO∶OF=CO∶OE=2∶1. 跟踪训练 C 解析:根据图形由题意可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以r=12,s=23,所以2r+3s=1+2=3.例4 解:因为物体处于平衡状态,所以F 1+F 2是重力的相反向量,因此|F 1+F 2|=50 N .又由图与向量加法的平行四边形法则可知,F 1+F 2的方向是竖直向上的,且|F 1+F 2|=2|F 1|sin 45°=2|F 2|sin 45°, 所以|F 1|=|F 2|=50N2sin45°=25√2 N . 因此,每条绳上的拉力为25√2 N .跟踪训练 解:设船在静水中的速度为v 1,水流速度为v 2,船的实际速度为v 3,建立如图坐标系.|v 1|=5,|v 3|=205=4,则v 3=(0,4),v 1=(-3,4),v 2=v 3-v 1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).所以|v 2|=3.即水流的速度大小为3 m/s . 课堂学习:因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-3),所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,而|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,故为邻边不相等的平行四边形.2.A 解析:F=F 1+F 2+F 3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0), 设终点为B (x ,y ),则(x-1,y-1)=(8,0),所以{x -1=8,y -1=0,所以{x =9,y =1,所以终点坐标为(9,1).3.证明:设AD⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -a=14b-34a , FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-34AC⃗⃗⃗⃗⃗ =14b-34a , 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且D ,E ,F ,B 四点不共线,所以四边形DEBF 是平行四边形.核心素养专练1.B 解析:由向量的加法法则可得人的实际速度为v 1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.2.A 解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,83),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥DC. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+649=103,|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9+16=5,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是梯形. 3.略第1课时学习目标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.2.会用向量方法解决某些简单的力学问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.自主预习一、预习教材P 168~170的内容,思考以下问题: 1.平面向量是如何体现在几何问题中的? 2.平面向量是如何体现在物理问题中的? 二、复习回顾:1.若a=(x ,y ),则|a|=2.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.如何用向量法证明AB ∥CD ?4.如何用向量法证明A ,B ,C 三点共线?5.若质点O 在三个力F 1,F 2,F 3的作用下处于平衡状态,则三个力满足的关系式为 . 三、自我检测:1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.菱形C.长方形D.正方形2.已知三个力F 1=(-2,-1),F 2=(-3,2),F 3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F 4,则F 4等于( )A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)课堂探究合作探究一:向量在平面几何中的应用例1 如图所示,MN 是△ABC 的中位线,求证:MN ∥BC 且MN=12BC.例2如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形.例3如图所示,已知在△ABC中,E,F分别为AB,BC的中点,AF与CE相交于点O,求AO∶OF与CO∶OE的值.变式训练1若四边形ABCD满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形合作探究二:向量在物理中的应用例4如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知物体所受的重力大小为50 N,求每条绳上的拉力大小.变式训练2用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为N.核心素养专练1.已知四边形ABCD各顶点坐标是A(-1,-73),B(1,13),C(-12,2),D(-72,-2),则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形2.河水的流速为5 m/s,一艘小船想以12 m/s的速度沿垂直河岸方向驶向对岸,则小船的静水速度大小为()A.13 m/sB.12 m/sC.17 m/sD.15 m/s3.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |等于()A.2B.1C.12D.44.当两人提起重量为G的旅行包时,夹角为θ,两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为()A.30°B.60°C.90°D.120°5.如图,设P为△ABC内一点,且2PA⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则S△ABP∶S△ABC=.6.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,设AC=m ,BC=n. (1)若D 为斜边AB 的中点,求证:CD=12AB ;(2)若E 为CD 的中点,连接AE 并延长交BC 于F ,求AF 的长度(用m ,n 表示).参考答案自主预习课堂探究:因为M ,N 分别是AB ,AC 的中点,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MN ∥BC 且MN=12BC.例2 证明:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a , 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AE FC 所以四边形AECF 是平行四边形. 例3 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,选取基底{OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ }, AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴s OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, ∴{s =2,-t =-2.∴s=t=2,∴AO∶OF=CO∶OE=2∶1.变式训练1 D例4 解:因为物体处于平衡状态,所以F 1+F 2+G=0;∴|F 1+F 2|=|G|=50.又由图及向量加法的平行四边形法则知:F 1+F 2的方向竖直向上的, 且|F 1+F 2|=2|F 1|sin 45°=2|F 2|sin 45°.∴|F 1|=|F 2|=50N2sin45°=25√2 N ,∴每条绳上的拉力为25√2 N . 变式训练2解析:如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°,|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,即每根绳子的拉力大小为10 N . 核心素养专练4.D5.1∶56.解:(1)证明:以C 为坐标原点,以边CB ,CA 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,A (0,m ),B (n ,0).∵D 为AB的中点,∴D (n 2,m2),∴|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√n2+m2,|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√m2+n2,∴|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |,即CD=12AB.(2)∵E为CD的中点,∴E(n4,m 4 ),设F(x,0),则AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(n4,-34m),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,-m).∵A,E,F三点共线,∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ .即(x,-m)=λ(n4,-34m),则{x=n4λ,-m=-34mλ,故λ=43,即x=n3,∴F(n2,0),∴|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=13√n2+9m2,即AF=13√n2+9m2.第2课时学习目标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.2.会用向量方法解决某些简单的物理问题,及其他一些实际问题,体现了数学建模的核心素养.自主预习一、复习回顾1.用向量方法解决平面几何问题的步骤及方法.2.用向量方法解决物理问题的步骤.二、自我检测1.已知向量a=(-2,m)与向量b=(1-m,1)平行,则实数m的值为()A.-1B.1C.2D.-1或22.如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.3.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若用坐标表示合力F,则F=.课堂探究合作探究一:向量在平面几何中的应用例1如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.变式训练1如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD⃗⃗⃗⃗⃗ =b.(1)试以a,b为基底表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)求证:A,G,C三点共线.合作探究二:向量在物理中的应用例2一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°方向上,并且A,C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.变式训练2如图,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60°且有一力方向水平,求合力的大小及方向.核心素养专练1.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.|v1v2|2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为()A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)3.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则S△ABDS△ABC=()A.23 B.13C.16D.124.如图,在直角梯形ABCD中,DC⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE⃗⃗⃗⃗⃗ =r AB⃗⃗⃗⃗⃗ +s AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2r+3s=()A.1B.2C.3D.45.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为.6.某物体做斜抛运动,初速度|v 0|=10 m/s ,与水平方向成60°角,不计空气阻力,则该物体在水平方向上的速度是 m/s .7.已知点A (√3,1),B (0,0),C (√3,0),∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于点E ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ等于 . 8.如图,在△ABC 中,M 是BC 的中点,点N 在AC 上,且AN=2NC ,AM 与BN 相交于点P ,求AP∶PM 与BP∶PN 的值.参考答案自主预习略 课堂探究:以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图.令|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.∵CE ⊥AB ,AD=DC ,∴四边形AECD 为正方形.∴各点坐标分别为E (0,0),B (1,0),C (0,1),D (-1,1),A (-1,0). (1)∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴ED⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DE ∥BC. (2)∵M 为EC 的中点,∴M (0,12),∴MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1)-(0,12)=(-1,12),MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)-(0,12)=(1,-12). ∵MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又∵MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M ,∴D ,M ,B 三点共线.变式训练1 解:(1)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b-a ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b.(2)证明:因为D ,G ,F 三点共线,则DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λDF⃗⃗⃗⃗⃗ =12λa+(1-λ)b. 因为B ,G ,E 三点共线,则BG⃗⃗⃗⃗⃗ =μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-μ)a+12μb , 由平面向量基本定理知{12λ=1-μ,1-λ=12μ,解得λ=μ=23, 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a+b )=13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A ,G ,C 三点共线. 例2解:如图所示,设A 地在东西基线和南北基线的交点处,则A (0,0),B (-1 000cos 30°,1 000sin 30°),即(-500√3,500),C (-2 000cos 30°,-2 000sin 30°),即(-1 000√3,-1 000),∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-500√3,-1 500), ∴|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-500√3)2+(-1 500)2=1 000√3(km ). ∴飞机从B 地到C 地的位移大小是1 000√3 km ,方向是南偏西30°. 变式训练2 【解】以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形OACB ,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为合力.由已知可得△OAC 为等腰三角形,且∠COA=30°,过A 作AD ⊥OC 于点D ,则在Rt △OAD 中,|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos 30°=60×√32=30√3,故|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=60√3,即合力的大小为60√3 N ,方向与水平方向成30°角.核心素养专练4.C5.36.57.-38.解:设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3b-a ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b. ∵A ,P ,M 三点共线,∴存在实数x ,使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-xa-3xb , ∵B ,P ,N 三点共线,∴存在实数y ,使BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ya+yb , ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2y )a+(3x+y )b , ∵BA⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+3b , ∴{x +2y =2,3x +y =2,∴x=45,y=35.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.。