Diracδ函数及其性质

但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1， 即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x) 又叫做单位脉冲函数。
很显然，等式：
f (x) (x)dx f (0)
(2)
成立。 f(x)是定义在区间(-∞，∞)上的连续函数。
*定义的另外形式：
在(1)和(2)中变换原点，得到：
(x
]
lim
[sin x ]2 x
lim
当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着 |αx|的增加而减小。所以：
当α→∞时，sin(αx)/(αx)→0 于是有：
sin2 x
lim [
x2
]
lim
[sin x ]2 x
lim
lim [sin x ]2 x
a)
0，x a ，x a
0 0
(3)
f (x) (x a)dx f (a)
其中a为任意常数。
因此用δ(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程， 等效于用a代替x的过程。
在光学里，δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点 的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋 近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。
和
x d (x) (x)
dx
(a x) (x b)dx (a b)
4°复合函数形式的δ函数——δ[h(x)]
设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，…，xn，则在任 意实根xi附近足够小的邻域内有：
h(x)= h'(xi)( x-xi) 其中h'(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数。
所以，当α→∞时， sin x 0 x
于是有：
sin x
sinx
lim [ ] lim [ ] 0
x
x
当α>0时，查找定积分表可得到：
sinx dx
x 所以有：
lim sinx dx lim sinx dx 1
x
x
根据上述讨论可知，函数
sinx 的极限
(x
x0
,
y
y0
)
1 r
(r
r0
,
0
)
其中， r0 x02 y02 证明：
0
arctan(
y0 x0
)
显然，δ(x-x0， y-y0)与δ(r-r0，θ-θ0)的位置是相同的。
δ(x-x0， y-y0)曲面下的体积为：
(
x
x0
,
y
y0
)dxdy
1
而δ(r-r0，θ-θ0)曲面下的体积为：
推论：
(x2 a2 ) 1 [ (x a) (x a)](a 0)
2a
[(x a)(x b)] 1 [ (x a) (x b)](a b)
|ab|
| x | (x2 ) (x)
[sபைடு நூலகம்n(x)] 1
(x n)
n
5°二维函数δ函数 *1、直角坐标系的情况
二维δ函数表示为δ(x, y)，它是位于xy平面坐标原 点处的一个单位脉冲。 二维δ函数是可分离变量函数，即有：
1
2
exp(
x2
2 2
)]
(6)
(
x)
0，x ，x
0 0
(1)
(x)dx 1
(x
a)
0，x a ，x a
0 0
(3)
f (x) (x a)dx f (a)
证明：
由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时，
1
x2
lim G(x) lim[
0
0
2 exp( 2 2 )]
二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算， 它对别的函数的作用只能通过积分来确定。
1°Dirac δ 函数的定义
对于自变量为一维的δ函数——δ(x)来说，它满足
下列条件：
(
x)
0，x ，x
0 0
(1)
(x)dx 1
这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷
大极值，x=0点又称为奇异点。
例1)、
(
x,
y)
1
r
(r)
证明： 显然，δ(x，y)和δ(r)的位置相同。
δ(x，y)曲面下的体积为：
(x, y)dxdy 1
而 (r) 曲面下的体积为： r
1 2 (r) rdrd 1
2
(r)dr d 1
00 r
2
0
可见，脉冲位置和强度都相同，所以坐标变换成立。
例2)、
(ax) (x) (a 0)
|a|
推论1： δ(-x)=δ(x) 说明δ函数具有偶对称性。
推论2：
( x ) | a | (x)(a 0)
a
性质4)、δ函数的乘法性质：如果f(x)在x0点连续， 则有：
f (x) (x x0 ) (x x0 ) f (x0 )
由此得出推论： xδ(x)=0
2)、函数
s in x x
的极限
sin x
lim
x
也满足δ(x)函数的条件：
(x) lim sinx x
(7)
其中α>0。
证明：当x=0时，
sin x
sinx
lim [ ] lim [ ] lim
x
x
当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着
|αx|的增加而减小。
1 2
，x
a
(9)
函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件，即：
(x) d H (x a)
(10)
dx
证明： 很容易看出，当x≠a时，
lim H dH 0 x0 x dx
而当x=a时，
lim H dH x0 x dx
利用分步法计算积分，有：
f (x)[ d H (x a)]dx
δ(x，y)
δ(r)
δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
δ(r-x0，θ)
(r
y0
,
2
)
δ(r-x0，θ-π)
(r
y0
,
3
2
)
(r r0 , 0 )
r0 x02 y02 表1
0
arctan(
y0 x0
)
考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维δ函 数坐标变换的例子：
(x x0 )dx 1
即表明了δ函数的积分性质，这个积分也可称之为δ 函数的‘强度’。由此得出推论：
(x)dx 1
性质2)、筛选性质：式(2)表明了δ函数的筛选性质。
f (x) (x)dx f (0)
而式(3)中的
(2)
f (x) (x a)dx f (a)
则是其推论。
性质3)、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零， 则有：
δ(x, y)= δ(x)·δ(y)
二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的 情形相同。
*2、极坐标系的情况
δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证：
1)、脉冲位置相同；
2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。
只有这样，坐标变换才是等价的。
几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系
直角坐标系(x，y) 极坐标系(r，θ)
一、 Dirac δ函数
❖ 1°Diracδ函数的定义 ❖ 2°Diracδ函数可以用一些连续函数的
序列极限来表示 ❖ 3°Dirac δ函数的性质 ❖ 4°复合函数形式的Diracδ函数——
δ[h(x)] ❖ 5°二维Diracδ函数
M M
Q Q
激光脉冲及
I
其它小光源
早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一 个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强 的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的 数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。
可以表示Diracδ(x)函数，即式(8)成立。
(x)
lim
sin 2 x x2
(8)
4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac δ(x)函数。
根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x) 也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定 义如下：
H
(x
a)
1，x 0，x
a a
1947 年 ， 英 国 物 理 学 家 P.A.M.Dirac 在 他 的 著 作 《Principle of Quantum Mechanics》中正式引入δ(x)， 并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。
δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数’或‘广义函数’， 原因在于：
一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一 种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是 收敛到定值，而是收敛到无穷大；
dx
H (x a) f
(x) |
H (x a) f
'(x)dx
f ()
a
f '(x)dx
f ()
f (x) |a
f (a)
根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(xa)对x的导数可以表示Dirac δ(x)函数，即式(10)成立。
3°Dirac函数的性质
性质1)、积分性质：δ函数的定义式：
0
1 r
(r
r0
)rdr
2
0 ( 0 )d
0 (r r0 )dr
2
0 ( 0 )d 1
可见强度也相同，所以坐标变换成立。
而当x≠0，σ→0时，
lim G(x) lim[ 1 exp( x2 )] 0