(1)弹性波的基本理论
《弹性力学》第十一章 弹性波
15
由于 e 0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2u 2 2 c u 2 2 t
2 2 2 c 2 2 t
2w 2 2 c w 2 2 t
E 其中 c2 2(1 )
v E
得
30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
11
[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
12
在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
弹性波理论在煤矿地质灾害预测中的应用
矿声波法，采矿声发射 法等预测煤矿地质 灾害的 方法，并分析 了弹性波观测法的发展前号 ，
关键词
１ 弹 性 波观 测 的 理 论 基 础
弹性波观测法是一种观测 由人工激发 的弹性波或接受煤岩 破裂 的
（ ） ２ 采矿声 发射 法 。声发 射法就是以脉 冲形式记录弱的 、低能 量的 地音 现 象 。其 主要 特性 是 振 动频 率从 几 十到 至少 ２ ０ Ｈ 或 更 ００ ｚ
弹性 波观测 法所能 够解 决的地 质问题 已从 当初 的构造探测 ，发展 到 下组煤勘探 、陷落柱 、冲刷 带探 测 、 “ 带” 、 与斯突 出监测 三 煤
和独头巷道超前探测等 范畴 ， 已取得 了不少成功 的实例 。但是 ，由 并 于煤矿井下地质条件的复杂性 ， 还存在着 许多不足之处 ，主要体现在
高；能量低于１。 ０ ，下限不定 ；振动范 围从几到大约２Ｏ Ｊ Ｏｍ。声发射研
究 的机理在 于煤岩 体是一 种非均 质体 ，其 中存在 各种微裂隙 、孔隙 等 ，以致煤岩体在受外 力作用 时就会在这些 缺陷 部位产生应力集 中。 发生突发性破裂 ， 使积 聚在煤岩体 中的能量得以释 放 ， 以弹性波的 且 形式 向外传播 。采 矿声发射方 法主要用来 确定正在掘进 的巷道或正在 开采的回采工作面的冲 击矿压危险 ，即：确 定采矿巷道或煤层部分的 冲击矿压危险状态 ；连续监测冲击矿压危险状态的变化 ；冲击矿压防 治措施 的评价及其效 果的控 制。 （ ３）采 矿声波法 。采 矿声波法主 要集 中在研究与采 矿作 业引起 的矿山动力现象 ，确定岩体的物理力学参数 ，提前认识矿床构造点等 问题。采用声波的特 点是声波研究的非破坏性 、从较大范围的岩体内 直接获得 信息 。其所用频 率为几 十￣ ０ ０ ｚ ０ Ｈ 。根 据 采矿地 质条件及
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。
应用地球物理学原理第二章04弹性波的特征
03
弹性波在地壳中的传播
地壳的分层结构
地壳是地球最外层的硬壳，由 岩石和土壤组成，具有明显的 分层结构。
地球的地壳分为多个板块，板 块之间的相互作用可以产生地 震波。
地壳的分层结构对弹性波的传 播具有重要影响，不同层中的 波速和传播方向可能不同。
弹性波在不同介质中的传播
弹性波在固体、液体和气体中传播时具有不同的特征。
地下结构的不确定性可能导致弹性波传播模型的 误差，从而影响解释结果的准确性。
需要对地下结构进行详细调查和建模，以获得更 准确的弹性波传播特征。
数据处理与解释的复杂性
01
02
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弹性波数据的处理涉及 多种算法和技术，如滤 波、反演、成像等，处
理过程较为复杂。
弹性波数据的解释需要 丰富的专业知识和经验 ，对解释人员的素质要
应用地球物理学原理第二章 04弹性波的特征
目录
• 弹性波的基本概念 • 弹性波的物理特性 • 弹性波在地壳中的传播 • 弹性波的应用 • 弹性波的局限性
01
弹性波的基本概念
弹性波的定义
弹性波
在弹性介质中传播的波动现象，由于介质的弹性性质，当 受到外力作用时，介质发生形变并产生恢复力，这种恢复 力会以波动的形式在介质中传播。
资源开发规划
通过分析地下岩层的弹性波特征，评 估资源的可开采性和开发风险，为资 源开发提供科学依据。
环境保护监测
利用弹性波技术监测环境变化，如土 壤污染、地下水污染等，为环境保护 提供技术支持。
05
弹性波的局限性
对地下结构的依赖性
弹性波的传播特性与地下结构密切相关，不同的 地下介质对弹性波的传播有显著影响。
弹性波的传播方式
弹性波可以通过反射、折射、散射等方式传播， 其传播路径和速度受到介质的不均匀性和边界条 件的影响。
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xxσ，yyσ，zzσ剪切应力xyσ，xzσ，yxσ，yzσ，zxσ，zyσ。
弹性波场论基础
//创建文件********** if((fp=fopen("wavefront.dat","w+"))!=NULL) { fprintf(fp,"%d\n",Xn); fprintf(fp,"%d\n",Zn); for(i=0;i<Xn;i++) for(j=0;j<Zn;j++) { fprintf(fp,"%f\n",u[i][j][200]); //地震波传播 0.2 秒是的波前快照 } fclose(fp); } return 0; }
double**er_wei(int x,int y)
{ double **m; m=(double **)malloc(x*sizeof(double*)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double*)malloc(y*sizeof(double)); } rwavefront.dat 文件，用 mat lab 画出此 时的波前。
double**er_wei(int x,int y);//建立动态数组 double***san_wei(int x,int y,int z); int main() { FILE* fp; int i,j,k; double loc,dt,dh,r,f; double ***u,**v,*w; //动态数组 u=san_wei(Xn,Zn,Tn); v=er_wei(Xn,Zn); w = (double*)malloc(Tn*sizeof(double)); //边界条件 dt=0.001;dh=5.0; loc=0; r=2.50;/*滤波主频*/ f=25.0;/*频带宽参数*/
《弹性力学》第十一章 弹性波
E (1 ) 令：c1 (1 )(1 2 )
则上式简写成
2ur 2 ur 2ur 1 2ur r 2 2 0 2 r r r r c1 t
假定
（a）
ur r
27
则 (r, t ) 是位移的势函数。代入（a）式得
3 2 2 2 1 2 2 2 2 0 3 2 r r r r r c1 t r
2u E 1 e 2 ( u) 2 t 2(1 ) 1 2 x
2 E 1 e 2 ( ) 2 t 2(1 ) 1 2 y
2w E 1 e 2 ( w) 2 t 2(1 ) 1 2 z
E (1 ) 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
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二、等容波 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
u w e 0 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
显然，球面波的传播速度等于 c1 (球面波是无旋波）。f 1 表示由内向外传播的球面波， f 2 表示由外向内传播的球面 波。
(1)弹性波的基本理论
在拉伸变形中，物体的伸长总是伴 随着垂直方向的收缩，所以把介质横 向应变与纵向应变之比称泊松比，
d / d L着横向缩短，为使泊松比为正，要加 负号。 显然泊松比是表示物体变形性质 的一个参数，如果介质坚硬，在同样 作用力下，横向应变小，泊松比就小， 可小到0.05 。
U U ( ) grad F 2 t
2 2
(1 1 7)
该式称为矢量弹性波方程。
式中矢量U表示介质质点受外力(F)作用后的 位移，称为位移矢量： U=U（u,v,w） u,v,w分别为三个坐标轴的位移分量。
矢量F表示对介质的外力，称为力矢量，
而对于软的未胶结的土或流体， 泊松比可高达0.45-0.5。 一般岩石的泊松比为0.25左右。
设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产 生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原 体积， △v 是体积变化量。但形状未发 生变化。则这种情况下的应力与应变的比 称为体变模量。
p K v / v
;
E 3K 2 ; 2(1 ) 6 K 2
三、波动方程
• • 是地震波传播规律的方程。 在不同的介质模型中，地震波传播 有不同的规律，各种不同的传播规律需 用不同的传播方程描述。
均匀、各向同性、理想弹性介质是 一种最简单的介质模型。 根据固体弹性动力学理论，地震 波在均匀、各向同性、理想弹性介 质中传播满足以下偏微分方程
界面 h厚度 界面
将速度v是空间连续变化函数的介质 定义为连续介质。连续介质是层状介质的 一种极限情况。即当层状介质的层数无限 增加，每层的厚度h无限减小，层状介质 就过渡为连续介质，如 v=v0(1+z) 叫线性连续介质。V0是表层介质的速度， z是深度，是速度随深度的变化率。