(完整)六年级圆和扇形培优
学而思培优之圆和扇形的周长与面积(二)
3
差不变——化不规则为规则
【例4】(★★★) ( ) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形 边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14) D A E
B
C
F
等积变形——化不可求为可求
【例5】(★★★★) 【例 】( ) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。(π 取3)
圆和扇形的周长与面积(二)
加油站
圆的周长
弓形： 弓形 弓形一般不要求周长 般不要求周长，主要求面积。 主要求面积。 弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
C＝πd 或 C＝2πr
圆的面积
“弯角”：弯角的面积=正方形 弯角 ：弯角的面积=正方形-扇形 扇形
S＝πr2 扇形的弧长 C＝2 r
n 360
“谷子”： “谷子”的面积=弓形面积×2
整体考虑——柳暗花明 【例6】(★★★) (1)如图，求阴影部分的面积。( π取3)
北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) (2)如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以 大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边 为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积 为32平方厘米 问大正方形EFGH的面积是多少？ 为32平方厘米，问大正方形 A E H C F B G D
从简单情况入手 从特殊到一般 【例7】(★★★★★) 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)。那么， 阴影部分的面积是多少平方米？ 12 1 11 2 10
9 8 7 6 5 4
六年级奥数圆与扇形完整版
圆与扇形考点、热点回忆五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的周长、面积计算公式：c d π=或2c r π= 2s r π=半圆的周长、面积计算公式：c rd π=+ 212s r π=扇形的周长、面积：2360a c d r π=+ 2360a s r π=如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。
典型例题：例1、如下列图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。
已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？〔精确到0.01米〕分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。
虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为πR-πr＝π×≈3.83〔米〕。
即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2、有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆〔如左下列图〕，此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。
将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。
而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7〔厘米〕。
例3 、左下列图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。
容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。
右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆〔即2个圆〕的面积之和，为〔2r〕2＋πr2×2=102×50≈257〔厘米2〕。
全国通用六年级下册数学培优课件6.12圆和扇形 (共9张PPT)
阴 影 面 积 = 3 .1 4 6 2 9 0 -6 6 2 = 1 0 .2 （ 6 平 方 厘 米 ） 3 6 0
答：阴影部分的面积是10.26平方厘米。
例3：求下图中阴影部分的面积和周长。
解：阴影部分面积=大扇形－小扇形
阴 影 面 积 = 4 5 3 .1 4 1 0 2 -6 2= 2 5 .1 （ 2 平 方 厘 米 ) 3 6 0 阴影部分的周长=两段弧长＋2×4
阴 影 周 长 = 3 . 1 4 4 5 1 0 6 2 4 2 2 0 .5 6 ( 厘 米 )
3 6 0 答：阴影部分面积是25.12平方厘米，周长是20.56厘米。
例4：下图中阴影部分的周长是多少。
解：阴影周长=弧长+圆周长的一半+直径 。
周 长 = 1 2 3 .1 4 1 0 + 2 0 + 4 5 2 3 .1 4 2 0 = 6 7 . （ 1 厘 米 ）
1、扇形面积公式：S=πr2 n n是圆心角的度数
360
2、扇形的圆弧长=所在圆周长的n n是圆心角的度数
360 3、弓形公式：S弓ACS扇AOC-S△AOC
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月10日星期日2022/4/102022/4/102022/4/10 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/102022/4/102022/4/104/10/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/102022/4/10April 10, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第五单元 圆(培优卷)-六年级数学上册(A3A4答案解析)(答案解析)(人教版)
保密★启用前第五单元圆（培优卷）答案解析1．C【详解】研究圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，π＝3.1415926……但在实际应用中常常只取它的近似值，如π≈3.14。
大约1500多年前，中国有一位伟大的数学家，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这位数学家是祖冲之。
故答案为：C2．C【分析】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形，据此解答即可。
【详解】A．不是扇形；B．不是扇形；C．是扇形；D．不是扇形；故答案为：C。
【点睛】明确扇形的概念是解答本题的关键。
3．A【分析】在一个正方形内画一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长，假设圆的半径为r，于是分别利用圆和正方形面积公式求出各自的面积，再根据的意义即可得解。
【详解】假设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，正方形的面积＝（2r）×（2r）＝4r2圆的面积＝2πr所以正方形的面积与圆面积的比是4r2∶2πr＝4∶π。
故答案为：A【点睛】此题主要考查正方形和圆的面积的计算方法，解答此题的关键是明白：正方形内最大圆的直径等于正方形的边长。
4．D【分析】梯形的上底相当于3块小纸片的边长，下底相当于5块小纸片的边长，上底与下底的和则是8块小纸片的边长，而整个圆的周长对应16个小纸片的边长，因此8块小纸片的边长对应圆周的一半，据此解答。
【详解】整个圆的周长对应16个小纸片的边长，梯形的上底与下底之和是8块小纸片的边长，所以上底与下底之和相当于圆的周长的一半。
故答案为：D【点睛】考查圆的面积公式的推导方法。
5．A【分析】已知车轮的直径是40厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮转一圈所走的距离；求要骑过31.4米的钢丝，车轮要转动的圈数，用要骑过的钢丝长度除以车轮转一圈所走的距离即可，注意单位的换算：1米＝100厘米。
六年级【下】数学-小升初培优：3圆和扇形一 全国通用 (13张)
3 6 0
答：阴影部分面积是25.12平方厘米，周长是20.56厘米。
解：假设大圆中的三个圆半径分别为
r1、r2、r3，大圆半径为R。
r1+r2+r3=R C大圆 C1+2+3=3.14×2r1+3=.134.1×4×2r22+R3.14× 2r3 =3.14×2(r1+r2+r3)
怎样才能得到一 个最大的圆呢？
10cm
5cm 10cm
S1 05125(0cm 2) 2
答：正方形面积是50平方厘米。
解：阴影部分面积=大扇形－小扇形阴影部分的周长=两段弧长＋2×4
阴 影 面 积 = 4 5 3 .1 4 1 0 2 -6 2= 2 5 .1 （ 2 平 方 厘 米 ) 3 6 0
答：阴影部分面积是78.5平方米。
2m
2m
4.5m
S圆=3.14×12×2=6.28(m2)
S剩=2×4.5-6.28=2.72(m2)
答：剩下铁皮面积是2.72平方米。
S圆=3.14×52=78.5(cm2)
10cm
10cm
S剩=10×10-78.5=21.5(cm2)
答：圆形铁皮面积是78.5平方厘米， 剩下面积是21.5平方厘米。
13、圆和扇形（一）
解：根据扇形面积公式和扇形的圆弧长公式来解题。
S36600° ° 3.1466=18.84cm 2 C36600° °3.1462=6.28cm 答：阴影部分的面积是18.84平方厘米， 弧AB的长度是6.28厘米。
解：弓形面积=扇形面积－三角形AOC的面积
六年级下册数学培优教案-612圆和扇形全国通用什么是培优
六年级下册数学培优教案-612圆和扇形全国通用什么是培优12圆和扇形学习目标:1、使学生比较熟练地应用圆和扇形周长及面积公式解决相关问题。
教学重点:掌握圆和扇形周长、面积的计算公式。
教学难点：灵活运用公式求圆和扇形的周长、面积。
教学过程：一、故事情景师：老师有个问题需要大家解决。
（课件演示）草地上一根长6米的绳子，一端拴在木桩上，另一端拴着一只羊。
那么，小羊最多能吃到多少平方米草？你知道羊吃草的面积是什么吗？生：计算一个半径为6米的圆的面积。
师：你会求这个圆的面积吗？生：圆形的面积=πr2师：如果木桩在木栅栏旁边，小羊最多能吃到的草又是多少平方米呢？提示学生木栅栏呈90度，展示ppt生：吃草面积是一个扇形。
师:你会求扇形面积吗？今天我们一起继续来了解圆形和扇形面积。
二、思维探索（建立模型）展示例题：例1：如图，n=60°，半径为6厘米，扇形的面积是多少？弧AB的长是多少？师：大家记得扇形的面积公式吗？生：记得，S扇形=师：我们观察图中的条件有哪些，你能求出扇形面积吗？生小组讨论。
师：我们如何求弧AB的长呢？生：因为圆的周长是360度的圆心角所对应的弧长，所以圆心角占360度的几分之几，其所对应弧长占圆周长的几分之几。
师：接下来大家自己完成。
小结：展示例题：例2：直角三角形AOC的直角边OA=6厘米，求弓形AC的面积。
师：我们之前学会求扇形的面积，那怎样求弓形面积呢？生：弓形AC的面积等于扇形面积减三角形面积。
师：很好，扇形面积和三角形面积都能求出来吗？已知条件有什么呢？生小组讨论汇报。
生：已知扇形的圆心角是90度，半径是6厘米。
三角形是一个等腰直角三角形，它的直角边就是圆的半径6。
师：大家自己算出结果。
生独立完成，师板书小结。
小结：三、思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例3：求下图中阴影部分的面积和周长。
师：大家仔细观察图中阴影部分面积？生小组尝试总结生：用大扇形面积减去小扇形面积。
师：大扇形和小扇形的圆心角和半径都知道吗？提示学生大扇形的半径。
圆与扇形进阶 培优奥数课件 小学数学六年级
知识精讲 捆绳问题的秘密
捆绳问题总结 基本方法 确定圆心，连点作答，应用公式。 规律总结 绳子的长度＝外圈圆的个数×直径+圆的周长
知识精讲 旋转与轨迹
若线段绕某个点顺时针或逆时针进行旋转，旋转的线段的 长度即圆的半径，旋转360º所形成的图形是圆形，旋转其 他较小的度数，所形成的图形是扇形。
做此类题型时，千万要注意避开单位坑，注意 已知条件与问题单位的异同，计算后，进行单 位换算，单位变小，数要变大。单位变大，数 要变小。
10×10＝100 3.14×10²÷4＝78.5 100－78.5＝21.5
例题8 下面3幅图中互相垂直的两条线段的长度均为10，求各图阴影部分 的面积。
3.14×10² ÷4＝78.5 78.5×2＝157 10×10＝100 157－100＝57
例题9
下图中圆的周长是20厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等， 则图中阴影部分的周长是多少厘米？ 设长方形的长为a,则πr² ＝ar，由此可 得，a＝πr。 由此得，阴影部分周长由四分之一圆+一 个圆的周长组成，列式可得。 20÷4+20＝5+20＝25(厘米 )
每份的面积 (16π )÷(2π ) ＝8 正方形面积 8×4＝32 小圆面积 8π
答 正方形的面积是32，里面小圆的面积是8π。
例题6 一根绳子将三根圆形的木头紧密地捆在了一起，已知一根木头的横 截面是半径为4的圆，求绳子的长度。 圆的周长 3.14×2×4＝25.12
圆的六条半径 4×6＝24
知识精讲 解几何问题的解题技巧
1.转化思想。也就是复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟 悉的。 2.等积变形。割补，平移，旋转，平行线间进行等积变形。 3.借来还去。加减法。 4.外围入手，曲线救国。从会求的图形或者能求的图形入 手，看与要求的部分之间的关系。 5.容斥原理。实际上这种思想是贯穿于加减法始终的。我 们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部 分面积。 6.差不变原理。同加同减差不变。 7.整体减空白，用大图形的面积减去小图形的面积。
人教版数学六年级上册第五单元圆培优测试卷 附答案
人教版数学六年级上册第五单元圆培优测试卷一、选择题1．下图中能找到扇形的是（ ）。
A ．B ．C ．D ．2．在观看现场表演的时候，人们常会围成圆形，这是应用了圆特征中（ ）。
A ．圆中所有线段，直径最长 B ．同圆中的半径都相等 C ．圆是轴对称图形D ．同圆中直径是半径的2倍3．明明用两根同样的铁丝分别做了一个正方形和一个圆，它们的面积相比，（ ）。
A ．正方形面积大B ．圆的面积大C ．一样大D ．无法判断4．计算一个半径是r 的半圆周长，列式为（ ）。
A ．2πrB ．r 2πr ＋C ．πrD ．πr 2r ＋5．一元硬币的周长是7.85cm 这个储钱罐能否放进一元的硬币？（ ）A ．能B ．不能C ．无法确定6．如图，一个半径为4米的旋转木马场地的周边留出1米宽的小路，那么小路的面积是（ ）平方米。
A ．23.141⨯B ．()23.1441⨯-C ．()223.1441⨯-D ．()223.1454⨯-7．将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长比原来圆的周长多了8分米。
这个圆的面积是（）平方分米。
A．12.56B．25.12C．50.24D．200.968．图中涂色部分的面积是（）cm2。
A．12.56B．10.99C．9.42D．4.71二、填空题9．图中阴影面积是甲圆面积的16，是乙圆面积的14，乙圆面积是甲圆面积的( )。
10．下图阴影部分的面积是( ) cm2。
11．把一张周长是16cm的正方形纸片剪成一个最大的圆，这个圆的直径长( )cm，周长是( )cm。
12．湖面上泛起的水波，形成一组组同心圆，其中有两个相邻水波小圆半径相当于大圆半径的35，这时小圆扩散面积是大院扩散面积的()()。
13．从一个长5dm，宽4dm的木板中锯下一个最大的圆，这个圆的面积是( )2dm｡14．小圆半径是4cm，大圆的半径是6cm，小圆周长与大圆周长的最简整数比是( )，小圆面积与大圆面积的比值是( )。
第五单元 圆(培优卷)-六年级数学上册(A3A4答案解析)(A3版)(人教版)
保密★启用前第五单元圆（培优卷）考试分数：100分；考试时间：90分钟注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共16分）1．大约1500多年前，中国有一位伟大的数学家，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，这位数学家是（）。
A．贾宪B．刘徽C．祖冲之D．张衡2．下图中的涂色部分是扇形的是（）。
A ．B．C ．D．3．在一个正方形内画一个最大的圆，这个正方形与圆面积的比是（）。
A．4∶πB．π∶4 C．4∶1 D．4∶34．下图是小明研究圆的面积计算公式时用的方法，此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的（）。
A．半径B．直径C．周长D．周长的一半5．马戏团小猴表演骑独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过31.4米的钢丝，车轮要转动（）圈。
A．25 B．30 C．50 D．406．把一个圆沿半径剪成若干等份，拼成一个近似平行四边形（如图），近似平行四边形的周长比圆的周长增加了20厘米，圆的面积是（）平方厘米。
A．62.8 B．314 C．628 D．12567．下面图形中，对称轴条数最多的是（）。
A．B．C．D．8．圆的周长是6.28m，它的面积是（）m2。
A．3.14 B．6.28 C．0.785 D．7.85二、填空题（共16分）9．下图是聪聪在研究圆的面积计算公式时用的方法，此时，近似的梯形的上底与下底的和相当于圆的( )。
10．大圆和小圆的半径比是2∶1，它们的周长比是( )，面积比是( )。
11．李明家的挂钟的分针长8厘米，经过15分钟分针的尖端所走的路程是( )厘米；经过30分钟扫过的面积是( )平方厘米。
六年级下册数学培优教案6.12：运用圆和扇形解决实际问题
这次的数学课，我们将通过学习圆和扇形的相关知识，来解决一些实际问题。
一、概念讲解1.圆的相关概念（1）圆心：圆的中心点，记为O。
（2）半径：圆心到圆上任一点的距离，记为r。
（3）直径：过圆心的任意两个点之间的线段，记为d，它是圆的最长的线段。
（4）周长：圆的周长是圆上任意两点的距离之和，记为C。
（5）面积：圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和，记为S。
2.扇形的相关概念扇形是由圆心O、弧AB及弦AB所确定的图形。
（1）圆心角：圆心O对应弧AB所对应的角，记为∠AOB。
（2）弧长：弧AB的长度，记为L。
（3）扇形面积：扇形的面积是由圆心角∠AOB所对应的圆弧AB 与弦AB所围成的图形，记为S。
二、例题解析例1：一个直径长为8cm的圆上分别有两个点A、B，连接线段AB 并延长直线产生了一个角度为130度的扇形，问这个扇形的面积大小是多少？根据扇形的相关概念，可得扇形的面积公式为 S=(1/2)r²∠AOB，其中∠AOB为圆心角，r为半径，可以得出该题的计算过程：半径 r = 直径 d / 2 = 4cm∠AOB = 130度则该扇形的面积 S= (1/2)×4²×130/360≈4.07 cm²例2：一个直径长为16cm的圆上分别有两个点A、B，连接线段AB并延长直线产生了一个扇形，现在我们需要切掉这个扇形，使其成为一个角度为60度的扇形，请问我们需要切掉多少部分？根据扇形的相关概念，可得扇形的面积公式为 S=(1/2)r²∠AOB，其中∠AOB为圆心角，r为半径，可以得出该题的计算过程：半径 r = 直径 d / 2 = 8cm原扇形的面积S= (1/2)×8²×120/360≈16.75 cm²要变成角度为60度的扇形，切掉的部分即为原扇形与所求扇形的差值，该差值即为：(120-60)/360×4²π≈8.38 cm²最终我们需要切掉的部分为 16.75-8.38≈8.37 cm²三、实际应用圆和扇形除了被用来作园艺、工程等方面的设计，还可以用来解决一些实际问题。
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圆和扇形
【知识点梳理】
1、圆的周长：
2、弧长：l＝其中r为半径，n为圆心角度数。
3、扇形的周长：其中r为半径，n为圆心角度数。
4、圆环的周长：其中R为外圆半径，r为内圆半径。
5、圆的面积：
6、圆环面积：其中R为外圆半径，r为内圆半径。
7、扇形的面积：其中r为扇形的半径，n为圆心角度数。
【课前速练】
练习1：如图，求半圆的面积和周长。
练习2：一个环形胶垫，它的外圆半径是10厘米，内圆半径是6厘米。
这个胶垫的面积是多少平方厘米？
练习3：有一个运动场，它的的两头是半圆形，中间是长方形。
围绕这个运动场跑两圈是多少米？这个运动场的面积是多少平方米？
练习4：一种中国圆形指针式手表，分针长3厘米，分针从12走到9，扫过的面积是多少？针尖走过的路程是多少厘米？
练习5：用圆规画一个周长是25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离应是多少厘米？
【热点考题讲析】
例题1：求图中阴影部分的周长。
例题2：图中圆的周长是18.84厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少？
例题3：计算图中阴影部分的面积和周长。
例题4：下图正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积和周长。
（选做）例题5. 如图，阴影部分的周长为多少厘米？
（半径r=4厘米，π取3.14）
（选做）例题 6. 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的
4
15
，是小圆面积的
3
5
．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米?。