张量分析第一章

（2.1-14） （2.1-15） （2.1-16）
e123a1b2 i3 e231a2b3i1 e312 a3b1i2 e132 a1b3 i2 e321a3b2 i1 e213a2b1i3 (a2b3 a3b2 ) i1 (a1b3 a3b1 ) i1 (a1b2 a2b1 ) i2 i1 i2 a1 a2 b1 b2 i3 a3 b3
i1 a b a1 b1 i2 a2 b2 i3 a3 b3
（2.1-13）
a b b a ,
c a ) c (a b )
(a b ) c (a c ) b (b c ) a
a b e ijk ai b j ik
o b
b a a
图2－2
例1： 给定二维矢量空间矢量x。试求在 给定基底r1，r2（非正交）和i1，i2 中的坐标和投影。 解： 在r1，r2基底上按平行四边形法则 ，可确定x的坐标为（x1， x2）。 按投影法则可的x在r1， r2上的投 影为X1，X2。或形式上记为（X1 ，X2）。如图2－3（a）所示。 在i1，i2基底上，因 i1⊥ i2，所以平行 四边形法则所得四边形与投影法则所 得四边形重合。显然x的坐标（x1，x2 ）和x在i1，i2上的投影（ X1，X2）形 式上相同。如图2－3（b）所示。
例7： a、b∈V。证明： a b a 证： (a b) (a b) a [b (a b)]
x ( xi ii ) ( xi )ii x y ( xi yi ) ii
（2.1-2）
定义 x 与 y 的逆矢量（- y）的加法运算为 x 与 y 的减法 运算（ x 减 y 或 x 与 y 之差）
x y x ( y ) ( xi yi ) ii
i 1 i 3 e 13k i k e 132 i 2 i 2 ; i 2 i 3 e 23k i k e 231 i 1 i 1
综合以上各式可得：
i i i j eijk i k e jkii k ekij i k
（2.1-12）
例5： 证明矢量的叉积和混合积有以下结论： 1． 2． 3． 4． 证： 1．
(a b ) c [(a1i 1 a2 i 2 a3 i 3 ) (b1i 1 b2 i 2 b3i 3 )] (c1i 1 c2 i 2 c3 i 3 ) (a1b2 i3 a1b3 i2 a2b1i3 a2b3 i1 a3b1i2 a3b2 i1 ) (c1i 1 c2 i 2 c3 i 3 ) c2 (a2b3 a3b2 ) i3 c3 (a2b3 a3b2 ) i2 c1 (a3b1 a1b3 ) i3 c3 (a3b1 a1b3 ) i1 c1 (a1b2 a2b1 ) i2 c2 (a1b2 a2b1 ) i1 (b1i1 )a3c3 (b1i1 )a2 c2 (b1i1 ) a1c1 (b1i1 ) a1c1 (b2 i2 )c1a1 (b2 i2 )c3a3 (b2 i2 )a2c2 (b2 i2 )c2 a2 (b3 i3 )c2 a2 (b3 i3 )c1a1 (b3 i3 )c3a3 (b3 i3 )c3a3 (a1i1 )c3b3 (a1i1 )c2b2 (a1i1 )c1b1 (a1i1 )c1b1 (a2 i2 )c1b1 (a2 i2 )c3b3 (a2 i2 )c2b2 (a2 i2 )c2b2 (a3 i3 )c2b2 (a3 i3 )c1b1 (a3 i3 )c3b3 (a3 i3 )c3b3 (b1i1 )(a1c1 a2 c2 a3c3 ) a1b1c1i1 (b2 i2 )(a1c1 a2c2 a3c3 ) a2b2c2 i2 (b3 i3 )(a1c1 a2c2 a3c3 ) a3b3c3 i3 (a1i1 )(b1c1 b2 c2 b3c3 ) a1b1c1i1 (a2 i2 )(b1c1 b2c2 b3c3 ) a2b2c2 i2 (a3 i3 )(b1c1 b2c2 b3c3 ) a3b3c3 i3 (a c )b (b c )a
设r1，r2，r3是V的一组基底，由（1.3-2）式可知x ∈V可 在r1，r2，r3的基底上唯一地线性表示为：
x xi ri
x3
其系数xi (i =1, 2, 3 )称为x在基底r1，r2， r3上的坐标。且记为（x1，x2，x3）。x 在r1，r2，r3上的线性表示实质上是x的 加法分解表示。即x是矢量 x1r1，x2r2， x3r3 ∈ V 的矢量和。由平行四边形法则 ，x1，x2，x3是由平行性所确定（如图 2－1）。
r3
r2
r1
x2
x1
图2－1
投影： 对a、b ∈V将b的始点平移至a的始点o；由b的终点作与a 矢量线垂直的垂线。且与a矢量交与a点；则a矢量的始点 o指向a点的有向线段长度值称为b在a上的投影。 注意： a矢量的始点o指向a点与a矢量 方向一致，其投影值为正 。 a矢量的始点o指向a点与a矢量 方向相反，其投影值为负 。


a、 b、 c V
（2.1-8）
Kronecker符号三维矢量空间 取值表：
11 i 1 i 1 1; 12 i 1 i 2 0 ; 13 i 1 i 3 0 21 i 2 i 1 0 ; 22 i 2 i 2 1; 23 i 2 i 3 0 31 i 3 i 1 0 ; 32 i3 i 2 0 ; 33 i 3 i 3 1
（2.1-3）
在矢量的加法和减法运算中定义单位元素为：
o 0 i1 0 i2 0 i3
同时长度为1的矢量称为单位矢量。 应当注意单位矢量元素和单位矢量的区别。
例2： 图 2－4 所示具有坐标系的矢空间 V 中 矢量a、 b。试求 2a +1.5b在{o；i1， i2 }中的表示。 a (3 1) i 1 (1 0) i 2 2 i 1 i 2 解：
i 1 i 2 e 12 k i k e 123 i 3 i 3
; i 3 i 1 e 31k i k e 312 i 2 i 2 ; i3 i 2 e 32 k i k e 321 i1 i 1 ; i 3 i 3 e 33k i k o
例6：
证明e—δ恒等式： eijk eimn jm kn jn km 证： 由（2.1-12）式有：i j ik e jkiii eijkii
im in emne ie eemn ie
eijkeemn ii ie (i j ik ) (im in ) (eijkii ) (eemnie ) (i j ik ) (im in ) eijkeemn ie (i j ik ) (im in )
第二章 矢量代数和矢量分析
在第一章中给出了Euclid矢量空间V。V中的元素是除度量 大小的数量外还具有方向的量。这些量被称为矢量（按张 量空间的一般叙述，矢量也被称为一阶张量）。这一章主 要对具有给定标准正交坐标系 {o；i1，i2，i3}的Euclid矢量 空间进行讨论。
2.1 矢量集合的运算
（2.1-9） （2.1-10）
但应当特别注意的是： ii 11 22 33 3 Ricci置换符号三维矢量空间 取值表：
e123 e231 e312 1 eijk 0 (下标为偶置换) (下标为奇置换) (下标的其它排列 ) e132 e321 e231 1
X2
x2
x r2 o r1 x1 (a) X1
x2 i2 x i1 x1 X1
X2
(b)
图2－3
设V的坐标系为{o；i1，i2，i3}，V中矢量的加法和矢量与 数量的标量积按（1.1-3）和（1.1-4）定义，即对x，y ∈ V；α，β ∈F有 x y xi yi
i i i i
( xi yi ) ii
（2.1-4） （2.1-5）
1 ; i j i i i j ij 0 ; i j
其中δij称为Kronecker符号。 定义矢量积
a b (ai i i ) (b j i j ) eijk ai b j i k ; a, b V
（2.1-6） （2.1-7）
（2.1-11）
i 1 i 1 e 11k i k o
例4： 若i1，i2，i3是V的标准正交矢量。计算ii×ij (i , j = 1,2,3) 。 解：
; i2 i 1 e 21k i k e 213 i 3 i 3 ; i 2 i 2 e 22 k i k o
eijk
1 ; i j k , i、 j、 k偶置换 1 ; i j k , i、 j、 k奇置换 0 ; 其它情况
其中eijk称为Ricci置换符号。 定义混合积
a (b c) (ai ii ) (b j i j ) (ck i k ) eijk ai b j c k ;
i3 i1 a3 b1 b3 a1 i2 b2 a2 i3 b3 b a a3
2．
i1 a b a1 b1
i2 a2 b2
a a a a a a 0
3． 4．
a (b c ) eijk ai b j ck eijk bi c j ak b (c a ) eijk bi c j ak eijk ci a j bk c (a b)
b (1 2) i 1 (3 1) i 2 i 1 2i 2 2a 4 i 1 2 i 2 1.5b 1.5 i 1 3i 2 2a 1.5b (4i 1 2 i 2 ) (1.5 i 1 3i 2 ) 2.5 i 1 5i 2