立体几何导学案

图

一、选择题

1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是( ) A.

B.3

C.4

D.5

2.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A.1∶2

B.2∶3

C.1∶3

D.1∶4

3、下列说法正确的是

A 、三点确定一个平面

B 、四边形一定是平面图形

C 、梯形一定是平面图形

D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点

4、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）

A 、平行

B 、相交

C 、异面

D 、以上都有可能 5、在正方体

1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是

（ ）

A 、11AC AD ⊥

B 、11D

C AB ⊥

C 、

1AC 与DC 成45 角 D 、11AC 与1B C 成60

角

6、若直线l ∥平面α，直线a

α?，则l 与a 的位置关系是 （ ）

A 、

l ∥α B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a

没有公共点 7、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，

a ∥

b ，则a ∥M ；③若a ⊥

c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（ ）

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个 9.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为

的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )

A. B.1 C. D.

10.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）

A ．9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π

11.如图1，E 、F 分别是正方体

1111D C B A ABCD -中1AD 、C B 1上的动点（不含端点），则四边形FDE B 1的俯视图可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

12、（江门市2014届高三调研考试）若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）

① 若α//a ，α//b ，则b a // ② 若α//

c ，α⊥b ，则b

c ⊥

③ 若α⊥c ，β//c ，则β

α⊥

④ 若α?b

，α?c 且b a ⊥，c a ⊥，则α

⊥a

13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体

的体积为( )

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

14．平面α截球O 的球面所得圆的半径为

1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )

A.6π

B ．43π

C ．46π

D ．63π

二．填空题

15．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填

入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥

②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱⑤圆锥 ⑥圆柱

16．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．

17.如图是一个几何体的三视图(单位:cm),则这个几何体的表面积是_____ cm 2

.

18.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形,

(1)求该几何体的体积V. (2)求该几何体侧面积S.

19. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，

AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．

20.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

（1）求证：直线AB 1∥平面C

1DB ；

（2）求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值。

21.如图AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥平面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ， 求证：⑴平面 BCD

平面ACD ⑵BD ⊥平面AEF

A 1

C 1

C

B

A

B 1

F E P C

A

1、已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点（1）求EF 与PC 所成的角； （2）求线段EF 的长

2、已知正方体

1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：（１）C 1O ∥面11AB D ； （2 ）1

AC ⊥面11AB D ．

3.、(12分)正方体ABCD-A 1

B 1

C 1

D 1的棱长为1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心

（1）证明：PQ ∥平面DD

1C 1C ；（2）求线段PQ 的长； （3）求PQ 与平面AA 1D 1D 所成的角

4.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥

底面

ABCD ，PA AD ⊥，E 和F

分别是CD 和PC 的中点，求证：

（1）PA ⊥底面ABCD （2）//BE 平面PAD

（3）平面BEF ⊥平面PCD

5.如图，直棱柱ABC －A ’B ’C ’的各棱长都相等，D 为BC 中点，CE ⊥C ’D 于E

（1） 求证：CE ⊥平面ADC ’

6.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD .

1

D 1

O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C

7.如图，在三棱柱

111ABC A B C -中，1,BC BC BC AB ⊥⊥,1BC AB =，,,E F G 分

别为线段

1111,,AC AC BB 的中点，求证：

（1）平面ABC ⊥平面1ABC ； （2）//EF

面11BCC B ； （3）GF ⊥平面11AB C

2 高考链接

2011年18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，

60DAB ∠=?

，

2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

2012年三棱柱

1

1

1

C

B A

ABC -中，侧棱垂直底面，

90=∠ACB 12

1

AA BC AC =

=，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 （1）证明：平面BDC BDC ⊥1（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分的

体积比

2013年18.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．证明：

(1) BC1//平面A1CD;(2)设AA1= AC=CB=2，AB=2

2(2）求三棱锥C 一A1DE 的体积.

知识点梳理：

一、空间几何体的三视图和直观图

1.投影分为中心投影和平行投影；平行投影分为斜投影和正投影，正投影得到的图形与原图全等。

2、三视图定义：

①光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图。

②光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图。

③光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图。

④几何体的正视图，侧视图和俯视图统称几何体的三视图。

3、三视图画法注意：①“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；

②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.

二、简单几何体的表面积与体积

1．旋转体的表面积

(1) 圆柱的表面积S ＝2πr2＋2πrl(其中r 为底面半径，l 为母线长) ．

(2) 圆锥的表面积S ＝πr2＋πrl（其中r 为底面半径，l 为母线长) ．

(3) 圆台的表面积公式S ＝'22'

r r r l rl

+++其中r′、r 为上、下底面半径，l 为母线长) ．(4) 球的表面积公式S ＝4π2

R( 其中R 为球半径) ．

2．几何体的体积公式

(1)柱体的体积公式V＝Sh(其中S为底面面积，h为高)．

(2)锥体的体积公式V＝

1

3Sh(其中S为底面面积，h为高)．

(3)台体的体积公式V＝

1

3(S＋SS′＋S′)h(其中S′、S为上、下底面面积，h为高)．(4)球的体积公式V＝

4

3

π3

R(其中R为球半径)．

一、高考考试要求

2．点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂

直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明.

◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直

线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

二、近五年高考题（小题）

1. （广东卷8）设l为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．若//

lα，//

lβ，则//

αβ B．若lα

⊥，lβ

⊥，则//

αβ

C．若lα

⊥，//

lβ，则//

αβ D．若αβ

⊥，//

lα，则lβ

⊥

2.（浙江卷4）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）

A、若m∥α，n∥α,则m∥n

B、若m∥α，m∥β,则α∥β

C、若m∥n，m⊥α,则n⊥α

D、若m∥α，α⊥β,则m⊥β

3.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）

（A）A．

1

6

B C．

1

3

D

7. （江苏卷8）如图，在三棱柱ABC

C

B

A-

1

1

1

中，F

E

D,

,分别是

1

,

,AA

AC

AB

的中点，设三棱锥ADE

F-的体积为

1

V，三棱柱ABC

C

B

A-

1

1

1

的体积为

2

V，则

=

2

1

:V

V .

2009-文9．如图，正方体

1111

ABCD A BC D

-的棱线长为1，线段

11

B D上有两个动点

E，F，且

1

2

EF=，则下列结论中错误的是

A.AC BE

⊥

B.//

EF ABCD

平面

C.三棱锥A BEF

-的体积为定值

D.AEF BEF

??

的面积与的面积相等

2015年19.如图,长方体

1111

ABCD A BC D

-中AB=16,BC=10,

1

8

AA=,点E,F分别在

1111

,

A B D C上,

11

4.

A E D F

==过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成

一个正方形. （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面α把该

长方体分成的两部分体积的比值.

1

A

F

1

B

1

C

2014年18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设置AP=1，AD=

3,三棱锥 P-ABD 的体积V=

4

3

，求

A

到平面

PBD 的距离。

2012辽宁卷

(18)(本小题满分12分)

如图，直三棱柱/

//

ABC A

B C

-，90

BAC ∠=

，

/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的

中点。 (Ⅰ)证明：MN ∥平面//

A ACC

;

2013年18.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．证明：(1) BC1//

平面A1CD;(2)设AA1= AC=CB=2，AB=

，（2）求三棱锥C 一A1DE 的体积.

2012年19、如图，三棱柱

1

11C B A ABC -中，侧棱垂直底面，

90=∠ACB 12

1

AA BC AC =

=，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (I)

证明：平面BDC BDC ⊥1

；

(II)

平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分的体积比。

2011年18

．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB

∠=?，

2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

2010年（18） 如图，已知四棱锥P ABCD -

的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为

H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;

（Ⅱ）若

AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

2013文（1）19.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB,AB=A A 1,∠

BA A

1=600

.

（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C; （Ⅱ）若AB=CB=2, A 1C=,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积

1.（北京17）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，

2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和

PC 的中点，求证：

（1）PA ⊥底面ABCD （2）//BE 平面PAD （3）平面BEF ⊥平面PCD

2..（福建18）如图，在四棱锥P ABCD -

中，PD ABCD ⊥面，//AB DC ，

AB AD ⊥，5BC =，3

DC =，4AD =，60PAD ∠= ．

（1）当正视图方向与向量AD

的方向相同时，画出四棱锥P ABCD -的正视图.（要

求标出尺寸，并画出演算过程）； （2）若M 为PA 的中点，求证：//DM PBC 面；

（3）求三棱锥D PBC -的体积．

3..（广东卷18）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边

上的点，AD

AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将A

B F ?沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -

，其中2

BC =

．

(1) 证明：DE //平面BCF ；(2) 证明：CF ⊥平面ABF ；

(3) 当2

3

AD =

时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．

4.（安徽卷）

（19）（本小题满分13分）

如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段

AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC EF ∥； （Ⅱ）求棱锥F

OBED -的体积.

5..（江苏卷16）如图，在三棱锥

S ABC -中，平面

S A B ⊥

平面

S B C ，

AB BC

⊥,

AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F

，点

E ,G

分别是侧棱

SA ,SC

的中点. 求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥.

6

.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点

（I ）求证：BC

PAC ⊥平面；

（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面

7..（陕西卷18）如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O

⊥平面ABCD , 1AB AA =

(Ⅰ

) 证明: A

1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.

8..如图，四棱锥ABCD P -

的底面边长为

8的正方形，四条侧棱长均为172.点

H

F E

G ,,,分别是棱

PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥

GEFH 平面

ABC D ，//BC 平面GEFH . (1)证明：;//EF GH

(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.

1

9..如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中

,E,F,P,Q,M,N 分别是棱AB,AD,DD 1,BB 1,A 1B 1,A 1D 1的中点.求证:

(1)直线BC 1∥平面EFPQ. (2)直线AC 1⊥平面PQMN.

10、（14分）已知1111ABCD A BC D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =。求：

⑴ 异面直线BD 与

1AB 所成的角余弦值的大小；

⑵ 四面体11AB D C 的体积。

D

B

D 1

B