高等代数第四章矩阵练习题参考答案().doc
(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案
第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。
若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
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第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
高等代数第四版习题答案
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
高等代数课后习题1-5章答案
高等代数课后习题1-5章答案高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，对于数学专业的学生来说，掌握这门课程的知识和解题技巧至关重要。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面，我将为大家详细解答高等代数 1-5 章的课后习题。
第一章主要介绍了多项式的基本概念和运算。
在这一章的习题中，我们经常会遇到多项式的整除、最大公因式、因式分解等问题。
例如，有这样一道题：设\（f(x)＼）和\（g(x)＼）是两个多项式，且\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），证明：对于任意的多项式\（h(x)＼），都存在多项式\（u(x)＼）和\（v(x)＼），使得\（f(x)u(x) ＋ g(x)v(x) ＝h(x)＼）。
解答这道题，我们可以利用辗转相除法来求出\（f(x)＼）和\（g(x)＼）的最大公因式。
因为\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），所以存在\（u_1(x)＼）和\（v_1(x)＼），使得\（f(x)u_1(x) ＋ g(x)v_1(x) ＝ 1\）。
然后，将等式两边同时乘以\（h(x)＼），得到\（f(x)（u_1(x)h(x)）＋ g(x)（v_1(x)h(x)）＝ h(x)＼），令\（u(x) ＝ u_1(x)h(x)＼），＼（v(x) ＝v_1(x)h(x)＼），即证明了结论。
第二章是行列式的相关内容。
行列式的计算是这一章的重点和难点。
比如，有一道求行列式值的题目：＼（＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼）对于这道题，我们可以按照行列式的展开法则进行计算。
先按照第一行展开：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix} －1 ＆ 2 ＼＼ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＋3\times\begin{vmatrix} 1 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 2 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(－1\times1 2\times2) 1\times(1\times1 2\times3) ＋3\times(1\times2 （－1)＼times3)＼＼＝＆2\times(－5) 1\times(－5) ＋ 3\times(5)＼＼＝＆－10 ＋ 5 ＋ 15\＼＝＆10＼end{align}＼第三章是线性方程组。
高等代数第四章及其习题答案
α b11
A1 0
= B1 0
β a11b11 a11β + α B1
A1 B1
，
为上三角形矩阵， 由归纳法假设知 A1 B1 为上三角形矩阵，故 AB 为上三 角形矩阵。 角形矩阵。
2）设 A = ( aij ) 为一可逆的上三角形矩阵，则 ） 为一可逆的上三角形矩阵， nn
= ε iT A j L 0 L L L 0 L a jn i 行 . L 0 L L L 0
0 M 0 a1i AEij = ( B1 , L , Bn ) ε j = Bi ε j = M ( 0, L , 0,1, 0, L , 0 ) a 0 ni M 0 0 0 = L 0 L L L 0 0 0 a1i a2 i L ani 0 L L 0 . L L L 0 L 0 0 L
T
y1 n T T 2 ( Ax) Ax = y y = ( y1 ,L, yn ) M = ∑ yi = 0, y i =1 n
从而 yi = 0, i = 1, L, n , 即 y = Ax = 0 ，由
x 的任意性知 Aε j = 0, j = 1,L , n ，其中
为数量矩阵. 为数量矩阵 级矩阵可交换， 注：因 A 与所有 n 级矩阵可交换，故 A 一定与 可交换， E i j ( i , j = 1, L , n ) 可交换，于是 AEij = Eij A.
10、已知 A为实对称矩阵 且 A2 = 0 , 不妨设 A = aij 、 为实对称矩阵, 阶矩阵， 为 n 阶矩阵， = x
T
( )
nn
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
北京大学数学系《高等代数》名校考研真题(矩阵)【圣才出品】
E
AB
E
2E AB
E E
AB AB
2E O
E AB
1
[
E
(
AB)2
]
2
2E
O
O
1
[
E
(
AB)2
]
2
知
r(2E) r[1 (E AB)2] n 2
所以
1 [E ( AB)2 ] O 2
因此有（AB）2＝E 即 ABA＝B－1．
4．求证：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U 其中 A 为 n 阶矩阵，U，V 为 n 维列向量．[浙江大
2．设 A 为非零矩阵，但丌必为方阵，证明 AX＝E 有解当且仅当 CA＝0 必有 C＝0，
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其中 E 为单位矩阵．[上海交通大学研] 证明：设 A 为 m×n 矩阵，则如果 AX＝E 有解 Bn×m，即 AB＝Em，有 m≥r（A）≥r（Em）
3．设 A、B 都是 n 阶方阵，E 为 n 阶单位矩阵．证明：ABA＝B－1 的充要条件是 r（E
＋AB）＋r（E－AB）＝n．[厦门大学研]
证明：由 ABA＝B－1 得（AB）2＝E，所以有：
E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0
故 r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）
又 n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）
Q
P
Er O
O O
Q
P)
Er O
O O
Er O
O
O
①
B C
令
QXP
D
F
nm
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
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A 是可逆矩阵 (C)
An 0
(B) A 主对角线上的元素全为零 11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）
(A)A 1(B)A 0(C) A AT(D) 12 ． A, B,C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（
A0 A）
(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA
8．以下结论正确的是（ C ） (A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0, 则 A 0； (B) 如果矩阵 A 满足 A2 0，则 A 0； (C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；
(D) 对任意方阵 A,B，有 (A B)(A B)
A2 B2
9．设 1, 2, 3, 4 是非零的四维列向量， A ( 1, 2 , 3, 4), A* 为 A 的伴随矩阵，已知
( AB)( B * A*) A( BB*) A* A|B|EA* |B|AA* |A||B|E .
因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) . 由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得 AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆
可得 (AB)* B* A* .
二、 选择题
1．设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵 (BT B) , 则下列矩阵中为反对称矩阵的
5设
D）
(A)
(A B) 2 A2 2 AB B2 (B)
A2 B2 ( A B)( A B)
(C) ( AB) 2 A2 B2 (D)
A2 E 2 ( A E)( A E)
6．下列命题正确的是（ B ） .
(A) 若 AB AC，则 B C
(B) 若 AB AC，且 A 0，则 B C
(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 B C (D) 若 AB AC ，且 B 0, C 0 ，则 B C
Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x 0的基础解系为（ C ） .
（A）
.
1, 2 , 3
（B） 1 2 , 2
3, 3
,.
（C） 2, 3 4
（ D） 1
,
,
2
2
33
1
0
由 Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T 可得 ( 1 , 2 , 3 ,4)0,
第四章 矩阵习题参考答案
一、 判断题
1. 对于任意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A B A B .
错.
2. 如果 A2 0,则 A 0 .
错.如 A
11 , A2
11
0,但 A 0 .
3. 如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵 .
正确. A A2 EA(E
A) E，因此 A 可逆，且 A1 A E.
是（B ）.
(A) AB BA (B) AB BA (C) ( AB) 2 (D)
BAB
(A)(D) 为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（ C）当 A, B 可交换时为对称矩阵 .
2. 设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵 .
(A) AT A (B)
A AT (C)
A2 (D)
AT A
7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） . (A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ；
(B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0
(C) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 ；
(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .
AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以 AB 0 .
(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA (C) 若 A 0，则从 AB AC 可推出 B C
(D) 若 B C，则必有 AB AC 13． A, B,C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 ABC E ，则有（ C ）
(A) ACB E （ B） BAC E （C） BCA E (D) CBA E
2
0
.
1
,.
44 1
1230.
因此（ A），（ B）中向量组均为线性相关的，而（ D）显然为线性相关的，因此答案为
（C）. 由
可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x 0 的解 . 10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 适合下列条件（ C ）时， I n A 必是可逆矩阵
(A) An A
(B)
4. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .
错.由 AB 0可得 r ( A) r ( B) n . 若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两 个都是非零矩阵矛盾 . 只可能两个秩都小于 n .
5． A, B,C 为 n 阶方阵，若 AB AC, 则 B C.
3．以下结论不正确的是（ C是上三角矩阵；
(B) 如果 A 是对称矩阵，则 A2 也是对称矩阵；
(C) 如果 A 是反对称矩阵，则 A2 也是反对称矩阵；
(D) 如果 A 是对角阵，则 A2 也是对角阵 . 4．A 是 m k 矩阵 , B 是 k t 矩阵 , 若 B 的第 j 列元素全为零， 则下列结论正确的是 （ B ）
错.如 A
1 1 ,B 11
2 1 ,C 21
3 2 ，有 AB
32
AC,但 B C.
6 ． A 为 m n 矩 阵 ， 若 r ( A) s, 则 存 在 m 阶 可 逆 矩 阵 P 及 n 阶 可逆 矩 阵 Q ，使
PAQ
Is
0 .
00
正确 . 右边为矩阵 A 的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形 .
( A ) AB 的第 j 行 元 素 全 等 于 零 ；
( B ) AB 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；
( C) ． BA 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( D) BA 的 第 j 为 n 阶方 列元素全等于零；
阵， E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ A, B
7． n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆 .
正确.由 A 可逆可得 | A | 0 ，又 AA* A * A |A|E . 因此 A * 也可逆，且 ( A*) 1 1 A .
|A|
8．设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，则 ( AB)* B* A*.
正确 . (AB )( AB)* |AB|E |A||B|E.又