4.1空间图形基本关系的认识1209
4.1空间图形基本关系的认识
c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公 共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有 一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b
a
β
a O b
记作： b O a
③异面直线— 不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 —
b
α
b
a
a β b
α
γ
a
A （1）直线在平面内— 直线与平面有无数个 — 公共点。 （2）直线与平面相交— 直线与平面只 α 有一个公共点。 —
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
b
a
β
F
E
（3）直线与平面平行—— 直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面—— 没有公共点的两个平面。 （2）相交平面—— 两个平面不重合， 并且有公共点。 α
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
§4
实例分析
空间图形基本关系的认识教学课件
江西师大附中 郑永盛
4.1空间图形的基 本关系的认识
一、情景创设
1.空间图形包括平面图形和立体图形， 都看作点集。
平面图形是指各点都在同一个平面内的图形。
立体图形是指各点不都在同一个平面内的图形。
二、新课讲授 2.平面的概念、特征及表示：
（1）平面的概念 象这些桌面、平静的湖面、 镜面、黑板面等都给我们以平面 ____的印象 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.
（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
a
一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放 置的平面的直观图
3.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系（以
点作为元素，直线，平面作为点集）
(1)空间点与直线的位置关系： 点A在直线a上： 记为：A∈a
点B在直线a外： 记为：B∈a
A
a
B
(2)空间点与平面的位置关系： 点A在平面α内： 记为：A∈α 点B在平面α外：记为：B∈ α
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条 (C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
例3. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内 (2)直线a经过平面 外一点M (3)直线 l 在平面 内,又在平面 内 （即平面和平面相交于直线）
解：（1）A ， A (2) M , M a
五. 思考交流:
两个平面能将空间分成几部分? 3或4 1 2 3 两个平面相交
两个平面平行
1
2
3
4
三个平面能将空间分成几部分?
1
4
3 4
2
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
4.1空间图形基本关系的认识
符号 语言
a∥α
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUEຫໍສະໝຸດ D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做1 如图点、直线、平面的关系如下:
则O
α;AB
α;AB∩α=
.
答案:∈ ⊈ O
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
直线
公 理
平行于同一条直线 的两条直线平行
4
给定点 P 以及平面 α,β, 若点 P∈α,且 P∈β,则 存在直线 l,使得 α∩β=l,且 P∈l
已知直线 a,b,c,且 a∥ b,b∥c⇒a∥c
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
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图形语言
符号语言 A,B,C 三点不共线⇒ 有且只有一个平面 α,使 A∈α,B∈α,C∈ α
若 A∈l,B∈l,且 A∈ α,B∈α,则 l⫋α
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D当堂检测 ANGTANGJIANCE
如果两个不重合的 公 平面有一个公共点, 理 那么它们有且只有 3 一条过该点的公共
图形语言
如果平面 α 与平面 β 没有公 共点,我们称平面 α 与平面 β 是平行平面
两个平 如果平面 α 和平面 β 不重合,
面
但有公共点,我们称平面 α
相交 与平面 β 是相交平面
符号语 言 α∥β
α∩β=l
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
第一章第四节空间图形基本关系的认识
§4.1空间图形基本关系的认识【教材分析】1.知识内容与结构分析本节课的教学内容是《数学必修2》第一章§4.1节空间图形基本关系的认识，教学课时为1课时．教材借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间点、线、面位置关系的定义．具体说来，教材通过展示长方体的顶点、对角线、棱和面的位置关系，并能用数学语言来表述这些关系．教材也隐藏从具体的模型、实物出发，逐步建立图形语言、文字语言、符号语言的联系．2.知识学习意义分析通过这节课的学习，建立空间点、线、面三者的位置关系的概念，学会用图形语言和自然语言表述，了解符号语言，从微观角度体会点、线、面之间的关系，进一步体会几何学习中，语言的简洁精确，初步建立几何直观的能力，为后面的公理学习奠定基础．3.教学建议与学法指导空间点、线、面的位置关系是立体几何的重点，这是这部分内容的第一节．“立体几何初步”要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义．教师要努力帮助学生构建概念．一可以通过具体的模型、实物来帮助我们理解抽象的定义．二、在“立体几何初步”的教学过程中，不论是在教师的教学中，还是在学生的学习中，都要养成画图的习惯．图形不仅可以培养学生的几何直观能力，而且运用图形语言来描述几何问题可以更加清晰和自然．三、通过自然语言、图形语言和符号语言的转换，要让学生尽快熟悉立体几何中的各种语言的表述方法．要从图形出发，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系．“立体几何初步”的教学重点的培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力．在立体几何初步的教学过程中，要树立“动起来”的观念，“动”意味着：动手操作、动眼观察、动脑想像、动口表达．如动手搭一搭．空间两条直线位置关系片段：师：请同学们拿出两支笔，动手搭搭看，如果不考虑两支笔重叠在一起，在空间，这两支笔的位置关系有哪几种（从公共点个数考虑）？生：有一个公共点；没有公共点．师:在没有公共点的情况下，你能摆出几种？生：两种（学生动手搭）．师：如果把两支笔抽象成空间的两条不重合的直线，那么在空间，这两条直线的位置关系有哪几种？“笔是线，书是面，摆摆搭搭真方便．”培养空间感觉的第一步，是动手去搭一搭．在空间两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系、平面和平面的位置关系的教学过程中，都可以让学生用自己手中的笔与书本摆摆搭搭．【学情分析】学生已经通过实物模型等认识空间几何体，已经能够从整体上把握空间几何体的主要元素点、线、面．同时长方体是学生再熟悉不过的一个几何体了．义务教育阶段，学生都能体会几何中“相交”、“公共点”、“平行”的概念．在这一节课，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，不是很难的问题．但是，用符号语言去描述这些关系，是学生觉得困难的地方．【教学目标】1.知识与技能(1)认识和理解空间点、线、面的位置关系，能抽象出空间线、面位置关系的定义．(2)初步了解三种数学语言的转化2.过程与方法借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义．3.情感态度价值观通过直观感知和操作确认容易建立空间想像能力，利用实物培养学生的空间相像和几何直观能力是很有帮助的．【重点难点】1.教学重点：空间点、线、面位置关系的定义．2.教学难点：异面直线的理解．【教学环境】多媒体和普通课堂相结合【教学过程】一、导入新课生：观看图片，相像空间中的各种图形，并列举一些立体图形．师：空间图形是丰富的，它由一些基本的图型：点、线、面所组成．认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的．师评:点、线、面都是只描述而不定义的原始概念．（1）几何中的点是没有大小，没有面积的．点一般用大写字母A、B、C、D等表示．l a b c等（2）几何中的直线是没有面积的，向两端无限延长．直线一般用小写字母,,,表示，也可以用直线上的两点表示．如直线AB等．（3）桌面、窗玻璃面、墙面、平整的地面等等都给我们以平面的形象．几何中的平面是无限延展的．我们见到的“平面”只是数学里所说的平面的一部分，通、、等来表示，也常画平行四边形来表示平面所在的位置．平面通常用一个希腊字母αβγ、，平面AC等等．可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示．例如：平面αβ图1二、新知探究实例1：长方体是我们最常见的空间图形，如图2所示．为了直观地了解点、线、面的位置关系，我们先观察以下这个长方体．回答三个问题：（1）长方体有几个点？（2）长方体有几条棱？（3）长方体有几个面？这些直线、平面及顶点的位置关系有哪些呢?我们把这些位置关系抽象出来，就得到点、线、面三者位置关系的定义．1、抽象概括（1）、空间点与直线的位置关系有两种①点在直线上 记作A a ∈（如图3）②点在直线外 记作B b ∉（如图4）图3 图4（2）、空间点与平面的位置关系有两种①点在平面内 记作O β∈②点在平面外 记作P β∉（如图5）图52、动手操作1师：请同学们拿出两支笔，动手搭搭看，如果不考虑两支笔重叠在一起，在空间，这两支笔的位置关系有哪几种（从公共点个数考虑）？生：有一个公共点；没有公共点．师:在没有公共点的情况下，你能摆出几种？图2生：两种（学生动手搭）．师：如果把两支笔抽象成空间的两条不重合的直线，那么在空间，这两条直线的位置关系有哪几种？师评：通过动手搭一搭，引导学生理解空间两条直线的三种位置关系，尤其是异面直线，让学生搭一搭，两条不相交的直线，可能平行，也可能异面．抽象概括：空间两条直线的位置关系有三种①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两点直线．(如图6)②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线（如图7）图6 图7③异面直线：不在任何一个平面，没有公共点的两条直线．（如图8）异面直线的三种画法：b图8板书如下：表13、动手操作2师:请同学们拿出一支笔和一张纸，动手搭一搭，在空间，这支笔所成的线和这张纸所在的平面可能有哪些位置关系(从有多少个交点这个角度看，笔在纸上也可以考虑成为一种)？生：三种师：同学们自己搭一下．抽象概括：空间直线与平面的位置关系有三种①直线在平面内：直线与平面有无数个交点．②直线与平面相交：直线与平面只有一个交点．③直线与平面平行：直线与平面没有交点．板书如下：表24、动手操作3师：请同学们拿两张纸来，动手搭搭，在空间中，这两张纸所在的平面可能有哪些位置关系(从有没有公共点，多少个公共点来看)？生：两个师:有公共点的情况下，会有多少个公共点？请同学们拿出三本书，把它们的模型搭一下．师评：让学生用三本书搭一下，可以非常直观地观察到，两个平面相交时，会有一条交线．抽象概括：空间平面与平面的位置关系有两种：①平行平面：没有公共点的平面②相交平面：两个平面不重合，并且有公共点．三、课堂练习1、思考题（1）没有公共点的两条直线叫做平行线，对吗？（2）空间两条没有公共点的两条直线是异面直线，对吗？（3）分别在两个平面内的两条直线，一定是异面直线？（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗?2、说出正方体中各对线段，线段与平面的关系：（如图9）（1）AB 1和CC ;(2) 1A 1C 和BD (3) 1A 1A 和CB ；(4) 1C 1AC 和A（5)1C 1BC 与平面A ；（6） C 1B C 与平面A ；(7) C AB 与平面A图9四、布置作业P26习题1—4A 组第4题【专家点评】空间图形由点、线、面基本图形所组成，学习立体几何首先应从点、线、面之间的位置关系研究开始。
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
4.1空间图形的基本关系的认识
记作： 平面α 平面β 直线a
a
理论迁移
知识点一 空间图形基本关系及语言转换 例 1 用符号表示下列语句，并作出图形．
(1)直线 l 经过平面 α 内两点 A、B； (2)直线 l 在平面 α 外，且过平面 α 内一点 P； (3)直线 l 是平面 α 与 β 的交线，平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行．
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
答案
D
2．两平面 α、β 平行，a α，下列四个命题： ①a 与 β 内的所有直线平行；②a 与 β 内无数条 直线平行；③直线 a 与 β 内任何一条直线都不垂 直；④a 与 β 无公共点． 其中正确命题的个数有 A．1 个 C．3 个 B． 2 个 D．4 个 ( B )
在平行四边形 B1BDD1 中，B1D1∥BD， B1D1 与 BD 无公共点， ∴B1D1 与平面 AC 无公共点，∴B1D1∥平面 AC.
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
α，P∈l，P∈α. (2)l
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练 1 将下面用符号语言表示的关系改用文 字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
4．下列命题中正确的是
( D )
A．若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l∥α B．若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任 意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行 D．若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α没有公 共点
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理第2课时
1．下列结论中正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线
的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条
相交；④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l1，l2(a∥l1， 定义 b∥l2)，这两条相交直线所成的 锐角(或直角) ，就是异面直线 a、
b 所成的角
取值 范围
异面直线所成的角 θ 的取值范围： 0，π2
特例
π
当 θ＝ 2 时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b
[小组合作型] 公理4的应用
2．结论：这两条直线平行．
3．符号表述：
a∥b
b∥c
⇒
a∥c
．
教材整理 2 等角定理
阅读教材 P26“等角定理”部分内容，完成下列问题． 1．条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应 平行． 2．结论：这两个角 相等或互补．
教材整理 3 异面直线所成的角
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•直线与平面相交 直线AB与平面 相交
•直线与平面平行 直线AB与平面 平行 请问直线CG在哪些平面内?与哪些平面相交? 与哪些平面平行?
5、空间平面与平面的位置关系有二种:
•平行平面 —两个平面没有公共点 平面 与平面 平行
•相交平面 —两个平面有公共点 平面 与平面 相交 请问平面 与哪些平面平行?与哪些平面相交?
练习题
3、判断对错
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线； （2）直线在平面外则直线与平面没有公共点；
内，则l // . （3）若直线l上有无数个点不在平面
（4）空间两条直线的位置关系可以分为共面和不共面两种.
4、说出长方体中下列各对线段所在的直线以及线 段 D1 所在的直线与平面的位置关系：
2、空间点与平面的位置关系有两种:
•点在平面上
点D在平面 上
•点在平面外
点D在平面 外
请大家说出点A、B、C分别在哪些平面上? 分别在哪些平面外?
3、空间两条直线的位置关系有三种:
Hale Waihona Puke •平行直线直线AB与CD平行 •相交直线 直线AB与BC相交 •异面直线 直线AB与GF异面 你还能说出哪些直线是平行直线?相交直线? 异面直线?
1、异面直线是指（ D ） A、空间中两条不相交的直线 B、分别位于两个不同平面内的两条直线 C、平面内的一条直线与平面外的一条直线 D、不同在任何一个平面内的两条直线 2、想一想：正方体的12条棱以及 标出的面对角线所在的直线那
A' D' C' B'
些与直线BD是异面直线？
D A B C
4、空间直线与平面的位置关系有三种: •直线在平面内 直线AB在平面 内
（1）AB和CC1； （2）A1C和BD1 ； （3）A1A和CB1； （4）AC和A1C1；
异面
相交 异面 平行
C1
A1
B1
（5）BC与平面A1C1； 平行
D A B
C
（6）B1C与平面AC； 相交
（7）AB与平面AC。在平面内
空间图形的组成:
点
线 点
面
线
面
点和线,线和面,点和面之间具有怎样的位置关系?
8 个顶点、____ 12 条棱、___ 6 个表面. 长方体有____ 观察图形,讨论这些直线、平面及顶点的位置关系.
1、空间点与直线的位置关系有两种:
•点在直线上
点D在直线AD上
•点在直线外 点D在直线CG外 请大家说出点A、B、C分别在哪些直线上? 分别在哪些直线外?