北京理工大学数学专业偏微分方程期末试题2014级A卷(MTH17178)
北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH
北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ?上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α?，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。
二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ，证明：（1）{}k x 收敛于*0x =；（2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。
三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。
（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ?Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ?∈，()()f x f y L x y ?-?≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ?=-，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=?<∞∑；（2）若0δ?>，使得k ?，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞=。
五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ?=L ，()()10Tk k f xf x +??=。
六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。
北京理工大学微积分a期末试题及答案
北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。
答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。
答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。
答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。
答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。
答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。
北京理工大学 数学分析 分析解答2014-2(a)
(2014-2015-1)工科数学分析期末试题(A 卷)解答（2015.1）一．1. )43(7341-=-x y 2. 21 3．⎰+∞+2,)1(x x dx,0⎰+∞-dx xe x4. 1 , 32- 5． )(x f二. .122110dx x x I -=⎰ ……………..(2分)令t x sin = t d t t 22010cos sin 2⎰=π……………..(4分)tdt ⎰=210sin (2π)sin 2012tdt ⎰-π……………..(6分)π102421=……………..(8分)三. )(131⎰⎰+⎰=---dx exe C ey dx xxx dx xx……………..(4分))(ln 3ln ⎰--+=dx e xe C exx x xx ……………..(6分))(3⎰-+=dx xe xe C x e xx x )(2⎰+=dx e C xe x x……………..(8分) )21(2x x e C x e += ……………..(9分)四. (1) 1)0(=y ……………..(1分) y xe e y y y '--=' ……………..(分)e y -=')0( ……………..(3分)y xe y xe y e y e y y y y y ''-'-'-'-=''2)( ………..(4分) 22)0(e y ='' ……………..(5分)(2)由题设, 应有)0()0(y f = )0()0(y f '=' )0()0(y f ''='' ………..(6分)1)0(==f c ……………..(7分)b ax x f +='2)( e f b -='=)0( ……………..(8分) a x f 2)(='' 22)0(2e f a =''= 2e a = ……………..(9分)五. ⎰=34t a n c o sln ππx xd I ……………..(2分) ⎰+=3434t a n c o s s i n ln tan ππππxdx x xsx co x ……………..(5分) ⎰-+-=342)1cos 1(21ln 21ln 3ππdx x ……………..(6分) 34)(t a n 2ln 212ln 3ππx x -++-= ……………..(8分) 12132ln )321(π--+-= ……………..(9分)六. 设 a x x x f --=2ln )(2),0(+∞∈x ……………..(1分) x xx f -='1)( ……………..(2分) 令 0)(='x f 得1=x ……………..(3分)-∞==++→)(lim )00(0x f f x ……………..(4分) -∞==+∞+∞→)(lim )(x f f x ……………..(5分)a f --=21)1( ……………..(6分) 当21-<a 0)1(>f 二曲线有两个交点 ……………..(7分)当21-=a 0)1(=f 二曲线有一个交点 ……………..(8分)当21->a 0)1(<f 二曲线有没有交点 ……………..(9分)七． 设 12)1)(2(142222++++=++--x DBx x A x x x x ……………..(2分) )2)(()1(14222++++=--x D Bx x A x x得 3=A 2-=B 1-=D …（1+1+1）…..(5分)dx x x x x x x x )1223()1)(2(142222++-+=++--⎰⎰C x x x +-+-+=arctan 2)1ln(212ln 32 （每项1分）…..(9分)八. xx ax f x arcsin lim )00(30-=--→ ……………..(1分)2201113l i mx ax x --=-→ ……………..(2分)1113l i m 2220---=-→x x ax x22202113l i m x x ax x --=-→ ……………..(3分)a 6-= ……………..(4分)41lim )00(220x ax x e f ax x --+=++→ ……………..(5分)22l i m 0xax ae ax x -+=+→ ……………..(6分)212l i m 20+=+→ax x e a)2(22+=a ……………..(7分) 由题设得 6)2(262≠+=-a a 2-=a ……………..(9分)九.dx y a g x dW )(2100-⨯⋅=μdx x a a gx )(20022--=μ .……..(3分)⎰--=adx x a a gx 022)(200μ …..…..(4分)⎰-=a axdx g 0(200μ)022⎰-adx x a x …..…..(5分))312(20033a a g -=μ …(1+2)..…..(8分)33100ga μ=(J) ……………..(9分)十. 022=-+r r ……………..(1分) 1=r 2-=r ……………..(3分) x x e C e C y 221-+= ……………..(4分) 设 x e B Ax x y )(*+= ……………..(5分) 代入方程得 x B A Ax 3326=++ ……………..(7分)解得 21=A 31-=B ……………..(9分) 通解为 x x x e x x e C e C y )3121(2221-++=- ……………..(10分)十一. ⎰-=ξξπadx f x f V )]()([221 ……………..(2分)⎰-=bdx x f f x V ξξπ)]()([22 ……………..(4分)令 ⎰⎰---=btt adx x f t f x dx t f x f t F )]()([2)]()([)(22ππ …………..(6分)则)(x F 在],[b a 上连续0)]()([2)(<--=⎰ba dx x f a f x a F π ……………..(7分)0)]()([)(22>-=⎰badx b f x f b F π ……………..(8分)根据介值定理, ),(b a ∈∃ξ, 使0)(=ξF , 即⎰-ξξπadx f x f )]()([220)]()([2=--⎰bdx x f f x ξξπ21V V = ……………..(9分)。
北京理工大学2015学年第二学期《工科数学分析》期末考试卷及参考答案
4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0
北京理工大学数学专业概率论期末试题(07000221)
2008级《概率论》期末试题A 卷一、从1到30的整数中，不放回地任取3个数，求所取的3个数之和能被3整除的概率。
二、设袋中有9个红球和6个白球，不放回地任取两次，每次取两个球。
（1）求第二次取出的两个球都是白球的概率；（2）已知第二次取出的两个球都是白球，求第一次恰好取出一个红球和一个白球的概率。
三、设随机变量X 的密度函数为()2,1Af x x R x =∈+。
（1）求A 的值；（2）求21Y X =+的密度函数；（3）求概率()2P X X >。
四、设二维随机变量（X,Y ）在区域(){},|02G x y x y =<<<上服从均匀分布。
（1）写出X ，Y 的联合密度函数(),f x y ；（2）求X,Y 的边际密度函数()(),X Y f x f y ，并判断X,Y 是否独立； （3）求概率()1P X Y +<。
五、设随机变量X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，求,ED 。
六、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，Y 服从正态分布()22,3N ，且X,Y 相互独立。
（1）求()2E X Y -；（2）设,3U XY V X ==，求()cov ,U V 。
七、设随机变量X 的分布律为()1,0,1,,1P X k k n n===⋅⋅⋅-，Y 服从[]0,1上的均匀分布，且X,Y 相互独立。
令Z=X+Y ，利用特征函数法证明Z 服从[]0,n 上的均匀分布。
八、设某种电子元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为400小时。
现购买100只这种电子元件，假设它们的寿命相互独立，求这些电子元件的寿命总和在32000小时至48000小时之间的概率。
（1）用切比雪夫不等式计算；（2）用中心极限定理计算。
2010级《概率论》期末试题A 卷一、（10分）从1到9这9个数中，有放回地取3次，每次取一个，求所取的3个数之积能被10整除的概率。
北京理工大学《高等数学》历年期末考试试题及答案解析(精编版)
x = (t − 1)et 八. 设曲线 C 的方程为 y = 1 − t4
求
dy dx
,
d2y dx2
及曲线
C
在参数
t
=
0
对应点处
–2/48–
第 1 部分 北京理工大学试题集
的曲率半径.
九. 设 f ′(x).
f (x)
=
1 x
−
ex
1 −
1,
x
<
0
1
−
1 c2os x
x
,
, x
x= >0
等于
mg k
.
∫1
十一. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且满足 f (1) = 2 2 xe1−x f (x)dx, 证明:
0
至少存在一点 ξ, 使得 f ′(ξ) = (1 − ξ−1) f (ξ).
1.2 2011 级秋季学期期末试卷
一. 填空题
1. 极限 lim
x→0
x
− ln(1 x2
+
x)
=
2. 设 y
=
x2 + ln x, 则
dx dy
=
dy =
∫∞
3. 广义积分
e
dx x ln2
x
=
4.
微分方程
y′′
=
1
1 + x2
的通解为
; lim
1
∫
x
(1
+
sin
2t)
1 t
dt
=
.
x→0 x 0
√ ; 设 f 可导,y = f (tan x) + 1 − x2, 则
【数学】北京理工大学数学专业数学析试题MTHMTH
【关键字】数学课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.11.32013级数学专业数学分析Ⅲ阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。
求证：，其中和分别表示函数和沿S 外法线方向的方向导数。
2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和D’Alembert比值判别法，并利用前者证明后者。
3.判断下列级数的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）4.设。
又设广义极限存在。
求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。
5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。
6.设收敛，其中R>0，求证：对一切，绝对收敛。
7.设，且有极限。
求证：数列收敛，且。
8.设存在，又设绝对收敛。
求证：。
课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期2014.112013级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。
2、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。
三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。
四、（10分）设，求证：收敛。
五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。
六、（10分）设。
（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。
七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。
北工大2013-2014年第二学期高数期末试卷
北⼯⼤2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷2013-2014年第⼆学期⾼数期末试卷1.函数Z =y x 在点（1,2）处的梯度gradz=.2.曲⾯xy +e z =3在点（1,2,0）处的切平⾯⽅程3.幂级数（x+1）2n 2∞n =1的收敛域为4.函数f （x ）=e 2x 的麦克劳林级数为5.设函数f （x ）= 0，?π是以2π为周期的周期函数，其傅⾥叶级数的和函数记为S （x ），则S （6π）=6.设D ：x 2+y 2≤1.则⼆重积分 e x 2+y 2D dxdy =7.设曲线L 为y=— 2 x 2+y 2Lds= 8.设∑为球⾯x 2+y 2+z 2=a 2。
则曲⾯积分（sinZ 3+1）dS= 9.由曲⾯Z= x 2+y 2与Z=1+ 1?x 2?y 2所围⽴体体积为10.微分⽅程y‘=xy 满⾜y （0）=1的特解为11.求函数f （x ，y ）=3xy —x 3—y 3的极值。
12.求幂级数 X n +1n ∞n =1的收敛域及和函数13，计算曲线积分I = 2xe y +1 dx +(x 2e y +2x )dy L，其中L 是（x ?1）2+y 2=9的上半圆周逆时针⽅向。
14.计算曲⾯积分I = z ?1 dxdy +xy 2dydz +(x 2?1)ydzdx ,其中∑是曲⾯Z=1?x 2?y 2 0≤Z ≤1 的上侧。
15.求微分⽅程y’’—2y+y=（x 2+2）e x ）的通解16.设⽅程F （x-2z,y-3z ）=0确定了函数Z=Z （x ，y ）。
证明17.设a n +1a n ≤b n +1b n ，（n=1,2,3，…a n >0,b n >0).）证明若级数 b n ∞n =1收敛则级数 a n ∞n =1也收敛。
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课程编号：MTH17178
北京理工大学2016-2017学年第一学期
2014级偏微分方程期终考试（A ）
1.（10分）利用特征线方法求解一阶波动方程初值问题：()22,,0,0,t x x u u u x t u x e x -+=∈>⎧⎪⎨=∈⎪⎩。
2.（10分）利用Fourier 变换方法求解：()()
(),,,0,0,t x u bu cu f x t x t u x x x ϕ--=∈>⎧⎪⎨=∈⎪⎩ 。
3.（10分）利用行波法求解：()()()()0,,,0,,0
tt xx u u t x u x x x x u x x x x ϕψ⎧-=>⎪-=<⎨⎪=>⎩。
给出适当的相容性条件。
如果ϕ在(],0a -上给定，ψ在[)0,b 上给定，给出其决定区域。
4.（15分）求解初边值问题：()()()20,01,00,0,1,0,0,0,01
t xx x x u a u u x t u t u t t u x A x ⎧-+=<<>⎪==>⎨⎪=<<⎩。
5.（7分）对于初边值问题()[]()()()()[]()()()()()212,,0,,0,0,,0,0,0,,,,,0
tt xx t x u a u f x t x L t u x x u x x x L u t g t u L t u L t g t t ϕψσ⎧-=∈>⎪==∈⎨⎪=+=≥⎩
推导边界条件齐次化的公式（不需要解方程）。
6.（13分）对于有界区域()(],0,T Q a b T =⨯上的热方程()2
,0t xx u a u c x t u -+=，其中(),c x t 下有界，证明如果(),u x t 在抛物边界上非正，则(),u x t 在T Q 上非正。
7.（15分）考虑波动方程初边值问题[]()()()()[]()()()20,0,,0,0,,0,0,0,0,,,0,0
tt xx t x x u a u x L t u x x u x x x L u t u L t u L t t ϕψσ⎧-=∈>⎪==∈⎨⎪=+=≥⎩，其中
0σ>，令t 时刻的能量()()()22222011,22
L t x E t u a u dx a u L t σ=++⎰，证明()E t 守恒，并由此证明相应的一般非齐次方程非齐次初边值问题的解的唯一性。
8.（20分）设()
()1,02,1T T u C Q C Q ∈ 且满足初边值问题()()()()[]()()[]
,,,,0,0,0,,0,0,t xx T x u u f x t x t Q u x x x L u t u L t t T ϕ⎧-=∈⎪=∈⎨⎪==∈⎩，证明：[]()()()()22220000000,sup ,,,L T L L T L x t T u x t dx dt u x t dx M x dx dt f x t dx ϕ∈⎡⎤+≤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中M 仅依赖于T 。
提示：Gronwall 不等式：设(][]1
0,0,G C T C T ∈ ，()00G =，且对于任意的[]0,t T ∈，有()()()G t CG t F t '≤+，其中C>0，F 非负单调递增，则有
()()()()()11,Ct Ct G t C e F t G t e F t -'≤-≤。