九年级数学圆心角
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第7讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一．选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OBA C2143OB ACD(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123 D ．54．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.28．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C ． D．29．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二．填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAE DOBC21EDOB C(4) (5) (6)5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．OBA CD6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．9．如图，点O 为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O BA CP30°B ANOMP OBA C y xM2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF=DF•FE．7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课后巩固：1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°AODBC2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
九年级数学圆心角
独立作业
11
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
5-7题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•你做成功一件事,千万不 要等待着享受荣誉,应该 再做那些需要做的事.
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喝的，这夜叉就激动的话越说越多。“他每次来就是给你送完吃的就走，什么也不说吗？”如果真是这样，那可就真是 奇了怪了。“嗯，公孙公子每次来的时候就是把好吃的给我，然后就在店里和黄大哈咯聊天，以前吧黄大哈咯来也就是 找姑姑的，可自从公孙公子开始来了之后吧，她就开始天天来这里了，比钟伯上班来的还要早。”钟伯是陆婉娉在当地 雇佣的一个负责管理民间翻译官的雇员，不一定坐班，但必须天天报到，负责处理一些杂事儿，女鬼大人不在的时候， 就由他负责全权照料店里店外的生意，以及顺便帮忙照顾一下夜叉。“是不是他们一起帮钟伯管理这里的一些杂事儿 啊？”这下，陆婉娉终是彻底弄明白了这个黄大哈咯为啥什么都不贪图就直接选择了来女鬼中介上班当免费秘书的原因 了，原来如彼啊！“姑姑英明，不仅如此，那个公孙公子也很厉害的，他也会好些国家的语言呢，中间他还帮过不少忙， 免费给合作了不少生意，就是姑姑你回来之后补签上印章的那几份。”听姑姑不再责怪自己偷吃东西这件重大事情，夜 叉也不敢慌恐不安，也不用人扶，很自觉的从地上爬了起来。反正从来都是她愿意跪就跪，姑姑从来不强迫她下跪，但 你若是跪也吧，也不扶你，用姑姑的话来说，毕竟你做了错事，所有这些夜叉也不敢有所违逆，这可是自己一直敬着爱 着的姑姑啊！“所以你就许下了让姑姑请公孙公子吃饭这个承诺了？”弄明白了事情的来笼去脉，女鬼大人脸色初霁。 “嗯嗯嗯，夜叉吃了人家那么多，当时就顺嘴一说，谁知道这位公孙公子是个实诚人，还真就来了呢！”湖吃海喝了人 家那么些吃食，夜叉难得有些不好意思的脸红了一下。这就奇了怪了，女鬼大人不自觉的皱了皱眉头，单凭自己和公孙 公子的翻译合同了。要知道自己回来后也是吓了一大跳， 那补签的合同却是拿了一笔不菲的佣金，足足顶了去年一年的营业额。 而明眼人又能看得出来，黄大哈咯虽然对公孙 公子一见钟情，亦或是两见钟情，但公孙公子与黄哈咯却颇有点逢场作戏的意思，有的也只是顺嘴打磕。再者说了，即 便是黄哈咯与公孙公子两个人郎有情妾有意的，那也是人家两家的事情，这毕竟不是婚姻中介所，公孙公子也犯不上巴 结这小小的女鬼中介啊！可除此之外，还真想不起其它任何托词，难不成，难不成„„女鬼大人眼球子转了几下，最后 定在夜叉的那张肥硕的脸上，左看右看，又不像啊！不过不像也不是没有可能，夜叉虽然长的和公孙公子无甚相似之处， 但年龄应该差不多。夜叉是个弃儿，估计是小时候烧坏了脑子被收留的，收养的时候不过三四岁，啥啥也记不得了，脑 子不好使长的又丑，估计如此才被父母嫌弃抛弃的。第020章 魂
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆心角-课件ppt
O
C B
8.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
圆内接四边形：
（顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
A
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
思考：如何证明？
已知EA=3,EB=6,EC=8,则ED=___
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过
A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,
∠ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
危险角”时,就有可能触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角∠a 等于“危险角”时,船位于哪 个区域?为什么?
C
C
●O
B
●O
B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 150°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A D
E
.O
C
B
5.(1)如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E，则△ACE 与△ DBE有什么关系？并说明理由。
A D
E
.O
C
B
5.(2) 线段EA、EB、EC、ED有什么关系？并说明理 由。
2021年浙教版数学九年级上册3.4《圆心角》教案
2021年浙教版数学九年级上册3.4《圆心角》教案一. 教材分析《圆心角》是2021年浙教版数学九年级上册第三章4节的内容。
本节主要让学生了解圆心角的概念，掌握圆心角与圆周角的关系，能运用圆心角定理解决一些实际问题。
教材通过引入圆心角的概念，引导学生探究圆心角与圆周角的关系，从而培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆心角的概念和圆心角与圆周角的关系，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过直观的图形和生动的例子，帮助学生理解和掌握圆心角的概念，以及圆心角与圆周角的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解圆心角的概念，掌握圆心角与圆周角的关系，能运用圆心角定理解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：圆心角的概念，圆心角与圆周角的关系。
2.难点：圆心角定理的证明和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动有趣的例子，引导学生观察和操作，让学生在实际问题中感受和理解圆心角的概念。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，并通过小组合作、讨论等方式，寻找答案，从而培养学生的解决问题能力。
3.推理教学法：引导学生通过观察、操作和思考，推理出圆心角与圆周角的关系，培养学生的推理能力。
六. 教学准备1.准备一些有关圆心角的图片和实例，用于导入和巩固环节。
2.准备课件，用于呈现和讲解圆心角的概念和圆心角与圆周角的关系。
3.准备一些练习题，用于巩固和拓展环节。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–向学生展示一些有关圆心角的图片和实例，引导学生关注圆心角的概念。
–提问：你们对这些图片和实例有什么观察和思考？2.呈现（10分钟）–通过课件呈现圆心角的概念，解释圆心角是由圆心所对的圆周角的两条射线所夹的角。
九年级数学圆周角和圆心角的关系
A
A O
O B C
B C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
O B C
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A O
B
C
பைடு நூலகம்
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O C
.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O A O'
B' A'
O A
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦 中有一组量相等， 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
浙教版数学九年级上册《3.4 圆心角》教案2
浙教版数学九年级上册《3.4 圆心角》教案2一. 教材分析《圆心角》是浙教版数学九年级上册第三章第四节的内容，主要介绍了圆心角的概念、圆心角与所对弧的关系以及圆心角的应用。
本节课的内容是学生对圆的知识的进一步拓展，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本知识，对于圆的半径、直径、弧等概念有了初步的了解。
但是，对于圆心角的概念和性质，以及圆心角与所对弧的关系还需要进一步的学习和理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步建立圆心角的概念，理解圆心角与所对弧的关系，并能够运用所学知识解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆心角的概念，掌握圆心角与所对弧的关系，能够运用圆心角的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方式，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.圆心角的概念和性质。
2.圆心角与所对弧的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、观察操作法、小组讨论法等，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，自主探索圆心角的概念和性质，理解圆心角与所对弧的关系。
六. 教学准备1.教学课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的圆的图片，引导学生关注圆心角的概念。
提出问题：“你们认为什么是圆心角？”让学生进行思考，为下面的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件展示圆心角的定义和性质，让学生观察并思考圆心角的特点。
同时，引导学生通过观察圆心角与所对弧的关系，发现圆心角的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选取一个圆，通过测量和观察，验证圆心角与所对弧的关系。
每组选出一个代表进行汇报，其他组进行评价。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
初三数学圆心角试题答案及解析
初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．2.已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是．【答案】15°【解析】易得∠OAC，∠OAB度数，那么∠BAC的度数应为所求的角的和或差．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解．3.圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，这弦所对的圆周角的度数是．【答案】60°或120°【解析】做题时首先知道劣弧所对的圆心角是所求．解：∵圆被一弦分成的两条弧的比是1：2，∴劣弧对应的圆心角为120°，优弧所对的圆心角为240°．∴圆周角分别为60°或120°点评：本题主要考查圆心角与弧之间的关系，不是很难．4.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．5.直径12cm的圆中，弦AB把圆分成1：5两部分，C为圆上一点，∠BCA= 度．【答案】30°或150°【解析】由题意知，弦AB把圆分成了一条优弧和一条劣弧，点C可能在优弧上，也可能在劣弧上，因此应分两种情况进行讨论．解：∵弦AB把圆分成1：5两部分，∴劣弧AB的度数为，故优弧ACB的度数为300°，∴∠ACB=30°，∠ADB=150°．故应填30°或150°．点评：本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形﹣﹣分析图形﹣﹣数形结合﹣﹣解决问题．6.如图，⊙O中=2，∠BOC=74°，则∠OAB= 度．【答案】71.5°【解析】根据已知可求得∠AOB的度数，由已知可得到△OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求解．解：∵⊙O中=2，∠BOC=74°∴∠AOB=∠BOC=37°∵OB=OA∴∠OAB=∠ABO==71.5°．点评：本题利用了三角形内角和定理，等边对等角，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．8.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．9.如图所示，在⊙O中，点C是的中点，∠A=60°，则∠BOC为度．【答案】30°【解析】由于∠A=60°，易证得△AOB是等边三角形，得∠AOB=60°，进而可由圆心角、弧的关系求得∠BOC的度数．解：△AOB中，OA=OB，∠A=60°，∴△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°；∵点C是的中点，∴∠BOC=∠AOB=30°．点评：此题主要考查的是圆心角、弧的关系，即：等弧对等角．10.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．11.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．12.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．15.若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是（）A．120°B．60°C．120°或240°D．60°或300°【答案】D【解析】根据题意画出图形，判断出△OAB是等边三角形，再根据在同圆或等圆中一条弦所对的圆心角的度数等于所对弧的度数即可解答．解：如图，AB是⊙O的一条弦，OA=OB是⊙O的半径，∵AB=OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴=60°，=360°﹣60°=300°．故选D．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知在一个圆中一条弦所对的弧有两条，不要漏解．16.在半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】如图，先利用垂径定理得出AD=1，再解直角三角形可得∠AOD=30°，再得∠AOB=60°．解：如图，AB=2，连接OA，作OD⊥AB，垂足为D．则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=1，而AO=2，∴∠AOD=30°（30°所对的直角边是斜边的一半），∴∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了垂径定理、30°所对的直角边是斜边的一半．17.如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥A′B，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，∵B是半圆上的一个六等分点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，∴A′Q=OA′cos30°=，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选：C．点评：此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．18.下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弦相等B．等弦所对的弧相等C．等弧所对的弦相等D．垂直于弦的直线平分弦【答案】C【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，分别对选项A，B，C进行判断；根据垂径定理对选项D进行判断．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，故本选项错误；C、相等的弧所对的弦相等，正确；D、垂直于弦的直径平分弦，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理．19.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（）A.AB+CD=EFB.AB+CD＜EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定【答案】C【解析】在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，推出弧FM=弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=FM，CD=EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM，在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选：C．点评：本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系以及对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．20.现给出以下几个命题：（1）长度相等的两条弧是等弧；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）垂直于弦的直线平分这条弦并且平分弦所对的两条弧；（4）钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面；（5）矩形的四个顶点必在同一个圆上．其中真命题的个数有（）A．1 个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等弧的定义和圆心角、弧、弦的关系即可判断（1）和（2）；作钝角三角形的外接圆即可判断（3）；由垂径定理可判断（4）；由矩形的性质求出矩形的对角互补即可判断（5）．解：（1）、等弧是指在等圆或同圆中，能够互相重合的弧，故本答案错误；（2）、相等的弧所对的弦相等，故本答案正确；（3）、垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧，故本答案错误；（4）、钝角三角形的外接圆圆心在三角形外面，故本答案正确；（5）矩形的四个角等于90°，即对角互补，所以矩形的四个顶点必在同一个圆上，故本答案正确；正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等弧定义，确定圆的条件等知识点，能根据所学的知识进行判断是解此题的关键．。
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A
●
D′ O
A′
B
D A
D′ D B B′
A A′
●
B
B′
●
O
O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
想一想
3
圆心角
• 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合. A′ B′ O B A A′ A
这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性Biblioteka 想一想2圆心角
驶向胜 利的彼 岸
• 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). • 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). • 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D
┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
5
拓展与深化
驶向胜利 的彼岸
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ②AB=A′B′
⌒
⌒
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
猜一猜
6
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
⌒ ⌒
随堂练习 7
化心动为行动
驶向胜利 的彼岸
AB • 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案: (1)是轴对称图形但不是中心对称图形; (2)即是轴对称图形又是中心对称图形. 3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
2. 圆的对称性(3) 圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性及特性
• 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法可以得到:
●
O
一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度,都能与原来的图形重合.
D′
● ●
O′
B′ B
● ●
O′ O
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
议一议
4
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等. A A
D D
B
●
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
独立作业
11
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
5-7题
• 祝你成功!
结束寄语
下课了!
•你做成功一件事,千万不 要等待着享受荣誉,应该 再做那些需要做的事.
少儿英语
们老人家现在可好？""父王和母妃他们好着呢."罗成冷笑回复壹句,转身将身后壹人拽着衣角引咯出来说道:"表哥,上次您来北平王府,我哥恰好随阿骨打出兵否在,今日来给您引荐壹下,那位就是我の亲哥哥,罗延庆."罗成向着秦琼介绍完之后,又朝罗延庆说道:"哥,那位便是母妃姐姐の儿子,我 们の表哥,秦琼."秦琼放眼望去,只见罗延庆身高八尺,几乎与秦琼壹样,却是穿着与罗成截然否同の壹身红衣,面色微微发红.壹旁の东舌,突然看见罗成与罗延庆来到,眼中否由得感到诧异,那罗延庆居然和罗成变为亲兄弟咯."操作界面,帮本宿主检测壹下罗成和罗延庆のの详细信息."东舌否断 考量着罗成和罗延庆,脑江中向操作界面发送咯信息."正在检测中叮咚,罗成当前四维如下,武力:97,智力:73,统率:84,政治:63.四维尚未达到巅峰,请宿主注意查看.""正在检测中……叮咚,罗延庆四维如下,武力:95,智力:61,统率:71,政治:59.请宿主注意查看."罗延庆打量咯壹下秦琼,开口礼 貌地说道:"表哥""嗯,两位表弟为兄为您们引见壹下."秦琼望咯壹眼罗延庆点咯点头,伸手指向在座之人."那位便是大名鼎鼎の赤发灵官,七省绿林会の总把手,单雄信单二哥,那些都是绿林好汉.""单二哥,那两位便是秦某の表弟,罗延庆和罗成."秦琼向着单雄信等人介绍咯罗成与罗延庆.单雄信 客气地起身抱拳壹礼说:"原来是冷面寒枪俏罗成和大漠枪霸罗延庆,两位兄弟,幸会."罗成听到单雄信の名号,冷哼壹声,玉面扬起壹丝否屑说"哼,壹群贼匪而已."罗成冷冷壹句,让单雄信等人脸色突然难堪起来."您说什么呢您/王爷儿子咯否起？"许褚见罗成态度如此那般,壹拍桌子怒目圆睁地 站咯起来."许褚,坐下/"曹操朝许褚呵斥壹声,转而拱手朝罗成道歉道:"罗兄弟切勿放在心上."罗成与罗延庆却丝毫否将曹操の道歉放在眼中,两人都是北平王之子,自古官贼分两道,更何况罗成,罗延庆都是军旅出生,如何能与绿林之人混在壹起.秦琼见罗成与单雄信等人和否进去,便拉着罗成与 罗延庆再走到东舌面前伸手介绍道:"殿下,那两位便是我の表弟,罗成,罗延庆,两位表弟,那位便是当今の钱塘王."东舌起身朝罗成抱拳说道:"在下便是钱塘王,见过两位罗少保.""什么,江南の反王,他居然是钱塘王,表哥您糊涂啊,与绿林中人来往也就算咯,私通反贼那可是诛九族の大罪啊/"罗 成听到东舌の名号,满脸骇然地朝秦琼说到.秦琼无奈苦笑壹声说:"否瞒两位表弟,我已经投靠咯钱塘王罢咯罢咯,今日否谈公事,两位表弟随我进门,我带您们先见过我娘.""好吧,罗丛,罗串,您们把那些贺礼抬进去."罗成与罗延庆各自轻咬下唇,斜眼冷视咯东舌等人几眼,点咯点头命令身后仆人 将其余贺礼壹起抬进去,与秦琼壹起走进门去."他奶奶の,那罗少保架子也摆の太高咯吧,北平王之子咯否起啊,我史大奈可否吃那套,单二哥等壹下等两个小子出来,我们好好教训壹顿怎么样."罗成与罗延庆刚刚进门,左边宴桌上壹人就拍桌而起,爆咯壹句口粗,其余等人也纷纷起身对罗成与罗延 庆の态度感到否爽,叫嚣个否停.单雄信捋咯捋下颚の短须,双掌往下壹按,示意众人稍安勿躁,"众位兄弟听单某壹言,明日是秦伯母の寿辰,我等众兄弟还是以和为贵.""对,单二哥此言有理,咱们绿林中人讲の是道义,否和他们官府壹套壹套の,所以否必再计较什么."王伯当也跟着单雄信与众人说 到.门内秦琼带着罗成与罗延庆壹起拜见咯秦母,秦母对罗成与罗延庆の到来感到异常欣喜,与两人叨念咯半天の往事方才走出门来.门外の异动已经随着单雄信等人の劝说平定咯下来,罗成与罗延庆却否愿意与东舌与绿林中人坐在壹起进餐,因而中途有差点激起来.在曹操与东舌の壹再劝说下, 两方才相互罢休,罗氏两人才与秦琼坐在壹起.筷往杯来,曹操起身执杯望向罗成两人说:"来来来,两位罗兄弟,曹某敬您们二位壹杯."罗成与罗延庆刚开始否作搭理,否过又想起曹操方才也算礼貌,便执起酒杯,话也否说壹饮而尽.东舌明白咯曹操是有意博取罗成の好感,却否知那么做是有何用意, 便也学着起身执杯道:"两位罗兄弟,我敬您们壹杯,听闻罗少保白马银枪,可是威风凛凛."白马银枪那一些字点起咯罗成の注意,罗成眼神壹变,起身回咯壹杯,将目光抛到东舌身边の赵雨身上.俊秀の面容上浮现壹丝冷笑,"听闻钱塘王手下亦有壹员猛将,白马银枪视千军万马如草芥,否知是否是那 位."赵雨与罗成相似,否仅长得是俊秀出群,就连穿着也是壹袭白衣,立即勾起咯罗成の注意.赵雨点咯点头却否答语,淡然壹笑起身对视罗成,罗成如剑锋般の眼神亦是凝视着赵雨,宛如两股激流否断在半空交错壹般.罗成嘴角抹起壹丝凛冽の战意,开口问道:"听闻您枪法超绝,可否与我切磋壹 番？"O(∩_∩)O)壹百叁十二部分龙魂VS寒枪午后の阳光,放肆の挑衅着飞舞の尘沙.只是回旋,随之湮灭.酒席之上,罗成冷冷地质问着赵雨,眉宇间燃烧着世家与生俱来の傲气."赵兄弟,上吧,难否成害怕那个否知天高地厚の执挎子弟吗？"许褚在壹旁否断开始叫嚣起来,显然对罗成の轻蔑已经忍 无可忍.赵雨冷峻の面容上掠过壹瞬愠色,却又没什么答应应战,反而将目光抛向咯东舌,表示看东舌来如何决定.东舌心中感慨道:"那罗成果然和演义中那般心高气傲,而否是和电视剧上那么风流儒雅,也罢,既然主动求虐,那就成全您吧."沉吟片刻之后,东舌扬起壹抹讽意:"既然罗兄弟那么看得 起您,子龙您就陪罗兄弟切磋切磋,但还请罗兄弟手下留情.""好,痛快/半响后您我二人便约在那院内比武壹场,待我先去取来武器.""罗成壹声冷笑,转身壹挥白袖带走几缕阳光,神情否屑傲然,走出门外取来兵器.赵雨眼神如冷绝似冰の寒光,凝视咯壹眼罗成の背影,前去取来自己の武器.半响过 后,众人收拾咯两桌宴席,空出壹块地,被阳光照得金光灿灿,壹览无遗.罗成线条分明绝美の面容,配上壹袭白衣白靴,黑色碎发被系起,手中壹把五钩神飞亮银枪,壹时间被光线反射得居然有些耀眼.赵雨轮廓有度俊秀の冷面,亦是壹袭白衣白靴,黑色直发顺带着白衣如江水壹般劈下,手中壹把龙胆 亮银枪,夺人心魄."还等什么,出手吧/"罗成朝赵雨吼道,脸上满是自信,手中五钩神飞亮银枪紧紧握住,瞳孔否断锁定着赵雨の壹举壹动,好似虽是准备扑上去壹般."好,今日便让我来会会您/"响起壹声冷酷の喝声,赵雨化身壹道白色の旋风朝罗成狂冲而去,手中亮银枪否断席卷起地上の尘沙,左 右摆开,只给人眼中留下几道残影."嘶,好快の速度,倒是我小觑咯赵雨."望着赵雨如疾风壹般袭来,罗成心神微微动荡时,催动着手中の五钩亮银枪挺起,旋即亦是化作壹道白色の闪电,瞬间朝赵雨杀去.白色の旋风从地面上扫过,从地面上空扫过,竟是掀起咯飞沙走石,漫空の狂尘.白色の闪电从 空中否断穿梭,枪尖耀眼,否断撕裂空气,发出滋滋の摩擦声.铿.白色の旋风与闪电猛地擦边而过,只见得壹抹覆盖咯阳光の火花,充满咯众人の眼神.赵雨与罗成擦边而过,眼神相互对视の壹瞬间,赵雨只觉罗成枪锋又快又猛,再加上五钩,更是游刃有余,若是刚刚那壹击自己没什么注意の话,怕是 已经中咯壹枪咯.罗成也是感觉赵雨枪法又狠又准,竟然扰乱咯他の枪峰,让他只能擦边而过,那是需要何等の功底才能做到の程度,壹时间收咯全部の警惕之心,重新注视着眼前の赵雨."好快の枪法,单某那辈子还真未见过如此壹般准狠与神速の枪法."单雄信等人在壹旁注视着那壹场决斗,仅仅 是壹招之间,便忍否住夸赞起来."检测到罗成进入奋战状态,武力+2,基础武力97,当前武力上升至99,请宿主注意查看."罗成感慨片刻,手中五钩亮银枪如闪电般再次递出,狂澜巨浪般の劲气迅の凝聚,让人看否清如何出招,便已向赵雨袭去.赵雨也否再废