等比数列
等比数列概念知识点归纳总结
等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。
通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。
根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。
当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。
2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。
3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。
如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。
2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。
3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。
4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。
总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。
等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。
熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学的世界里，等比数列是一个重要且有趣的概念。
它在许多领域都有着广泛的应用，从金融到物理学，从计算机科学到日常生活中的各种现象。
下面咱们就来好好梳理一下等比数列的相关知识点。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，……就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
这个公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
比如说，对于等比数列 3，6，12，24，……，首项 a1 ＝ 3 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 3×2^（5 1) ＝ 48 。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
等比中项的公式为 G ＝±√（ab) 。
例如，2 和 8 的等比中项就是±√（2×8) ＝ ±4 。
四、等比数列的性质1、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 1，2，4，8，……中，a2×a5 ＝ 2×16 ＝ 32 ，a3×a4 ＝ 4×8 ＝ 32 ，两者相等。
2、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式在求解等比数列的和时非常有用。
3、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{λan}（λ 为常数）也是等比数列，公比为 q 。
4、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{an^m}（m 为常数）也是等比数列，公比为 q^m 。
《等比数列》知识点
1 等比数列1、等比数列的定义：（1）一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1 ：a n = q (q ≠ 0) ⇔212n n n a a a ++=．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零．（2）通项公式：a n ＝ a 1q n －1（3）前n 项和公式：当1q ≠，1(1)1n n a q S q -=- ，11n n a a q S q-=-。
当11,n q S na ==（4）等比数列常用性质：①对于任意的正整数,,,,q p n m ,如果，则则a m ·a n ＝a p ·a q 。
特别地，对于任意的正整数k n m ,,，如果k n m 2=+，则则a m ·a n ＝a k 2. ②等差中项：若b G a ,,成等比数列，则称G 是b a ,的等比中项，G 2=ab 仍为等比数列,公比为n q .（5）等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列；（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列；（6）等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列。
m n p q +=+232n n n n n S S S S S --，，……。
等比数列知识点概念归纳总结
等比数列知识点概念归纳总结等比数列是数学中的重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用。
本文将对等比数列的基本概念、性质和常见问题进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为等比数列的公比，用字母q表示。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)二、性质1. 等比数列的公比q必须为非零实数。
如果q大于1，则数列呈递增趋势；如果0<q<1，则数列呈递减趋势。
2. 等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数。
3. 当q大于1时，等比数列趋于正无穷；当0<q<1时，等比数列趋于零。
4. 若一个数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列必为常数数列，即a1 = an = a。
三、常见问题1. 如何判断一个数列是否是等比数列？若一个数列中，每一项与它前一项的比值都相等，则这个数列为等比数列。
2. 如何确定等比数列的公比？等比数列的公比可以通过任意两项的比值来确定。
选择两项，例如第n项和第n+1项，计算它们的比值，如果得到的结果对于数列中的任意两项都相等，则该结果即为等比数列的公比。
3. 如何求等比数列的第n项？可以通过数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将首项和公比代入公式，计算得到第n项的值。
4. 如何求等比数列的前n项和？可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算前n项和的值。
等比数列在数学中有着广泛的应用，特别是在金融、自然科学和工程领域。
例如在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算中的本金增长；在自然科学中，等比数列可以用来描述物种繁衍的规律；在工程领域，等比数列可以用来描述扩大或缩小的比例关系。
总结：等比数列是一种重要的数列概念，它具有一些基本概念、性质和常见问题。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结
等比数列是一种数列，其中每个项与前一个项的比例相等。
以下是等比数列的常见知识点：
1、公比：等比数列中，相邻两项的比为固定值，称为公比q。
2、通项公式：等比数列的通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中
a1 是首项，q 是公比，n 是项数，an 是第 n 项。
3、公差与公比的关系：若等比数列的公比为 q，则公差为 a2
- a1 = a1 * (q-1)。
4、求和公式：等比数列的求和公式为 Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 Sn 是前 n 项和。
5、求指定项数的值：已知等比数列的首项 a1 和公比 q，求第
n 项的值 an 的公式为 an = a1 * q^(n-1)。
6、无限等比数列的收敛性：当公比 q 的绝对值小于 1 时，无
限等比数列的和 S 有限且为 S = a1 / (1 - q)。
7、等比数列的性质：等比数列的一般性质包括：(1) 当公比 q > 1 时，数列依次增大；当 0 < q < 1 时，数列依次减小；(2) 最
后一项与第一项的正负性取决于项数的奇偶性；(3) 若有两个
等比数列，它们次数相同，它们的和数列也是等比数列。
8、等比数列与比例：等比数列也可以理解为一种比例，其中
比例的公比为等比数列的公比 q，比例的两个比例项为相邻的两项。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的概念与计算
等比数列的概念与计算等比数列，是指一个数列中，从第二个数起，每个数都是前一个数乘以一个固定的常数。
这个常数被称为等比数列的公比，通常用字母q 表示。
等比数列的概念和计算是高中数学中的重要基础知识之一，本文将从概念和计算两个方面详细介绍等比数列。
概念等比数列的概念可以通过以下定义来描述：给定一个数列a₁, a₂,a₃, ..., an，如果对于任意的正整数n，都有aₙ₊₁ = aₙ * q成立，其中q是一个非零实数，那么这个数列就是等比数列。
其中a₁是等比数列的首项，比值q是等比数列的公比。
等比数列有一些特征，我们来看看有下面两个定理。
定理1：等比数列的任意一项，等于它前一项乘以公比的(n-1)次方。
证明：假设等比数列的首项是a₁，公比是q，根据等比数列的定义，可以得到a₂ = a₁ * q。
同样根据定义，a₃ = a₂ * q = (a₁ * q) * q = a₁* q²。
以此类推，aₙ = a₁ * q^(n-1)。
定理2：等比数列的n项和公式为Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
证明：我们知道，等比数列的任意一项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
将等比数列的前n项相加得到Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ。
根据定理1可知，aₙ = a₁ * q^(n-1)。
将等比数列每一项都替换成a₁ * q^(n-1)，得到Sₙ = a₁ + a₁ * q + ... + a₁ * q^(n-1)。
两边因式分解得到Sₙ = a₁* (1 + q + q² + ... + q^(n-1))。
我们已经知道等比数列的前n项和可以表示为1 + q + q² + ... + q^(n-1) = (1 - qⁿ) / (1 - q)。
将这个式子带入Sₙ中，就得到了等比数列的n项和公式Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)。
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等比数列
（一）基础知识
一、等比数列的判定
判定等比数列的常用方法： （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 是不为0的常数，*n N ∈） ⇔{}n a 是等比数列。
（2）通项公式法：n n a cq =（,c q 均是不为0的常数，*
n N ∈）⇒{}n a 是等比数列。
（3）中项公式法：2
*12!2(0,)n n n n n n a a a a a a n N ++++=≠∈
⇔{}n a 是等比数列。
（4）前n 项和公式法：1
(0,0,)1
n
n a S kq k k q k q =-≠≠=-且⇒{}n a 是等比数列。
二、等比数列的通项公式及性质应用 （1）等比数列的通项公式：
①等比数列{}n a 中，已知1a 和q ，则1
1n n a a q -=；已知()m a m n <和
q ，则()n m n m a a q m n -=<。
②用函数的观点看等比数列的通项：
等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=，可以改写为1n
n a a q q
=。
当0q >，且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，而 1x
a y q q
=
是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列{}n a 的图像是函数1x
a y q q
=
的图像上的一群孤立的点。
（2）常用等比数列的性质：
若*,,,m n p q N ∈，且m n p q +=+，则m n p q a a a a = 。
特别的，若2m n p +=，则2
m n p a a a = 。
若{}n a 为等比数列，则23,,,k k m k m a a a ++ 仍成等比数列。
若{}n a 为等比数列，则{}(0)n a λλ≠，同时23
21{},{},{},{}n n n n
a a a a 都是等比数列。
（3）单调性：
当110,10,01a q a q >><<<或时，{}n a 为递增等比数列；
当110,010,1a q a q ><<<>或时，{}n a 为递减等比数列； 当1q =时，{}n a 为常数列； 当0q <时，{}n a 为摆动数列。
三、等比中项
（1）2
b a
c =是,,a b c 成等比数列的必要不充分条件。
（2）已知等比数列{}n a 中相邻三项11,,n n n a a a -+，则n a 是1n a -与1n a +的等比中项，即
211n n n a a a -+= 。
（3）同号的两个数才有等比中项。
四、等比数列的设法
（1）若有三个数成等比数列，则这三个数可设为2,,a aq aq ，或设为
,,a
a aq q。
若有四个数成等比数列，则这四个数可设为23,,,a aq aq aq ，也可设为3
3
,,,a a aq aq q q。
若题目中有各数之积为定值时，常采用后一种设法。
（2）等差数列和等比数列混合型，若有三个数成等差数列且和一定，常设为,,a d a a d -+；
若有三个数成等比数列且积一定，常设为,,a
a aq q。
不论哪一种设法，原则是所设未知数个数尽量少，以便于计算。
（二）典型例题
1、已知数列{}n a 为等比数列483932,18a a a a ∙=+=，且公比1q >，求通项公式n a .
2、已知()1f x bx =+为关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且满足
()()1,0(),1,1n g n n N f g n n *=⎧⎪
=∈⎨-≥⎡⎤⎪⎣
⎦⎩，设()()(1)n a g n
g n n N *
=--∈，
则数列为（ ） （A ）等差数列 （B ）等比数列 （C ）递增数列 （D ）递减数列
3、如果,,a b c 成等比数列，其中0a b c <<<，n 是大于1的整数，那么log ,log ,log a b c n n n 组成的数列是（ ）
（A ）等比数列 （B ）每项的倒数成等差数列
（C ）等差数列 （D ）第2项与第3项分别是第1项与第2项的n 次幂
4、已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =
（A
） （B ） 7 （C ） 6 （D ）
5、设二次方程2110(1,2,3,...)n n a x a x n +-+==有两实根α和β，且满足62ααβ-+
63β=.
（1）试用n a 表示1n a +；
（2）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （3）当17
6
a =时，求数列{}n a 的通项公式.
6设12a =，121
n n a a +=
+，21n n n a b a +=-，*
n N ∈，则数列{}n b 的通项公式
n b = ．
7、在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，所有
8、在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列
1213,,,,...,,...n k k k a a a a a 成等比数列，求数列{}n k 的通项公式.
9、已知数列{}{}n n a b 与满足1
*113(1)(2)1,,2
n n
n n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=
∈ 且12a =
（1）求23,a a 的值；
（2）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列。