排队论方法
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
排队论方法讲解
排
队 论 方 法
1. 基本概念
1.排队过程的一般模型 顾客服务过程分为四个步骤：
进入排队系统（输入） 等候服务 接受服务 离开系统（输出）
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出 过程可以不用考虑，则
讲
解
输入过程 排队系统排队规则 服务机构
排
队 论
①输入过程： I.顾客总体 （顾客源）
排
队 论
1.5.2 指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾客相 继到达的时间间隔,则T是一个随机变量, 其分布函数为
FT (t ) P{T t} 1 P(T t ) 1 P0 (t )
t t 又P ( t ) e , 则 F ( t ) 1 e , 0 T
k 0 n
讲
解
(全概公式、独立性 ) Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t o(t )
排 队 论
Pn (t , t t ) Pn (t ) o(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
讲
解
排
队 论
(1) 无后效性：在不相交的时间区 间内,顾客到达数相互独立，即在 [t,t+△t]时段内到达的顾客数，与 时刻t之前到达的顾客数无关； (2)平稳性：对于充分小的△t，在 [t,t+△t]内有１个顾客到达的概率， 只与△t有关，而与ｔ无关，且 P1 (t , t t ) t o(t ),
t
实际中，多数问题都属于稳态情 况，且通常在经过某一时段后即可 到达稳态，而不需要t→∞
排
队 论
物流合理化名词解释
物流合理化名词解释概述物流合理化是指通过科学、系统的方法，对物流流程进行优化和改进，以提高物流效率、降低物流成本，从而提高企业的竞争力和经济效益的管理活动。
物流合理化的意义物流合理化的实施，可以带来多方面的好处。
首先，物流合理化能够降低企业的物流成本，提高物流效率，这对于企业的运营和发展至关重要。
其次，物流合理化可以减少物流风险，提高物流安全性，确保货物的安全和完整。
同时，物流合理化还可以提高企业的服务水平，使客户满意度得到提升。
此外，物流合理化还可以提升企业的竞争力，使企业在市场上获得更多的机会和优势。
实施物流合理化的步骤要实施物流合理化，需要经过一系列的步骤和方法。
下面是实施物流合理化的常见步骤：1. 分析当前物流情况首先，需要对企业的物流情况进行全面的分析和评估。
这包括物流流程、物流设备、物流人员等方面的情况。
通过对当前物流情况的了解，可以找出存在的问题和瓶颈，并为后续的改进提供依据。
2. 设定物流目标在分析当前物流情况的基础上，需要制定合理的物流目标。
物流目标应该与企业的整体目标相一致，并具有明确的指标和时间要求。
例如，可以设定降低物流成本、提高物流效率、提高客户满意度等目标。
3. 制定物流改进方案根据分析和目标设定的结果，制定具体的物流改进方案。
这个过程包括对物流流程的优化、物流设备的改造和更新、物流人员的培训和调整等。
同时，还需要对物流信息系统进行升级和改造，以提升物流管理水平和效率。
4. 实施物流改进方案在制定改进方案之后，需要开始实施这些方案。
实施过程中，需要注意对物流改进的效果进行跟踪和评估，并根据情况进行调整和改进。
同时，还需要做好各项改进措施的执行和落实，确保改进方案的顺利进行。
5. 监控和评估物流改进效果在物流改进方案实施一段时间后，需要对改进效果进行监控和评估。
这包括物流成本的降低情况、物流效率的提升情况、客户满意度的改善等方面的评估。
通过及时的监控和评估，可以及时发现问题，并采取相应的改进措施。
排队论里的排队规则
排队论里的排队规则
在生活中，排队是一种常见的行为，无论是在购物中心、餐厅、公共交通工具等场所，都需要遵守一定的排队规则。
排队论里的排
队规则不仅仅是一种行为准则，更是一种社会文明的体现。
首先，排队的基本原则是“先来后到”。
这意味着先到达排队
地点的人应该先进行排队，后到达的人应该在后面等待。
这样的规
则可以有效地避免混乱和纠纷，确保公平和秩序。
其次，排队时应该保持秩序和安静。
在排队的过程中，人们应
该保持安静，不要大声喧哗，以免影响他人。
同时，要保持队伍整齐，不要插队或者挤占他人的位置，以免引起冲突和不愉快的情绪。
另外，排队时要尊重他人。
无论是年长者、残障者还是孕妇，
都应该得到他人的尊重和关爱。
在排队时，应该主动让出位置给有
需要的人，这是一种社会责任和爱心的体现。
最后，排队的过程中要耐心等待。
有时候排队可能会花费较长
的时间，但是我们应该保持耐心，不要因为等待而产生不满情绪。
排队是一种社会文明的表现，只有大家都遵守规则，才能保持良好
的社会秩序。
总之，排队论里的排队规则是一种社会文明的体现，它不仅仅是一种行为准则，更是一种社会责任和爱心的表现。
只有大家都遵守规则，才能保持良好的社会秩序，让生活更加和谐美好。
数学排队问题的题型
数学排队问题的题型在我们的日常生活中，排队是一件常见的事情。
你有没有想过，在排队的时候，我们能够利用数学知识帮助我们更加高效地排队呢？今天我们就来讲一讲数学排队问题的题型。
数学排队问题主要涉及到概率论和统计学知识，通常可以分为两种类型：单队列问题和多队列问题。
一、单队列问题单队列问题是指只有一个排队通道的情况。
在这种情况下，我们最想知道的就是队列的平均长度和队列的平均等待时间。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以用排队论中的公式来计算，它的公式如下：Lq = λWq其中，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间。
同样地，如何计算队列的平均等待时间呢？我们可以利用排队论中的另一个公式来计算，它的公式如下：Wq = Lq / λ其中，Wq 表示单位时间内在队列中等待的平均时间，Lq 表示队列的平均长度，λ 表示单位时间内到达队列的人数。
二、多队列问题多队列问题是指有多个排队通道的情况。
在这种情况下，我们需要考虑如何将人员分配到不同的队列中，以及如何计算队列的平均长度和队列的平均等待时间。
在多队列问题中，人员的分配可以有多种方法。
最常见的方法是随机分配，即每个人有相同的几率被分配到任何一个队列中。
那么如何计算队列的平均长度呢？我们可以使用排队论中的Kendall’s notation，它由三个参数组成：A/B/C。
其中，A 表示到达队列的时间间隔分布，常见的有常数间隔（M）、泊松分布（P）等；B 表示服务时间的分布，常见的有常数服务时间（M）和指数分布（E）等；C 表示队列的数量，常见的有 FIFO（先进先出）和 LIFO（后进先出）等。
例如，M/M/2 表示到达队列的时间间隔和服务时间都是常数，队列的数量为两个。
那么我们可以利用排队论的公式来计算队列的平均长度和等待时间。
对于多队列问题，计算队列的平均长度和等待时间相对更加复杂，需要更多的排队论知识和模型分析。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
迪士尼是如何运用排队论的
迪士尼是如何运用排队论的？寒假时，妈妈带我到上海迪士尼游乐园玩，那里童话般的城堡，惊险刺激的游乐项目，精彩纷呈的花车游行，梦幻的烟火表演，无不让我如醉如痴。
但给我留下最深刻印象的，却是排队。
不过，迪士尼乐园让我最惊讶的地方就是，动辄几小时的长时间排队，却从没有人不耐烦，而且感觉不那么难熬，这究竟是为什么呢我回家后，针对排队问题，查询了许多资料，终于揭开了迷雾的一角。
排队论在大约100 年前的丹麦兴起，还是得益于电话的需要。
在1909 年，通话线路是由接线员通过交换机来安排的。
为了将利润最大化，电话公司需要精确知晓控制一定的呼叫量需要多少接线员和交换设备：人员和设备少了，通话就会“堵车”，惹恼被迫等待的顾客；多了，就会造成资产浪费。
于是，丹麦工程师厄朗（Agner Krarup Erlang）被指派来解决这一问题。
厄朗设计的公式在今天仍然适用：当项目经理计算项目执行过程中形成队列的可能，他就会用到这些公式。
而现代，迪士尼就运用了基于数学模型建立的高科技快速排队系统—FastPass系统。
只要你在这个系统的机器上扫描门票上的二维码，就可以拿到一张快速通行证，计算出你需要什么时间段到哪个项目可以不用排队，快速通行，以提高排队的效率。
但其实你知道吗，对于排队的人来说，排队心理学比排队数学论更重要。
从20 世纪中叶开始，排队论研究的重心开始从“公式” 向“感受” 转移。
20 世纪50 年代，纽约写字楼的大厅里出现了“拥堵危机”：人员出入高峰期，电梯运力不足，引发了大量的抱怨投诉。
“解决办法之一是将大楼推倒，重建时配建更多的电梯，” ，“但是人们发现，真正的问题不在于拥堵的时长，而在于人在等候的这段时间里有何感受。
” 有些写字楼在电梯旁边安装了落地镜，人们在等电梯时可以照照镜、调调情，抱怨量就此大降。
排队心理学需要关注人的三种心理特征：1、人在排队等候时会无聊；2、人非常讨厌以为只等一会儿但却等了很长时间；3、人非常非常讨厌后来的人先得到服务。
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♂
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Probability
三 多服务台排队模型
M/M/c
所有服务台是空的概率P0,和所有服务台都在忙 的概率 P,需要下面比较复杂的公式。
, c
(c ) (c ) P0 c !(1 ) n 0 n !
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一 排队论的基本概念
1.排队系统
排队 服务窗
顾客源
排队规则
服务规则
排队系统 1.顾客是怎 样到达的 2.顾客是怎 样排队的 3.顾客是怎 样接受服务
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2. 排队系统的三个基本要素
输入过程 排队规则 服务窗
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2.排队系统的三个基本要素 一、输入过程 顾客到达时间间隔可分确定型（如定期航班） 和随机型（看病的病人） 顾客源可以有限或无限 顾客到达系统的方式可以逐个或成批 顾客到达系统可以是独立的或者相关的，输 入过程可以是平稳、马氏、齐次的等
1 (c ) n P0 ,0 n c n! Pn c c nP , c n N 0 c!
Lq Wq
n c 1
(n c) P , L L
n
N
q
c (1 PN ) 1
Lq
(1 PN )
,W Wq
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♂
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排队系统的最优化问题
1.模型M/M/1中的最优服务率μ 设目标函数：z=csμ+cWL 即 z=csμ+cW 令 dz =0 ￣ dμ λ μ-λ
cw ，可得最优解μ*= cs
￣
即最优服务率。
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2.模型M/M/c中的最优服务台数
在稳态时，单位时间内每服务台的成本费为cs,每个顾客在
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2 学习排队论的目的
1.求出各种排队系统的规律性，使设计人员掌 握这种规律，设计出最优化的排队系统； 2.使管理人员掌握这种规律，调整与控制排队 系统使它处于最佳运营状态
design & analysis
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主要内容
一 排队论的基本概念
三 单服务台的排队模型 四 多服务台的排队模型 五 案例分析
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2.排队系统的三个基本要素 服务规则 先到先服务 后到先服务 随机选择服务 优先级服务（特快专递）
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2.排队系统的三个基本要素 三、服务窗 窗口个数可一个或多个 多个服务窗时，顾客可以平行多队排列，串 列或者串并同时存在的混合排队 一个服务窗可以为单个顾客或成批顾客进行 服务 各窗口的服务时间可为确定型或随机型。服 务时间往往是平稳的
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2.排队系统的三个基本要素 二、排队规则 损失制－ 顾客到达系统时，如果系统中所有 服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去 等待制－ 顾客到达系统时，如果所有服务窗 均被占用，则系统能够提供足够的排队空间让 顾客排队等待 混合制－ 是损失制与等待制混合组成的排队 系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其 余顾客被拒绝
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14
♂
Probability
16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM
26
28
30
32
34
36
38
40
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M/M/c/N/∞ (系统容量有限的服务系统)
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负指数分布
随机变量 T 密度函数 分布函数 均值 方差
et for t 0 fT (t ) for t 0 0 P(T t ) 1 et fT(t)
2 1 Var(T )
E (T )
1
E (T )
先到先服务；
★服务时间为相互独立的参数为μ的负指数分布。
♂ ※
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1. M/M/1 模型 （Ls, Ws, Lq, Wq）
: 服务强度（单位时间内被服务完的顾客数与
请求服务的顾客数之比值）
P0 1 系统的稳态概率： Pn (1 ) n , n 1
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
数学建模之
---排队论方法
（Queueing Theory）
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1 排队现象
有形的队伍 超市出口处排队付款 餐厅排队买饭 银行排队等待服务 …… 无形的队伍 114查号台等待服务 网络中数据包传输 …… 某些系统也可能根本不允许排队 交换机处理呼叫 …
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M/M/1/N/ 举例
M/M/s ith Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
(1 ) n , 1, n 0,1,2,.., N N 1 1 Pn 1 , 1, n 0,1,2,...,N N 1
( N 1) N 1 L , 1 N 1 1 1
Lq L (1 P0 ) L W (1 P0 ) Wq W 1
c 1 n c 1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
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M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455
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排队系统的三大要素 就是排队系统的已知条件
输入过程 顾客到达间隔时间的分布 排队规则 队列允许的最大长度 (以便确定系统最大容量n） 服务窗 服务窗个数 m 顾客占用服务窗时间的分布
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3. 排队模型的分类与记号
通常用3~5个字母X/Y/Z/m/N/C来表示排队模型 X 顾客相继到达系统的间隔时间 t 的概率分布类型 Y 为服务窗口所耗费的服务时间 的概率分布类型 Z 并行工作的服务机构内服务窗的个数 m 系统内最大排队容量或顾客在系统中排队所允许的 最大长度（包括正在服务和排队等待的顾客） N 顾客的最大数量，如果不写则表示顾客源为 C此排队模型的服务规则
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(Kleinrock) "We study the phenomena of standing, waiting, and serving, and we call this study Queueing Theory." "Any system in which arrivals place demands upon a finite capacity resource may be termed a queueing system."
♂
队长：L= ρ = λ 1-ρ μ-λ ￣ ￣ 排队长： q=ρλ L μ-λ
￣
1 逗留时间：W= μ-λ ρ 等待时间： q= W μ-λ
￣ ￣
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Little’s formula
L W
Lq Wq
W Wq 1
L Lq
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M/M/1 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 5 6 1 83.33% 0.1667 4.1667 5.0000 0.8333 1.0000
Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
0.2
Probability
0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40