(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：函数(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：
函数
（含解析）
1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R ，设函数f(x)={
x 2-2ax +2a ，x ≤1，x -alnx ，x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )
A.[0，1]
B.[0，2]
C.[0，e]
D.[1，e] 【答案】C
【解析】(1)当a ≤1时，二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x ，f'(x)=1-a x =x -a x >0
此时要使f(x)=x-aln x 在(1，+∞)上单调递增，需1-aln 1>0.显然成立.
可知0≤a ≤1.
(2)当a>1时，x=a>1，1-2a+2a ≥0，显然成立.
此时f'(x)=x -a x ，当x ∈(1，a)，f'(x)<0，单调递减，当x ∈(a ，+∞)，f'(x)>0，单调递增.
需f(a)=a-aln a ≥0，ln a ≤1，a ≤e ，可知1<a ≤e.
由(1)(2)可知，a ∈[0，e]，故选C.
2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ，0≤x ≤1，1x ，x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )
A.54，94
B.54，94
C.54，94∪{1}
D.54，9
4∪{1} 【答案】D
【解析】当直线过点A(1，1)时，有1=-14+a ，得a=54.
当直线过点B(1，2)时，有2=-14+a ，a=94.
故当54≤a≤94时，有两个相异点.
当x>1时，f'(x 0)=-1x 02=-1
4，x 0=2.
此时切点为2，12，此时a=1.故选D.
3.(2019•浙江•T9)设a ，b ∈R ，函数f(x)={x ，x <0，1
3x 3-12(a +1)x 2+ax ，x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点，
则( )
A.a<-1，b<0
B.a<-1，b>0
C.a>-1，b<0
D.a>-1，b>0
【答案】C
【解析】当x<0时，由x=ax+b ，得x=b 1-a ，最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小，所以关键研究当x≥0时，方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数，令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-3
2(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示，
可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.
①若32(a+1)<0，即a<-1时，x=0处为偶重零点反弹，x=32(a+1)为奇重零点穿过，显然在x≥0时g(x)单调递增，故与y=b 最多只能有一个交点，不符合题意.
②若32(a+1)=0，即a=-1，0处为3次零点穿过，也不符合题意.
③若32(a+1)>0，即a>-1时，x=0处为偶重零点反弹，x=32(a+1)为奇重零点穿过，当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点，且此时要求x=b 1-a <0，故-1<a<1，b<0，选C.
4.(2019•北京•文T3)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )
A.y=x 12
B.y=2-x
C.y=lo g 12x
D.y=1
x
【答案】A
【解析】函数y=2-x ，y=lo g 12x ，y=1x 在区间(0，+∞)上单调递减，函数y=x 12
在区间(0，+∞)上
单调递增，故选A.
5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2，π)内单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
【答案】C
【解析】因为函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确; 当π2<x<π时，f(x)=2sin x ，它在区间(π2，π)内单调递减，故②错误;
当0≤x ≤π时，f(x)=2sin x ，它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时，f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x ，它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π，π]上有3个零点-π，0和π，故③错误;
当x ∈[2k π，2k π+π](k ∈N *)时，f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π，2k π+2π](k ∈N *)时，f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数，所以f(x)的最大值为2，故④正确;
综上可知①④正确，故选C.
6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则( )
A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23)
B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32)
C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)
D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314)
【答案】C
【解析】∵f(x)是R 上的偶函数，
∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34).
又y=2x 在R 上单调递增，
∴log 34>1=20>2-23>2-32
.
又f(x)在区间(0，+∞)内单调递减， ∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32)，
∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.
7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2，b=20.2，c=0.20.3，则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
【答案】B
【解析】因为a=log 20.2<0，b=20.2>20=1，
又0<c=0.20.3<0.20<1，
所以a<c<b.故选B.
8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52，b=log 0.50.2，c=0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为(
)
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
【答案】A
【解析】∵a=log 52<log 5√5=12，
b=log 0.50.2>log 0.50.5=1，
c=0.50.2=（12）0.2>（12）1，∴b>c>a.故选A.
9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27，b=log 38，c=0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
命题点比较大小，指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较.
【答案】A
【解析】a=log 27>log 24=2.
b=log 38<log 39<2，且b>1.
又c=0.30.2<1，故c<b<a ，故选A.
10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+x
cosx+x 2在[-π，π]的图像大致为( )。