高观点的数学思想对中学数学教学的启示
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、本文概述《“高观点”下的中学数学的实践与认识》是一篇旨在探讨如何在中学数学教育中融入高观点教学理念的文章。
文章首先介绍了“高观点”教学理念的定义和内涵，指出这种教学理念对于提升学生数学素养、培养学生的创新能力和解决问题的能力具有重要意义。
接着，文章分析了当前中学数学教育面临的挑战，如教学内容单教学方法陈旧、学生缺乏实践机会等问题，并提出了在“高观点”下解决这些问题的策略和方法。
文章强调，中学数学教育的目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力。
因此，文章提倡将高观点教学理念引入到中学数学教学中，通过引导学生从更高的层次和更广阔的视角去理解和应用数学知识，提升学生的数学素养和创新能力。
文章还指出，实现这一目标需要教师不断更新教育观念，改进教学方法，为学生提供更多的实践机会和探究空间。
在文章的结构上，本文先对“高观点”教学理念进行阐述，然后分析当前中学数学教育的问题和挑战，接着提出在“高观点”下解决这些问题的策略和方法，最后对实施这些策略和方法可能遇到的困难和挑战进行讨论和展望。
通过这篇文章，我们希望能够引起广大中学数学教师和教育管理者的关注，共同推动中学数学教育的发展和进步。
二、“高观点”下的中学数学教学实践“高观点”下的中学数学教学，不仅要求教师对数学知识有深入的理解和掌握，还需要他们具备从更高层次、更宽广的视角去看待和教授数学知识的能力。
这种教学方法的实践，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
将高等数学的知识和思维方法引入中学数学教学。
高等数学的知识和思维方法往往具有更高的抽象性和普适性，能够帮助学生更好地理解和掌握中学数学知识。
例如，在中学数学中引入微积分、线性代数等高等数学的知识，可以帮助学生更好地理解函数的性质、变量的变化等概念。
注重数学知识的应用和问题解决。
数学是一门应用广泛的学科，将数学知识应用到实际问题中，能够帮助学生更好地理解数学的应用价值，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
数学思想对教学的启示
数学思想对教学的启示数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。
在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。
因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。
1 中学数学教学中应运用的思想方法(1)方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。
所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。
教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。
如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。
在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。
与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。
(2)分类讨论思想:分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。
分类是数学发现的重要手段。
在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义
高观点下的中学数学课程的主要任务和指导意义篇一：高观点下的中学数学课程是指在现代数学的高度基础上，重新审视中学数学的教学内容，旨在帮助学生更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养。
在中学数学课程中，主要任务包括以下几个方面:1. 培养学生的数学思维能力。
中学数学是数学的基础，对学生的数学思维能力有重要的培养作用。
通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生的数学思维能力。
2. 提高学生的数学素养。
数学素养是数学教育的核心，通过高观点下的中学数学课程，可以帮助学生更好地理解数学的意义和价值，提高学生的数学素养。
这不仅有利于学生在未来的学习和工作中更好地运用数学，也有利于培养学生的逻辑思维能力和科学素养。
3. 帮助学生更好地理解数学。
高观点下的中学数学课程旨在在现代数学的高度上重新审视中学数学的教学内容，帮助学生更好地理解数学的本质和意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的概念、方法和技巧，提高学生对数学的认识和理解。
高观点下的中学数学课程具有重要的指导和借鉴意义。
通过课程的深入学习，学生可以更好地理解数学的本质和意义，提高学生的数学素养和思维能力，为学生在未来的学习和工作中更好地运用数学打下坚实的基础。
同时，高观点下的中学数学课程也具有重要的启示作用，为数学教育的改革和发展提供了重要的参考和借鉴。
篇二：高观点下的中学数学课程是指采用数学史和数学哲学的高度来重新审视中学数学课程，旨在帮助学生建立全面的数学素养，为其未来数学和科学领域的学习打下坚实的基础。
在这篇文章中，我们将探讨中学数学课程的主要任务和指导意义。
中学数学课程的主要任务是培养学生的数学思维能力和创新意识。
数学是一门抽象的学科，需要学生具备一定的思维能力才能更好地理解和掌握。
高观点下的中学数学课程通过引入数学史和数学哲学的概念，帮助学生理解数学的本质和内在联系，从而培养学生的数学思维能力和创新意识。
高观点的数学思想对中学数学教学的启示
尝试 过用 现代 数 学 的 观点 来 看 待 中学数 学 ； 只有 ５ 左 右 的人认 为 “ 高观点” 下 的初 等 数 学 是 一种
新 的数 学思 想 方法 ， 是一 种创新 教 育 的模 式 ， 能够
为 数学 新课 程 改革提 供指 导．
学 生 了解 数学 并 不 是 孤 立 的各 门学 问 ， 而是 一 个 有 机 的整体 ” ； 基 础数 学 的教 师应 该站 在更 高 的视 角（ 高 等数 学 ） 来 审视 ． 理 解初 等数 学 问题 ， 只有 观
择 的空 间也将拓 广 ， 更有 利 于个 性 发展 ］ ．
对 中学 数学 的具 体 指 导 ； 中学 数 学 某 些 难 以处 理 的 问题在 高 等 数 学里 的背 景 分 析Ｌ ２ ］ ． 高等 数 学 和
初等 数学 的划 分 一 方 面 是 由 于数 学 的发 展 ， 另 一 方面 是 由于学 校 教 育 的需 要 ， 但 这 两个 领 域 联 系 紧密 而且 有交 叉 和融 合 ， 这 就 意 味着 用 “ 高 观点 ” 的数 学 思想指 导 初 等 数 学 的 教 学具 有 可 实 施 性．
等数学 ” 里 的每 件事 情 都 不 过 是 “ 高等数学” 里 的
某一 数 学系 统理 论 中的某一 事实 在该 系统 中 的具 体 表现 ， “ 初 等数 学 ” 对 这 些 作 为具 体 表 现 的初 等
事 实 的处理 当然 只能是 就 事论事 ．
在 我们前 期 对九 江市 区相关 中小 学数 学教 师 进行 的调 查 问卷 中 ， 有数 据显 示 ， 对现代 数 学 了解
有效的 ， “ 高观 点 下 的初 等 数 学 ” 正是 这 种 层 次 拔
《高观点下的中学数学-几何学》学后感
《高观点下的中学数学——几何学》学后感为了提高自己的教学业务水平，我选择了学习这门继续教育课程。
“高观点”下的中学数学，能让我有更多的教学研究方向；有助于促进数学教研活动；有助于提高我的业务水平；有助于提高校本课程的开发能力；有利于培养学生探究性学习能力和创新精神。
这些目的，这门课程对我有很多帮助。
《高观点下的中学数学——几何学》这门课程，通过高观点来提高老师数学素质和未来的执教能力，运用最新的数学观点来理解初等数学几何的内容。
在高观点的背景下，使中学数学有了深远的背景，一些中学数学没有交代清楚，老师通过其数学史和高等数学的工具，老师能够以通俗又科学的方法去回答或者回避，让学生更容易接受和理解。
比如何谓作图不能问题？如何来判定他们……这些对于中学生未必要搞清楚的问题，中学数学教师则必须弄清楚其中道理。
这就要求我们利用数学史和高等数学知识，对这些问题予以说明。
当学生提出这些疑问时，能够通俗的给以科学的回答。
另外对于数学中的概念要分清并给予科学的分类，这些都需要老师有更高的数学素质。
这门课程确实提高了老师的业务水平。
学习这门课程除了提高老师的数学素质外，也提高了老师的教学能力。
新课程里的新教材运用，老师的数学语言更加准确了；进行教学设计的思路更加开阔了；处理教材和整合教材更加贴近数学概念的内核。
《数学课程标准》强调：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
”学生通过感知概念的表象等方式，进而理解概念的本质，初步建立新的知识结构的过程。
重点指向的是学生学习概念内核，最后达成运用概念，巩固、拓展的环节。
如果老师不能站得高，看得远，我想这是不能完成的任务。
理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。
有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表，有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解。
数学思想在初中数学教学中的有效渗透
数学思想在初中数学教学中的有效渗透数学是一门重要的学科，它是一种思维方式和解决问题的工具。
数学思想在初中数学教学中的渗透具有重要意义，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
本文将从数学思想的概念、数学思想在初中数学教学中的应用以及数学思想对学生的益处等方面进行探讨，以期为初中数学教学提供一些有益的启示和借鉴。
一、数学思想的概念数学思想是指反映数学规律和原理的思维方式和方法。
它包括抽象思维、逻辑思维、数学模型、数学概念、数学方法等内容。
数学思想是数学学习的基础和灵魂，是培养学生数学素养和数学能力的重要途径。
数学思想的渗透是指将数学思想融入到数学教学和学习中，使学生在学习数学的过程中不断地感受、体验和锻炼数学思维方式和方法。
通过数学思想的渗透，可以培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力和数学问题的解决能力，从而更好地掌握和运用数学知识。
二、数学思想在初中数学教学中的应用1. 引导学生进行抽象思维在初中数学教学中，可以通过引导学生进行抽象思维，使他们能够将具体的问题抽象为数学概念和模型，形成对数学规律的理解和把握。
在教学中可以通过数学问题引导学生进行抽象思维，让他们从具体的问题出发，逐步形成对数学规律的认识和把握，从而提高他们的数学思维能力和数学解决问题的能力。
4. 引导学生进行数学概念和方法的探索三、数学思想对学生的益处数学思想在初中数学教学中的渗透不仅有利于学生掌握数学知识，提高数学成绩，更重要的是有利于培养学生的数学素养和解决问题的能力。
具体来说，数学思想对学生的益处主要表现在以下几个方面：2. 提高学生的逻辑思维能力通过数学思想的渗透，可以提高学生的逻辑思维能力，使他们能够用严密的逻辑思维方法解决数学问题。
这有利于学生更好地理解和应用数学知识，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
3. 培养学生的数学建模能力。
“高观点”下的中学数学的实践与认识
“高观点”下的中学数学的实践与认识一、概述“高观点”下的中学数学，是指站在更高层次的理论和知识视角，重新审视和教授中学数学内容的一种教学理念。
它不仅仅关注中学阶段的具体数学知识和技能，而是将中学数学置于更广阔的数学科学体系中，引导学生更早地接触和了解高层次的数学概念和思想。
这种教学方式有助于培养学生的数学素养，加深他们对数学本质的理解，激发他们的创新思维和解决问题的能力。
在实践中，“高观点”下的中学数学需要教师具备深厚的数学基础和广博的知识视野，能够灵活地将高层次数学知识和思想融入中学数学教学中。
同时，也需要教师不断更新教学理念，积极探索适合学生认知发展的教学方法和手段。
通过“高观点”下的中学数学的教学实践，学生可以更早地接触到一些高层次的数学概念和思想，从而更深入地理解数学的本质和精髓。
这种教学方式不仅可以提高学生的数学素养和思维能力，还可以为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。
“高观点”下的中学数学也面临一些挑战和困难。
如何根据学生的认知特点和实际情况，合理地选择和运用高层次数学知识和思想，使其与中学数学教学有机结合，是教师需要思考和解决的问题。
同时，如何激发学生的学习兴趣和积极性，使他们在学习过程中保持持久的动力和热情，也是教师需要关注的重要方面。
1. 阐述“高观点”在中学数学教学中的重要性。
“高观点”在中学数学教学中具有至关重要的地位。
所谓“高观点”，是指在教学过程中，教师不仅关注具体的数学知识点和解题技巧，更重视从更高层次、更广阔的视角来引导学生理解数学的本质和内在逻辑。
这种教学方法能够帮助学生跳出繁琐的公式和计算，深入理解数学的内在美感和应用价值，从而培养他们的数学素养和创新能力。
“高观点”有助于提升学生的数学思维能力。
通过从高层次审视数学问题，学生能够更好地理解数学概念和原理之间的内在联系，形成系统的数学知识体系。
这种思维方式不仅有助于学生在解题时灵活运用所学知识，还能够培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力，为未来的学习和工作打下坚实基础。
高观点指导下的中学数学教学
2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。
数学思想在高中数学教学中的有效渗透
数学思想在高中数学教学中的有效渗透数学思想是指在数学研究和实践中形成的一种抽象化的思维方式，是数学研究发展的重要动力。
与具体的计算方法不同，数学思想是在数学思维的指导下逐渐提炼出来的，它具有普遍性和抽象性。
数学思想不仅是数学学科本身的精华，也渗透到了其他科学和工程领域，并促进了这些领域的发展。
在数学教学中，数学思想的有效渗透可以使学生更好地理解和掌握数学知识，并激发学生的创新思维和创造性。
首先，数学思想能够激发学生的创新思维。
在数学教学中，常常会遇到一些抽象的概念，但这些概念往往也是很难理解的。
为了让学生更好地掌握这些概念，教师需要引导学生通过比喻、类比等方式来理解这些概念。
这时，学生需要进行反思和探索，不断寻找与生活和实践相联系的例子。
这样的过程往往需要学生运用到创新性的思维方式，把它们与自己的知识和经验相结合，逐渐深入到理论的本质，从而不断地提高自己的创造性和思维能力。
其次，数学思想能够促进学生的抽象思维。
在数学教学中，常常会出现一些复杂的问题，甚至有些是没有具体解法的。
这时，教师需要引导学生运用抽象思维，通过将具体的问题转化为抽象的符号、函数等概念，从而使问题变得更加简单、易于解决。
学生在这个过程中，需要运用到丰富的数学知识和技巧，如概率和统计、微积分等，而这些知识和技巧都需要进行严密的抽象化和逻辑思维。
因此，数学的抽象思维能够提高学生的思维能力和逻辑思维能力，这也是数学思想在高中数学教学中的有效渗透所实现的价值。
最后，数学思想能够培养学生的数学素养。
数学素养是指学生在数学学科中掌握的基本能力和达成的预期目标。
包括数学技能能力、数学思维能力、数学能力理解能力等。
在高中数学教学中，如果能够让学生真正理解数学思想，掌握数学的基本知识和技能，那么其数学素养也将不断提高。
学生在这个过程中需要进行创新思维和抽象思维的培养，同时，还需要不断学习和探索数学知识，在高水平的数学方面获得独立思考和发现问题的能力。
高观点下的中学数学
高观点下的中学数学高观点下的的初等数学，这一重要思想发端于19世纪末，20世纪初的一场教育教学改革运动—克莱因·贝利运动．其中菲利克斯·克莱因不仅是一位伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人．他主张在现代数学观点指导下研究“高数”与“中数”之间的联系，高等数学中有许多方法，可以和中学数学相通，有些也可以迁移到中学数学中，高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地观察初等数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能帮助我们发现某些初等问题的实质，寻求更一般、更简捷的解决问题的方法．（一）高观点下研究中学数学的必要性新一轮课程改革无论是从形式上还是从内容上，都对中学数学提出了许多新的课题，从内容上高等数学内容不断地下放到中学，从形式上，更强调教学活动的设计、开放性的教学和研究性的学习，更关注培养学生解决问题、分析问题的能力，以及所教知识的来龙去脉，这就使得高观点下研究中学数学，不仅是教学改革的迫切任务，也是新课改形势下中学数学教学改革的一个主流方向．具体表现为（１） 教学过程中，创设问题情境的需要． ◆例１：等差数列求和10012310010150S =++++=⨯(1)(1)2123112(1)22n n n n n n S n n n n n ⎧+⎪+⎪=++++==⎨-+⎪++⎪⎩ 为奇数为奇数2(1)n S n n =+从高斯求和开始，再到一般等差数列的求和，从问题所呈现形式出发，引导学生积极思考倒写相加法是如何想到的，还原问题发生发展的过程。
把知识变得有血有肉，从而激发学生积极探索的兴趣． 例２ 数列的递推公式 ◆河内塔问题相传在越南的某寺庙中有一个用n 个带孔的大小不等的圆盘磊成的塔，僧侣们每天挪动一次圆盘，一次只能挪动一个，任何时候大盘不得在小盘之上，将全部ｎ个圆盘从Ａ处挪到Ｃ处，最少需要多少天？（可放回Ｂ处）AB C1231,3,7,.a a a === 121,21nn n n a a a +=+=-教师要有渊博的数学知识，这样才能让你的课堂变得更加充实．本例想说明两点，一是已知递推公式，可以求出数列的任何一项，二是在有些计数问题中，我们也可利用数列的递推公式求解，这实际上也是递推公式的应用，通过这样的教学手段，将是课本知识变得更加丰富，更有活力． ◆例 平面上ｎ条两两相交且无三条共点的直线可把平面分成几部分？11(1)2,1,12n n n n n a a a n a ++==++=+◆例 （Ｆ数列）有一儿童要上ｎ阶楼梯，他一步可上一阶也可上两阶，问有多少不同上法？12(3)n n n a a a n --=+≥( 2 ) 高考题和竞赛题经常会有高等数学的背景 ◆例１ 用四种不同颜色给图中区域染色，要求相邻区域不同色，，有多少不同染色方法？ 这是著名的四色问题解法Ⅰ加法原理和乘法原理4312124321214321111120⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=分１、4同色与1、4不同色（2、4同色与2、4不同色）解法Ⅱ 本例也可以利用递推方法， 当4n ≥时，113432,4n nn aa a --+=⨯⨯=！教师站的越高，才能更容易指导学生掌握知识，抓住问题的实质，学生才能用更少的时间掌握通性同法．( 3 ) 学生的求知欲对教师提出了更高的要求 当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，老师必须有一桶水，才能教给学生一碗水． ◆例 四人各写一张明信片，然后交换，每人都收到不是自己写的明信片，有多少种不同方法？（高考题）分析：这是组合数学中错排问题，因为数比较小，可简单的分类，利用两个原理来解决，但若学生提出１００人的错排，应如何解决呢？一般地，１，２，３，…，ｎ的全排列，其中ｉ（１≤ｉ≤ｎ）不在第ｉ位，这样的错排共有多少个？解 1 （容斥原理） 用iA 表示i 在第i 位的全排列（n i ,,2,1 =），则nn A A A D 21==∑∑∑-+++-nnj i iA A A A A A S 21)1(=!0)1()!2()!1(!21nn nn nC n C n Cn -++-+--=)!1)1(!31!2111(!n n n-++-+-解2 （递推公式）设na a a ,,21为n ,2,1的一个错排，显然ia ai ≠≠,11，分两类（1） 第1a 位是1，共2-n D种方法；（2）第1a 位不是1，有1-n D 种方法.又1a 有（1-n ）种取法，故))(1(21--+-=n n nD D n D其中1,021==D D)!2(1)!1(1!21-+--=--n D n n D nn n D n n n令!n D En n=，则2111--+-=n n nE n E nn E!1)1()(1211n E E nE E nn n n n -==--=---- ,又01=E!1)1(!31!21n E nn -++-=，因此)!1)1(!31!21!111(!n n D nn -++-+-= ．◆例 2 过:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 交点),(00y x P 的直线系0)()(22221111=+++++c y b x a c y b x a λλ),(),,(222111b a n b a n ==，1n 与2n 线性无关，可作为二维空间的一组基底，由平面向量基本定理可知该直线包含过),(00y xP 的任何直线．而)()(222111=+++++c y b x a c y b x a λ表示的直线系不含2l ，原因是21n n λ+与2n 不共线． （二）排列组合的有关问题（1）多重复的排列和组合◆例1，一排七盏路灯，关掉其中互不相邻的三盏，且不关两端的路灯，有多少种方法？分析：4个a ，3个b 的全排列，要求b 互不相邻且不在两端的方法有34C◆例2：100=++z y x 的正整数解的个数？ 方法Ⅰ：98+97+…+1=299C方法Ⅱ：对应于97///=++z y x非负整数解个数，又可转化为97个球与两个竖线的全排列方法数299C (也可理解为{a,b,c}的一个97可重组合，97个相同的球放入三个不同的盒子中的方法数).古典组合数学的主要原理有： ①两个基本原理 ②容斥原理③一一对应，和中学要求一致.（2）分配问题（k n ≥）◆例：4人分配到3个工厂，每个工厂至少1人的方法数为 3324A C.一般地，n 个人分配到k 个工厂，（n ≥k ）,每个工厂至少1人的方法数？解：用iA 表示第i 个工厂空的方法数，（i =1,2…k ）kkn A A A S k ⋅⋅⋅=⋅ 21!=nkk knk nk nk k C k C k C k)()1()2()1(21--+⋅⋅⋅--+--现代组合数学工具还有母函数和Fevver 图，在数学竞赛中经常看到，例如解决整数的分拆. （三）有关根据递推公式，求通项公式 （1）)(1n f a an n =-+型与)(1n f a a n n ∙=+型.利用累加法与累乘法. （2）q pa an n +=+1型. ◆例：,1,1211=+=+a a an n 求?=n a解：)1(211+=++n n a a ，令}{,1n n n b a b +=是等比数列，nn b 2=12-=nn a（3）)(1n f pa an n +=+ ◆例：,1,3211=+=+a a ann n 求n a解：)3(2311nn n n a a -=-++ 令}{,3n nn n b a b -=是等比数列，nn b 2-= 所以nn na23-=.也可化为(1)型(2)型 ◆例: ,1,211=+=+a n a a n n 求n a解: ),1(21)1(1++=++++n a n a n n 1231--⨯=-n a n n(4) 11-++=n n n qa pa a型解:特征方程:02=--q px x,若有两个不相等实根βα,,则nnna βλαλ21+=,若有两个相等实根βα=,则nnn aαλλ)(21+=,若无实根,周期数列. ◆例: F 数列,)3(,1,12121≥+===--n a a a a an n n ,求 na解:特征方程: 251,012±==--x x x ,nnna)251()251(21-++=λλ 21,λλ由21,a a 确定.(注:也可以化为一阶递推公式,再求通项公式) (5)分数型递推公式)(,)(1n n a f a dcx b ax x f =++=+构造数列}{na当xx f =)(有两个不等实根βα,时,(即)(x f 有两个不动点),则ka a k a a n n n n (11βαβα--⋅=--++为常数). 当x x f =)(有两个相等实根0x 时,(即)(x f 有唯一不动点),则存在常数k 使得kx a x a n n +-=-+0111.当x x f =)(无不动点时,往往是周期数列. 此种形式的数列,有时也可采用倒数法或三角换元. ◆例: 2,1111=-+=+a a a ann n 求 n a解: x xx f -+=11)(, 方程x x x =-+11无实根,则数列{na }是一周期数列,(周期是4).+===θθtan(,tan 221a a л/4)…,)1(tan[-+=n a n θ л/4](6)生成函数,例F 函数由递推公式求通项公式,往往是通过构造新数列,把递推公式变形成等差或等比数列,通过求新数列通项公式,再求原数列通项,差分方程中有太多这样的例子.。
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１ 高观点的数学思想
“ 高观点 ” 是指 用 高 等 数 学 （ 包括经典高等数 学和现代数学 ） 的知识 、 思想和方法来分析和解决 它包含三个方面的内容 ： 现代数 初等数学的问题 ． 高等数学 学的思想和方法 在 中 学 数 学 中 的 渗 透 ； 对中学数学的具 体 指 导 ； 中学数学某些难以处理 高等数学和 ． 初等数学的划分 一 方 面 是 由 于 数 学 的 发 展 ， 另一 但这两个领域联系 方面是由于学校 教 育 的 需 要 ， 紧密而且有交叉和 融 合 ， 这就意味着用“ 高 观 点” 的数学思想指导 初 等 数 学 的 教 学 具 有 可 实 施 性 ． 同时初等数学的很多知识实际上是高等数学知识 按 照 归 纳 的 思 想， 将这些特殊上升到一 的特 例． 再从一般的角度来看待这些问题 ， 常常是行之 般， 有效的 ， “ 高观点下 的 初 等 数 学 ” 正是这种层次拔 高思想的体现 ． 克莱因认为 “ 高观点下的初等数学 ” 是以函数 为 “ 核心 ” ，函数应该成 为 中 学 数 学 的 “ 基石” 他 ． 强调要用近代数学的观点来改造传统中学数学的 内容 ， 主张加强函数和微积分的教学 ， 改革和充实 代数的内容 ， 倡导 “ 高观点下的初等数学 ” 理念 ． 它 跳出用初 启示人们突破初 等 数 学 知 识 的 局 限 性 ， 等数学研究初等 数 学 的 狭 窄 的 圈 子 ， 而着眼于寻 找新的研究方法 ． 今天我们重新探讨克莱因的 “ 高 观点下的初等数学 ” 思想 ， 以期能对我们当前的数 学教学有所启示 ． 在克莱因看来 ， 一个数学教师的职责是 “ 应使 学生了解数学并 不 是 孤 立 的 各 门 学 问 ， 而是一个 ； 基础数学的教师应该站在更高的视 有机的整体 ” 角（ 高等数学 ） 来审视 ． 理解初等数学问题 ， 只有观 的问题在高等 数 学 里 的 背 景 分 析
［ ２］
２ 中学数学教学现状
中学数学的内容主要是初等数学 ． 关于 “ 初等 数学 ” 与“ 高 等 数 学” 的 关 系， 有 人 认 为， “ 初等数 学” 是关于常量的数学 ， “ 高等数学 ” 是关于变量的 数学 ； 也有 人 说 ， “ 高 等 数 学” 是“ 初 等 数 学” 的升 关于这一关系 ， 中学数学教师在长期的教学实 华． 可触摸性 ” 的认识 ： “ 初 践中形成了一个似乎更具 “ 等数学 ” 里的每件 事 情 都 不 过 是 “ 高 等 数 学” 里的 某一数学系统理论中的某一事实在该系统中的具 “ 初等数学 ” 对这些作为具体表现的初等 体表现 ， 事实的处理当然只能是就事论事 ． 在我们前期对九江市区相关中小学数学教师 进行的调查问卷中 ， 有数据显示 ， 对现代数学了解 一点和不了解的 老 师 共 占 ９３ ．０６ ％ ； ８０ ．５ ６ ％ 的 老 高观点 ” 下的初等数学这方 师很少或者没有看过 “ 面的书籍 ； 有超 过 半 数 的 老 师 认 为 数 学 新 课 程 背 景下的中学教学 方 法 有 欠 缺 ． 而在怎样处理这个 问题上 ， 问卷中的相 关 题 目 联 系 了 “ 高 观 点” 下的 初等数学的定位 思 考 ， 有超过三分之一的老师没 尝试过用现代数 学 的 观 点 来 看 待 中 学 数 学 ； 只有 高 观 点” 下的初等数学是一种 ５ ％ 左右的人认为 “ 是一种创新教育的模式 ， 能够 新的数学思想方法 ， 为数学新课程改革提供指导 ．
高观点 ” 对中学数学教学的启示 ３ “
随着高考制度 的 改 革 和 新 课 程 的 实 施 ， 部分 高等数学的内容 都 下 放 到 中 学 选 修 教 材 中 ． 如导 球 面 上 的 几 何、 对 称 与 群、 几何证明选 数与 积 分 、 讲、 矩阵与变换 、 初等数论初步 、 简单的线性规划 、 推理与证 明 等 ， 这要求中学教师必须利用“ 高观 ． ３． １ 用高观点数学思想剖析初等数学的教材内涵 数学思想是人们对数学科学本质及规律的认 识， 是数学研究的精华 ， 它始终贯穿于数学学科的 不同分支 、 不同层次的知识之中 ． 初等数学的基本概念和基本内容同样以数学 在中小学数学教材中 ， 蕴含着丰富的 思想为主线 ． 数学 思 想 ， 如 集 合 思 想、 化 归 思 想、 符号与变元思 想、 对应思想 、 数形结合思想 、 公理化与结构思想 、 函数与方程思想 、 抽样统计思想 、 极限思想等 ． 在这些思想中 ， 符 号 与 变 元 思 想、 集 合 思 想、 对应和结构思想是基础数学中最重要和最基本的 点” 的思想和观点重新审视中学数学内容
２０１４ 年第 ３ 期 中学数学月刊 · ７ ·
高观点的数学思想对中学数学教学的启示
周玛莉 张劲松 （ 江西九江学院 ３３２００５ ） 科学的教学方法只是诱导去作科学的思考 ， “ 并不是一开头就 教 人 去 碰 冷 漠 的 、 经过科学洗练 有着清晰的教 的系统 ……” 这段基于教学原理 、 学思想的话语出自 １ ９ 世纪末 ２０ 世纪初德国著名 的数学家 、 数学教育家 Ｆ · 克莱因 ， 他是 以高观点 的思想指导初等数简单 ； 一个称职的教 点高了 ， 师应当掌握或了 解 数 学 的 各 种 概 念 、 方法及其发 他认 展与完善的过程 以 及 数 学 教 育 演 化 的 经 过 ． 为“ 有关的每一个分支 ， 原则上应看做是数学整体 的代表 ” ， “ 有许 多 初 等 数 学 的 现 象 只 有 在 非 初 等 的理论结构内才能深刻地理解 ” ． “ 高观点 ” 的 实 体 形 态 可 以 说 是 一 种 课 程， 不 仅适用于学有余力的学生提前接触高等数学知识 方 法， 为 今 后 的 发 展 打 下 基 础， 和现 代 数 学 思 想 、 也适用于其他所有学生 ， 使他们扩展视野 ， 增强学 习数学的兴趣和乐趣 ． 若有这样一种课程的加入 ， 高中数学课程体 系 将 显 得 更 加 丰 富 ， 可供学生选
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基金项目 ： 江西省高等学校教学改革研究课题 （ ＪＸＪＧ １２ １７ ２） ．
· ８ · 中学数学月刊 ２０１４ 年第 ３ 期 另一方面 ， 高等师范院校数学系数学教育专 业以培养未来的 中 等 学 校 数 学 教 师 为 目 标 ， 学生 毕业后从事的大 都 是 中 学 数 学 教 学 工 作 ． 在校学 习期间 ， 所学的绝大部分课程属于高等数学范畴 ， 与中学数学教育 直 接 相 关 的 课 程 较 少 ， 因此常常 “ 学那么多的高等数学知识对 可以听到学生们问 ： 中学教学有什么用？ ” 不难看出 ， 师范生所学不能用于所教 ， 而导致 这一状况的原因不是因为高等数学在中学教学中 没有用或者用不 上 ， 而是因为老师们没有意识到 高等数学知识 、 思想和方法的巨大用途 ， 因此不能 一些毕业生也反映在高校 把它应用到教学 中 去 ． 期间学的数学知 识 到 中 学 后 基 本 用 不 上 ， 使他们 “ 没有用武之地 ” 实际上学生在学习高等数学的 ． 同时吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想和 正是这些数 学 思 想 和 方 法 在 培 养 人 们 思 维 方法 ， 的条理性 、 连贯性 ， 行为的准确性等方面发挥着重 要作用 ， 强化了他们的逻辑思维能力和分析问题 、 解决问题的能力 ． 但是从知识储备方面看 ， 学生之 所以感到困惑 ， 是因为他们看不到高等数学对初 等数学有何具体的指导意义 ． 这些问题的产生主要是基于高等数学与初等 数学脱轨 、 中学数 学 教 师 对 高 等 数 学 知 识 遗 忘 率 高、 高观点在初等数学教学过程中使用率较低 、 中 学教师从事教研 科 研 活 动 积 极 性 不 高 ， 部分原因 为缺乏高等数学知识支撑自己从事该类活动 ． 数学思想 ． 因此在初等数学类的课程教学中 ， 应抓 住数学思想这条 主 线 ， 把中小学数学的内容加以 整理与分类 ． 对于每一块的 内 容 ， 着重引导学生分析其贯 穿于中小学数学 教 学 过 程 中 的 数 学 思 想 ． 研究中 小学生数学思想的形成和发展与数学思想史以及 中小学数 学 教 学 内 容 安 排 的 层 次 三 者 之 间 的 关 形成一张纵向网 ． 同时 ， 研究块与块之间 、 不同 系， 分支之间的教学 衔 接 以 及 内 在 本 质 之 间 的 联 系 ， 形成一张横向网 ， 使学生能透过古代 、 近代到现代 数学史的发展以及中小学教学中数学思想的形成 和发展 ， 对初等数学的总体结构 、 初等数学的各个 分支以及每个分支中各个模块的数学知识的关系 做重新的理解与 认 识 ． 这样就可在更加广阔的背 景里去体会中小学数学教学内容 、 层次的安排 ， 从 而对 “ 居高 ” 该如何 “ 临下 ” 有着具体的认识 ． 例如数系 ， 它贯 穿 于 小 学 、 中 学 １２ 年 的 数 学 学习之中 ， 和初等数学的任何一个分支 、 任何一模 块的 内 容 都 有 联 系 ， 蕴 含 有 集 合 思 想、 公理化思 想、 结构思想 、 极限思想等 ． 数系形成的历 史 过 程 是 ： 自然数集添加正分 正 有 理 数 集 添 零、 算 术 数 集 添 负 有 理 数、 有理 数、 数集添无理数 、 实数集添虚数形成复数集 ． 着眼于 历史上数的形成 过 程 ， 它与中小学生认识数的思 维过程有相吻合之处 ． 在中小学 ， 关 于 数 的 教 学 过 程 是： 自 然 数 集、 添零扩大自然数集 、 添正分数形成算术数集 （ 正有 理数 ） 、 添负有理 数 形 成 有 理 数 集 、 添无理数形成 实数 集 、 添 虚 数 形 成 复 数 集． 建立数的概念的顺 序， 主要从中小学教学的角度 ， 更多地依据人们的 认知规律 ． 而以近代结构观点和比较严格的公理体系加 以整理建立起来的数系理论 ， 它的过程是 ： 自然数 集、 整数 集 、 有 理 数 集、 实 数 集、 复 数 集． 从数学代 主要考虑数的理论逻辑 数结构理论的角 度 出 发 ， 要求 ， 形成代数系统 ． 因此 ， 教师在教学中 ， 应正确引导学生从不同 角度了解其形成 的 合 理 性 ， 重点是对建立数系的 理论和方法进行分析 、 研究 ， 用近世代数的群 、 环、 域这些重要代数 体 系 的 观 点 来 对 数 系 重 新 认 识 ， 使学 生 对 数 的 发 展 、 内 部 结 构、 性 质 有 一 个 系 统、 完整的认识 ， 充分认识到数系是一类典型的数学 模型 ， 又是一切数学的基础 ． ３． ２ 用高等数学的观点剖析初等数学的教学