高二数学期末复习(11)

常熟市浒浦高级中学 高二数学期末复习（11）

综合卷（5） 期末考试倒计时：7天

姓名：____________

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z ?=-，则z 的值为 ． 2．4(2)x +展开式中含2x 项的系数等于 ．(用数字作答)

3．甲、乙两人射击，击中靶子的概率分别为0.9，0.8，若两人同时射击，则他们都击中靶子的概率为 ．

4．用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 至少有1个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c 都是 ”．

5．甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有 种．（用数字作答） 6．在极坐标系中，圆2sin ρθ=（02θπ<≤）的圆心的极坐标为 ． 7．已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2S

r l

=

．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径R = ．

8．已知矩阵1021??=??

??

M ，3140??=??-??N ，且()1

a b c d -??

=????

MN ，则ad bc += ． 9

则()V X = ．

10．某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至

多有1个次品的概率为 ．

11．从5名男生和4名女生中任选3名学生，要求男、女生都要选，有 种不同的

选法．（用数字作答）

12．曲线,sin x y θθ?=??=??（θ为参数）上的点到直线,1x y t ?=??=-+??（t 为参数）的距离的最大值

为 ．

13．若()6

23456012345632x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则123452345a a a a a ++++

66a += ．

14．已知()f x 是定义在R 上的函数，对于任意12,x x R ?，()()()12121

f x x f x f x +=+-

恒成立，且当0x >时，()1f x >，若()20132014

f =，且()233f x ax --<对任意()1,1x ?恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

15．已知复数

1

12i

z=-，

2

34i

z=+，i为虚数单位．

（1）若复数

12

z az

+对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

（2）若12

12

z z

z

z z

-

=

+

，求z的共轭复数z．

16．已知矩阵

2

21

a

??

=??

??

M，其中a R

?，点()

1,2

P-在矩阵M变换下得到点()

4,0

P￠-．（1）求实数a的值；

（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

17．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为()

f n．

①②③④

（1）求出()2

f，()3

f，()4

f，()5

f的值；

（2）利用归纳推理，归纳出()1

f n+与()

f n的关系式；

（3）猜想()

f n的表达式，并写出推导过程．

18．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线1C 的极坐

标方程为2sin 2cos ρθθ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,

sin x t y t αα=+??=?

（t 为参数）．

（1）求曲线1C 的直角坐标方程及3

απ

=时曲线2C 的普通方程； （2）设(2,0)E ，曲线1C 与2C 交于点M ， N ，若2ME NE =，求MN 的长．

19．已知从A 地去B 地有甲、乙两条路可走，汽车走甲路堵车的概率为

1

4

，汽车走乙路堵车的概率为13

，若有三辆汽车走甲路，有一辆汽车走乙路，且走甲路的三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．

（1）求走甲路的三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率；

（2）求这四辆汽车被堵的车辆数X 的概率分布和数学期望()E X ．

20、已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当18a =

时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03

()()2

f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明

ln 3ln 2ln 2

53

a -≤≤．

20、（I ）解：2112'()2,(0,)2ax f x ax x x -=-=

∈+∞， 令'()0,f x =解得 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：

x

)+∞

'()f x + 0 - ()f x

极大值

所以，()f x

的单调递增区间是(0,

()2f x a

的单调递减区间是().2a

+∞ （II ）证明：当2

11,()ln .8

8

a f x x x ==-

时 由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增， 在(2,)+∞内单调递减.令3

()()().2

g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增，

故3(2)(),2f f >即g(2)>0.取2

3419'2,(')0.232

e x e g x -=>=

<则 所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使即存在003

(2,),()().2

x f x f ∈+∞=使 （说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）

（III ）证明：由()()f f αβ=及（I

）的结论知αβ<

<， 从而()[,f x αβ在上的最小值为().f a 又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知

12 3.αβ≤≤≤≤

故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.

f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-????

≥≥-≥-??即从而ln 3ln 2ln 2

.53a -≤≤