概率统计6 贝努利概型
概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)
设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
（1） P( A) P5( 4) C54 0.840.2 0.4096
（2） P( B) P5( 4) P5( 5)
C
4 5
0.840.2
C
5 5
0.85
0.7373
（3） P(C ) 1 P(C) 1 P5( 5)
1
C
5 5
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观
察结果有且只有这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目 标独立射击 n 次，观察射击结果 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{X 2} P{X 2} P{X 3}
C32
(1)2 2
1 2
C33
( 1 )3 2
1 2
又如 s 3, a 1, b 2
则再赌2局必分胜负
P{甲赢}
P{X
2} C22
( 1 )2 2
1 4
第一章 小 结
设事件A：10件中至少有两件次品，则
10
p( A) p10 (k) 1 p10 (0) p10 (1) k 2 1 0.9610 C110 0.04 0.969 0.0582
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品； 事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
P(BC) P(B)P(C)
0.1 0.4 0.7
1.5_伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
4
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
1
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定义 1：如果随机试验只有两个可能结果： A 与 A ， 其中 P(A)=p, P( A )=1-p=q, 为伯努利试验 .
__
__
0＜p＜1, 则称该试验
定义 2：独立地重复 n 次伯努利试验，称为 n 重伯 努利试验，也称伯努利概型.
在 n 重伯努利试验中，我们将事件 A 发生 k 次的概 率记作 B(k;n,p).
2017年3月25日星期六
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在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则事件 A 恰好发生 k 次 的概率为： k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q 定理
2017年3月25日星期六
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【例】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙， 其中只有一把 能打开家门． 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才把门打 开的概率 多大？
贝努里概型
学 术 论 坛
贝努 里 概 型
许 文 琰 （ 苏 州技师学院 江 苏苏州 ２ １ ５ ０ ０ ０ ） 摘 要： 贝努 里概 型是一 种既 简单又非常 重要的概 型， 这种概 型是概率 论 中最早研 究 的模 型之一 ， 也是得 到最 多研 究的模型之 一 。 在概 率 论 中对概 率分布 的学 ＞ － ｊ、 概 率的近似 计算 有着非常重 要的作 用 。 它在现 实生 活生 产中和 在 自然科学试验 中也有 着直接 的应 用， 并在其 中 发挥 着重要 的作 用， 为其 解决 问题提 供 了理论 支持 。 该文 就 贝努里概 型及 其应 用展 开 了解 。 关键词 ： 贝努 里概型 贝努 里试验 中 图分 类 号 ： ０ ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ２ － ３ ７ ９ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ （ ａ ） 一０ １ ９ ６ —０ ２
Ｂ（ ４ ０ ０ ０ ， ０ ． ０ ０ ２ ）， 故所求概率 为 ：
Ｐ （ Ｘ ≥２ ） ＝ １ 一 Ｊ Ｐ （ ＝０ ） 一 Ｐ （ Ｘ ＝１ ）
＝
１ 一 ０ ０ ｘ０ ． ９ ９ ８ 。 ０ ｏ ×０ ． ０ ０ ２ 。 一 ０ ０ ０ ｘ０９９ ８ ” ｘ ００ ０ ２ 。
随 身 带 有 两盒 火 柴 ， 吸 烟 时 从 任 一 盒 中取 至 少有 ２人 发 生 过 敏 反应 的概 率 。 根火柴 ， 经过 若 干 时 间后 ， 发现 一盒 火 柴 解 以 表 示 ４ ０ ０ ０ 人 中 发生 过 敏 反 已经用完 。 如 果 最 初 两 盒 火 柴 中 各 有 ｎ根 应 的 人 数 ，那 么 服 从 二 项 分 布
． ．
贝努里概型
贝努里概型作者：许文琰来源：《科技资讯》2015年第01期摘要：贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型，这种概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用，并在其中发挥着重要的作用，为其解决问题提供了理论支持。
我们就贝努里概型及其应用展开了解。
关键词：贝努里概型贝努里试验中图分类号： O21文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）01（a）-0000-00伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样的显赫。
这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了十余位数学家和物理学家，其中有八位数学家，其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔。
而贝努里概型就是雅可布.贝努里提出来的。
贝努里概型是一种既简单又非常重要的概型，这种概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一。
在概率论中对概率分布的学习、概率的近似计算有着非常重要的作用。
它在现实生活生产中和在自然科学试验中也有着直接的应用，并在其中发挥着重要的作用，为其解决问题提供了理论支持。
而且，揭示这种简单概型的规律，对于以后研究更复杂的概型有着一定的指导意义和理论支撑。
下面我们就贝努里概型及其应用展开了解。
1 预备知识在许多概率问题中，试验中某事件是否发生受到的关注较多。
例如，在产品调查中注意的是抽到次品还是抽到正品；在掷硬币时注意的是出现正面还是反面等，在这类问题中试验产生的结果只有两个，即和。
像这样只有两个可能结果的试验成为贝努里试验，投币试验就是最简单的贝努里概型。
在相同的条件下，将同一个试验独立重复进行次，这种随机试验称为重贝努里试验。
现在我们来看看重贝努里试验的定义。
1.1贝努里概型的定义关于重贝努里概型的定义，尽管在各种教材的叙述不尽相同，但都是指满足下列条件的一系列实验：（1）次试验时独立的，即每次试验的结果都与其它各次试验的结果无关；（2）每次试验只有两个结果和，且它们出现的概率，在每次试验中是不变的。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
贝努利概率型公式
贝努利概率型公式贝努利概率是一种用来计算两个事件发生的概率的方法。
它的基本公式如下：P(A) = p其中，P(A)表示事件A发生的概率，p表示事件A发生的概率（介于0到1之间）。
例如，如果你想计算一枚硬币抛出后正面朝上的概率，则可以使用贝努利概率公式。
假设你抛出了一枚硬币，则事件A为硬币正面朝上，概率p为0.5。
根据贝努利概率公式，硬币正面朝上的概率P(A)就是0.5。
贝努利概率公式通常用于计算两个互斥事件发生的概率，即两个事件中至少有一个事件发生。
在这种情况下，公式为：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B)表示事件A或B中至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B 发生的概率。
例如，假设你有两枚硬币，你想计算至少有一枚硬币正面朝上的概率。
如果每枚硬币正面朝上的概率都是0.5，则根据贝努利概率公式，至少有一枚硬币正面朝上的概率P(A or B)就是0.5 +0.5 = 1。
这意味着两枚硬币中至少有一枚正面朝上的概率是100%。
贝努利概率公式也可以用来计算两个事件同时发生的概率。
在这种情况下，公式为：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
例如，假设你有两枚硬币，你想计算两枚硬币同时正面朝上的概率。
如果每枚硬币正面朝上的概率都是0.5，则根据贝努利概率公式，两枚硬币同时正面朝上的概率P(A and B)就是0.5 * 0.5 = 0.25。
这意味着两枚硬币同时正面朝上的概率是25%。
贝努利概率公式是概率计算的基础公式之一，在许多方面都有广泛的应用。
例如，它可以用来计算赌博、保险、医学等领域的概率。
此外，贝努利概率公式也是机器学习和数据分析中经常使用的公式之一。
贝努里概型
解 恰有k粒种子出苗的概率为
P6 (k) C6k 0.67k0.336k , (k 0,1, 2, 3, 4, 5, 6).
K P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
其中 p + q = 1。
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次
不发生，由试验的独立性，有
P Ai1Ai2 L Aik Ai,k1L Ain pk (1 p)nk pk qnk .
在n次试验中，A发生k次的方式有Cnk 种。且任何两种 方式都是互不相容的，于是有
将E独立地重复n次的试验，称为n重贝努里试验。
如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等。
3. 贝努里公式
定理1 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
Pn(k) Cnk pk qnk , k 0, 1, 2, , n
加了人寿保险，在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保
险的人一年付120元保险费，而在死亡之时家属可在公司里领取
20000元，问（不计利息）
（1）A={保险公司亏本}的概率是多少？
（2）B={保险公司每年获利不少于100000元}的概率是多少？
解 若一年死亡X人，则保险公司支出20000X（元），一年 中保险公司收入为2500×120=300000（元），于是
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r)n 1, (n )
1-7 独立性和贝努里概型
证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0.
从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)
所以A,B,C两两独立. 容易看出 P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)
定理 设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，则A，B相 互独立的充要条件是
P(B|A)=P(B) (或 P(A|B)=P(A))。
2、三个事件的独立性
定义1 设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠ
Ⅱ 第一对元件可靠性
P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2， 第二对元件的可靠性
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, ……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2
设E为贝努里试验，将E独立地重复进行n次，（这里 的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试 验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重 复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重 贝努里试验。总之，n重贝努里试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.
条件概率
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例2 “七星彩”彩票能否中一等奖问题 提示：每次买相同的号
思考与讨论
二项概率公式 Pn (k) Cnk pkqnk 中 k 可以取哪些值？k 值取遍是否完整表现 出该k重贝努利试验的所有问题？
用二项概率公式计算一般概率问题时， 计算量较大 ，能否有办法避开这个繁 杂的计算呢？
P( A) p, P( A) 1 p q
n重贝努利试验中 A 恰好发生k次的概率
Pn (k) ?
Pn (k )
C
k n
pkqnk
A1 A2 A3 … An
k次A
n-k次 A 积事件
注：Pn (k) 可视为二项式 (q p)n 展开式中
一般项，故称为二项概率公式。
应用
例1 一批产品中有20%的次品，现进行抽样检 查，共取5件产品，求：
内容小结
• 本节课主要学习了伯努利概型的定义，二 项概率公式及应用，要求理解定义，熟记 公式，会用公式解决具体问题
• 在解决具体问题时，首先要分析是否符合 伯努利概型特征，进而确定n和P(A)，使 用二项概率公式计算时应尽量结合概率的 性质简化计算
课后作业
练习册1-4：第1（2）（4）、4题。
引例再分析
问题：如何求n重贝努利试验中事件A 恰好发生k次的概率？
引例再分析：
A=“抛掷1枚硬币出现正面”，
P(A) 2 , P(A) 1
3
3
3重贝努利试验中， A 恰好发生1次（ A 发生2次）的概率
P(B)
C31P( A)P( A)P( A)
3
2 3
1 2 3
Hale Waihona Puke 2 9二项概率公式
一般地，二项概率公式：
第二届四川高校青年教师教学竞赛
《概率统计II》
贝努利概型
(Bernoulli Scheme)
2014年7月
姓名： 学校：
引例 彩票中奖问题
以体彩“七星彩”为例，能否保 证“一定”能够中一等奖呢？
重复独立实验
引例 抛掷硬币问题
将一枚质地不均匀的硬币抛掷了3 次，每次出现正面的概率均为2/3, 问结果恰好出现1次正面的概率是 多少？
引例 抛掷硬币问题
分析：记 Ai =“第 i 次出现正面”，i=1, 2, 3 B =“结果恰好出现一次正面”
P(B) P( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 211 121 211 2 333 333 333 9