[亚里士多德,芝诺,悖论]浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
芝诺悖论的意义
芝诺悖论的意义芝诺 (Zeno of Elea)（大约公元前490年——公元前425年) 主要研究数学与哲学。
芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。
他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。
芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。
数学史家F·卡约里（Cajori）说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。
”遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。
直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。
英国数学家B·罗素（Russell）感慨地说道：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。
死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。
他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。
柏拉图在他的《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德在公元前5世纪的中期去雅典的一次访问。
其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁，满头白发，但仪表堂堂。
那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观。
” 并在书中记述了芝诺的观点。
据说芝诺在为巴门尼德的“存在论”辩护。
但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。
”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。
他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。
芝诺有一本著作《论自然》。
在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。
” 公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了四十个各不相同的悖论。
亚里士多德《物理学》芝诺悖论出处
亚里士多德《物理学》芝诺悖论出处亚里士多德的《物理学》是一部关于自然哲学的重要著作，其中包含了许多深刻的思考和观点。
在这本书中，亚里士多德提出了许多对当时自然现象的解释，其中就包括了芝诺悖论。
芝诺悖论，也被称为亚博悖论，是古希腊数学家芝诺提出的一系列悖论之一。
它由一系列看似合理的论证组成，但却导致了令人困惑的结论。
这些悖论挑战了欧几里得几何学的基本原理，并对后世的哲学家和数学家产生了深远的影响。
其中最著名的一例是芝诺的阿喀琉斯和乌龟悖论。
在这个悖论中，芝诺设想阿喀琉斯和一只乌龟进行一场赛跑。
为了公平起见，阿喀琉斯让乌龟先行一段距离。
然而，当阿喀琉斯追上乌龟原来所在的位置时，乌龟已经前进了一段距离。
然后，当阿喀琉斯再次追上乌龟的新位置时，乌龟又前进了一段距离。
如此循环下去，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
这个悖论之所以令人困惑，是因为根据常理，我们会认为一个更快的人肯定能追上一个更慢的人。
然而，在芝诺的论证中，无论阿喀琉斯多么快，他都无法追上乌龟。
这似乎违背了我们对速度和运动的直觉。
亚里士多德在《物理学》中试图解决这个悖论，提出了一种有限划分的概念。
他认为，时间和空间可以被无限地划分成无数个小部分，而每个小部分都可以看作是一个瞬间或一个点。
在这个理论中，阿喀琉斯在每个小部分内都能追上乌龟，但却无法追上整个无限划分。
亚里士多德的解释在当时得到了一定的认可，但随着数学和哲学的发展，人们对芝诺悖论的理解也发生了变化。
后来的数学家和哲学家们提出了各种不同的解释和解决方法，包括微积分和无穷级数等概念的引入。
尽管芝诺悖论在当时引起了广泛的讨论和思考，但直到今天，它仍然是一个富有启发性的问题。
它挑战了我们对时间、空间和运动的理解，迫使我们重新思考这些基本概念。
总结起来，亚里士多德的《物理学》中提到的芝诺悖论是一个令人困惑的问题，它挑战了我们的常识和直觉。
这个悖论通过设想阿喀琉斯和乌龟的赛跑，引发了对时间、空间和运动的深入思考。
浅析芝诺悖论的结构及其辩证要义
浅析芝诺悖论的结构及其辩证要义作者：张淑慧来源：《青年与社会》2014年第19期【摘要】传统教科书以及现在许多学者都把芝诺关于运动的悖论看作是四个悖论。
但是基于对悖论的认识，文章认为芝诺悖论是一个悖论而非四个悖论。
并且只有把芝诺悖论看作是一个悖论，人们才能发现其中所包含的辩证要义，即人类认识过程中思维的间断性和相应认识对象的连续性之间的冲突。
【关键词】芝诺悖论；对角线；间断性；连续性芝诺关于运动悖论是由爱利亚学派的重要人物芝诺提出，而他提出的动机是为了对他的对立学派的本原属性之一——“动”进行否证。
为了否定“动”的存在，他提出了四个论证。
一、芝诺对运动不存在的论证对芝诺悖论的论述最早可追溯到亚里士多德《物理学》这本书，在该书中第一个论证是“二分法”：“位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处”。
而要走完这一半又要走过一半的一半，如此递推，以致无穷。
所以运动不存在。
第二个论证是“阿克琉斯追不上乌龟”：即使阿克琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，他也追不上乌龟。
因为“在赛跑的时候，跑的最快的永远追不上跑的最慢的，因为追者首先必须达到被追者的出发点。
因此跑的慢的人必然永远领先。
”第三个论证是“飞矢不动”，即“如果任何事物，当它是在和自己大小相同的空间里时（没有超越它），它是静止着；如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。
”第四个论证是“运动场”：假设有三列物体[A]、[B]和[C]。
当[B]和[C]以相等速度相向运动时，[A]保持静止（如图1）。
此种条件下，当它们在都走过一段同样的距离的时间中，B越过C物体的数目比它越过A物体的数目多一倍（如图2）。
所以，B越过C所用时间比它越过A所用时间长一倍。
但B和C走到A的位置用的时间是相等的，所以，一半时间等于一倍时间。
甲 A A A A A A A A乙B B B B → B B B B丙← C C C C C C C C图 1 图 2传统教科书和不少学者都把芝诺这四个关于运动的论证看作是芝诺否证运动的四个悖论。
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论内容简介:一、导言哲学有两种功效: 诊断和治疗。
主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常论文格式论文范文毕业论文一、导言哲学有两种功效: 诊断和治疗。
主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。
如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。
既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。
二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构1. 按照胡吉特理论对芝诺悖论的结构分层数量悖论。
密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。
但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。
如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。
因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。
有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。
因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。
因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。
但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。
但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。
同样的推理适用于在前面的部分。
对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。
之诺悖论
一、历史追溯芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：1、二分法。
物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。
快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。
任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。
两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。
他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。
在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。
”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。
不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。
常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。
关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。
浅析芝诺悖论
浅析芝诺悖论作者：梁舒娅来源：《卷宗》2016年第07期摘要：本文从哲学史的角度出发，力图回顾自亚里士多德开始，历代学人对于芝诺悖论的讨论，并尝试从亚里士多的逻辑学维度分析芝诺悖论，以寻求解决芝诺悖论的可能性。
关键词：芝诺悖论；亚里士多德；黑格尔；罗素；逻辑漏洞芝诺悖论之所以能为后人所知，离不开亚里士多德在《物理学》中对此悖论的记载与讨论。
居于埃利亚的芝诺为了捍卫老师巴门尼德关于“存在”不动、“存在”是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以此来表明运动和多是不可能的。
根据现有材料，对芝诺悖论最早的批评来自亚里士多德。
其一，对于二分辩，亚里士多德从无限性入手来加以反驳。
他认为，关于一个事物的无限性包含两种意义：一是无限可分，二是无限宽广。
无限可分的长度或时间并不意味着无限宽广。
有限长度无限可分，有限时间同样无限可分，因此在有限时间内是可以通过有限长度。
其二，对于追龟辩，亚里士多德认为，如果乌龟在领先的情况下没有被阿喀琉斯追上，那么这个命题是正确的；但如果让二者跑一段有限的距离，那么乌龟就会被追上。
其三，对于飞矢不动，他认为：结论的产生是由于芝诺假定了时间是由瞬间组成的这一前提，如果没有这个假定，就不会得出这样的结论。
由此并不能看出亚里士多德是如何驳倒飞矢不动的。
最后，对于运动场，亚里士多德认为错误的原因在于：芝诺认为一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体，所需时间是相等的，而这是不可能的。
亚里士多德对芝诺的批判受到了来自黑格尔的质疑。
首先，黑格尔认为芝诺并没有否定运动，而是在考察运动的真理性，亚里士多德对芝诺的理解是有误的。
他在《哲学史讲演录》中解释道：“亚里士多德引证这点说，芝诺否定了运动，……但这话不可以了解为运动完全不存在，像我们说‘有象，没有犀牛’那样。
至于说有运动，说运动的现象是存在的，芝诺完全不反对运动。
问题乃在于考察运动的真理性。
”由此可知，黑格尔试图告诫人们注意在研究芝诺悖论时，应当像芝诺当初思维运动那样去思维运动，需要从是在的运动中抽象出概念，再用概念来表达运动。
思辨哲学视角下的芝诺悖论的理论内涵
思辨哲学视角下的芝诺悖论的理论内涵
黄诗博
【期刊名称】《黑河学刊》
【年(卷),期】2017(000)003
【摘要】芝诺用辩证法的方式提出了四个悖论,用反证的方式论证时间和空间中的运动是不真实的.但他在提出悖论的过程中,错误地使用了量的概念,产生了思维与现实的矛盾,以至于并没有成功证明时空中运动的真实性.笔者从思辨哲学的视角,用质和量的概念重新对芝诺悖论进行分析,试图理清芝诺悖论的脉络,揭示芝诺悖论的理论错误,并重新对运动进行论证,指出时空中运动的矛盾之所在,完成芝诺悖论本身的理论目的.
【总页数】3页(P24-26)
【作者】黄诗博
【作者单位】黑龙江大学,黑龙江哈尔滨 150001
【正文语种】中文
【中图分类】B502.2
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芝诺悖论
芝诺悖论解答芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。
），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。
这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。
二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。
因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。
这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。
因而认为无法在有限中完成无限。
然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。
比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。
为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。
第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。
芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。
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浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
一、导言
哲学有两种功效: 诊断和治疗。
本文主要集中在对问题本身的诊断。
维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。
通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。
如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。
既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。
二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构
1. 按照胡吉特 ( Nick Huggett) 理论对芝诺悖论的结构分层
( 1) 数量悖论。
①密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。
但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。
如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。
因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。
②有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。
因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。
因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。
但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。
但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。
同样的推理适用于在前面的部分。
对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。
现在基于同样的推理，不停重复。
因为没有一个部分是最终的部分，也没有一个部分是与另一部分无关的。
因此，如果有很多事物，他们必定是既小又大; 如此之小以至于没有体量，但是如此之大以至于是无限的。
完全分割悖论:一旦一个事物被自然方法不停地分割，无论是用两分法或其他任何方法，如果这个事物确实被分了，那么最终什么都不可能留下虽然事实上可能没有一个物体能被这样分。
( 2) 运动悖论。
①二分法悖论: 你不能在有限的时间内越过无穷的点，当你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半，这样做下去就会陷入无止境。
所以在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限的时间中一个一个接触无穷个点。
②阿基里斯与龟悖论:阿基里斯永远追不上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，这时候乌龟会向前走了一段路，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又向前走了一段路。
他总是愈追愈近，但是始终追不上它。
③飞矢不动悖论: 飞着的箭是静止的，因为如果每一件东西在占据一个与它自身相等的空间时是静止的，而飞着的东西在任何一定的霎间总是占据一个与它自身相等的空间，那么它就不能动了。
④运动场悖论: 运动场上有两排物体，每排由大小相等、数目相同的物体组成，各以相同速度按相反方向通过跑道，其中一排从终点开始排到中间，另一排从中间排到起点。
他 [芝诺] 认为，这里包含了一个结论，一半时间等于一倍时间。
( 3) 其他悖论。
①空间悖论: 如果每一个存在的事物都占有一个空间，位置自身也占有一个空间，依此类推至无穷。
②谷粒悖论:芝诺论证说米粒的任何一个部分都能发出声响，因为没有什么妨碍米粒的一个部分在不论什么时间中不能像一个整体的麦蒂蒙洛 (古希腊亚
狄克地区的度量单位)下落时那样运动大气。
关于实体的问题，奥康纳( Daniel JohnOConnor) 把亚里士多德的实体分为五种:实体一具体的个体: 在一个词最真实的、基础的、并且最确定的意义上，实体是那种既不作为一个主语的谓语也不在主语中展现的东西; 例如，单独的个人或马。
实体二抽象的种属: 被称为实体的是这样的事物，他们在包括基本实体的种中; 也在包括种的属中。
实体三自存的: 实体可以自身存在; 而性质和关系只能作为实体的性质或实体之间的关系而存在。
实体四同一性的: 在保持数量上是一并且是同一个的同时，它可以拥有相反的性质。
实体五逻辑主体: 它并不是断言了主语，而是断言了一切其他事物。
当然，亚里士多德的五种实体有其内部的问题，但是实体与属性的总体思想是明显的。
接下来我们将具体讨论不同的芝诺悖论在亚里士多德的理论框架中会有怎样的实体论意义。
2. 芝诺悖论的实体论意义芝诺
通常认为解决这个悖论的路径是解决其前提任何确定的数目都是有限的。
康托尔的超限数证明了无限的数目也可以是确定的，比如一个无限可以确定比另一个无限大。
也就是从康托尔的角度看，虽然事物之间又有事物导致无限的事物，但无限的事物可以是一个确定的存在。
但是超限数所解决的只是数量问题，处理的只是几何点，而不是物理事物。
三、芝诺悖论归属问题的影响
上面我们讨论了在亚里士多德的实体与属性的理论框架下如何展现出芝诺悖论丰富的哲学内涵，但这并不是说它们只是芝诺和亚里士多德才关心的问题。
恰恰相反，本文认为，如果悖论与实体和属性的问题是哲学中的核心问题之一，那么亚里士多德之后的哲学家们一定会对这些问题做出某种程度的回应。
另外，纵使如怀特海所言，西方哲学史是在为柏拉图哲学做脚注，进而言之，是在为巴门尼德的真做脚注，那么芝诺作为巴门尼德的为数不多的得意门生，其提出的悖论问题，特别是为解决悖论首先要解决的悖论归属问题，不可能不引起历代哲学家们的回应。
四、反思与深思
本文的主要目的在于，在亚里士多德的实体与属性的框架下分析芝诺悖论所包含的丰富的哲学内容，并以此来说明这个研究思路的重要性。
但是，这并不意味着仅仅从实体与属性两个研究层面就可以彻底解决悖论问题。
恰恰相反，从上文的讨论中并没有给出任何一个具体完善的解决方案就可以看出，悖论问题有多么复杂。
例如，本文在讨论中默认使用了如下前提:①语言可以完全描述现实;②现实可以完全地映射语言; ③语言可以被完全形式化;④逻辑和数学之间可以相互描述或还原等。
否认这些前提将会给眼前的研究工作带来严重困难; 不仅如此，否认这些前提还意味着，悖论同样可能产生于现实、语言、逻辑与数学之间的相互翻译或描述过程之中。
所以，这些前提在哲学史中被无数次不经讨论地使用，这就为悖论的归属问题提出了新的源头。
另一个更深刻的问题是，在存在者的背后，是否有一个更普遍的作为共同根基的存在? 即，西方哲学的恒久话题: Being。