第2讲 相似基础讲义(2)相似解题模型

二、基本策略
简单的题目一般采取三点定型法，其次寻找中间比，复杂的题目要结合具体图形特点， 灵活采取等线段替换法、面积转换法等手段。

（1）三点定型（先转比例式，再上下看看，左右看看，有确定的2个三角形） 例 已知A B C D 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交BC 于F ，求证：D C C F A E
A D
=
（2）等线段代换
例 A B C D 中，点E 在BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，∠ECA=∠D 求证：A C B E C E A D ⋅=⋅
（3）中间比
例 △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB
的延长线于F ，求证：A B A F A C D F ⋅=⋅
（4）等积代换
例 △ABC 中，E 为AB 的中点，作B C D E ，由C 向AB 、DE 上作垂线CF 、CG 。

求证：B C C G A E C F ⋅=⋅
B
二、相似基本模型
1、A字型、X字型或者8字型
平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（证明相似的预备定理）
例
1在△ABC中，AD是角平分线，使用多种方法证明：BD AB
D
C AC
=。

（重要结论）
思考：已知在△ABC中，外角平分线AD交BC延长线于D。

求证：BD AB
D C AC
=
D
B
例2 如图，在△ABC 中， D ，E 为BC 的三等分点，F 为AC 中点，BF 分别交AD ，AE 于M ，N 两点。

求： BM ∶MN ∶NF 。

（若AF ：FC=1:2呢？）
2个相似形如果存在公共角或公共边，会出现类似：2AC AB AD =⋅的式子（含平方项），遇见这样的比例式证明，一般首先要做的就是式子变形为比例形式。

例3 如图，△ABC 中， AB=AC ， AD 是中线，P 是 AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，
延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。

求证：2BP PE PF =⋅。

例4 如图，三角形ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延
长线于F ，求证2
FD FB FC =⋅
B
B
B
1、如图，矩形ABCD 的面积是36，在AB ，AD 边上分别取点E ，F ，使得AE ＝3EB ， DF ＝2AF ，且DE 与CF 的交点为点O ，求△FOD 的面积。

2、已知：△ABC 中，F 是高线AD ，CE 的交点，图中的相似三角形有____对。

变式：如图，锐角三角形ABC 中，AD 、CE 分别是BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE
的面积分别是18和2，DE
＝B 到AC 的距离。

3、如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，BD ∥EF ，AC 的延长线交FE 于G ， 求证：EG ＝GF
变式：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB ，CD
于E ，F ，且EF ∥BC 。

AD ＝12厘米，BC ＝20厘米。

求EF 。

E
E
1、等腰直角△ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE＝CD，过C、D分别
作AE的垂线，交斜边AB于L、K。

求证：BL＝KL。

2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长
线交于点F。

求证：AC∶BC＝FA∶FD。

3、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠B的平分线交AD，AC于点E，F。

∠CAD的平分线交CD于点G
（1）求证：BE×EF＝2AE×DE。

（2）求证：EG∥AC
4、已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于
点P。

（1）设DE=m（0<m<12），试用含m的代数式表示F H
H G
的值；
（2）在（1）的条件下，当
1
2
F H
H G
时，求BP的长。

F
A
F
P
D
实战真题1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上一动点，BD=nCD ， CE ⊥AD 于F ，交AB 于E 。

（1）若n=1，则D F C F =__________，B D A F
=__________
（2）若n=2，求
B E A E
的值。

（3）当n=_____________时，B E A E
=
25
实战真题2、等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，D 为斜边BC 上的动点，若BD=n CD ，BF ⊥AD 交AD 于E 、交AC 于F 。

（1）如图1，若n =3时，则
AC
AF =
（2）如图2，若n =2时，求证：AE DE 3
2
（3）当n = 时，AE=2DE
B
B
B
3、 K 形图（三垂直）
K 形相似主要和正方形、等边三角形、等腰直角三角形结合，在平面直角坐标系中常考。

如图（1）（2）（3）：
例7 △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点，求证：M C A P N C
P B
=
例8 如图，在平面直角坐标系中，直线5y x =+交x 轴于A 、交y 轴于B ，点P （0,1），
过BP 的中点C 作OA 的平行线交AB 于D 。

（1）∠BAO 的度数是_____，BC 的长是_____，点D 的坐标是________ （2）点F 线段BC 上任意一点，DH ⊥DF 交AO 于H ，求
D F D H
的值
（3）在线段OA 、AD 、DC 上是否分别存在一点M 、N 、E ，使四边形PMNE 为正方形？若存在，求点M 、N 、E 的坐标，若不存在，请说明理由
A
模型练习
1、等腰直角三角形ABC 中，90C ∠= ，AC=BC ，D 是AB 边上一动点，且A D nD B =，E 是AC 边上的一个动点（与A 、C 不重合），D E D F ⊥，DF 与BC 边相交于点F （1）当1n =时，
D E D F
=________
（2）当2n =时，求
D E D F
（3）当AE=1
3
AC=2，12
n =
时，BF=________
2、四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3，AD=4，4tan 3
C ∠=
，90ADC DAB ∠=∠= ，
P 是腰BC 上一个动点（不含点B 、C ），作PQ AP ⊥交CD 于点Q （1）当PQ=DQ 时，求B P B C
；
（2）当23
B P B C
=
时，则CQ=_______
A
A
4、一线三等角模型
如图：在△ABC 和△CDE 中，如：B 、C 、D 共线，∠B=∠D=∠ACE=a ， 易证∠BAC=∠DCE 或∠BCA=∠DEC ，所以△ABC ～△CDE
以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
例9 如图，已知边长为3的等边△ABC
，点F 在边BC 上，CF=1，点E 是射线BA 上一动点，以线段
EF 为边向右侧作等边△EFG ，直线EG 、FG 交直线AC 于点M
、N （1）写出图中与△BEF 相似的三角形，证明其中一对三角形相似；
（2）设,
BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若1A E =，试求△GMN 的面积
例10 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P 为BC 中点，小颖拿着含30°角的三角板，使30°角的顶点落在P 点，三角板围绕点P 旋转。

（1）如图1，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时，求证：△BPE ∽△CFP ； （2）将三角板绕点P 旋转到图2的情形时，三角形的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F 。

探究：
①△BPE 与△CFP 还相似吗？
②连接EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？并证明
模型练习
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥
BC ，AB=BC=CD=6，AD=3。

点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF=∠B ，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F
，联结EF 。

（1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF ⊥CD ，求BE 的长．。