高三数学 22正、余弦定理与解斜三角形

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正余弦定理和解斜三角形专题(含答案)

正余弦定理和解斜三角形【基础梳理引导】1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bca cb 2222-+. 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +…… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 一、【题型研究】填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________2或1 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是______5548 3．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________21-4．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则++++C sin B sin A sin c b a 5．在ABC Δ中，若1222=-+C sin B sin A sin C sin B sin ，则=A ________________3π 6．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是_________()222, 7．在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________等边三角形8．在ABC Δ中，若22A cos C sinB sin =，试判断三角形的形状___________等腰三角形由22A C B cos sin sin =，得()C B A C B +-=+=cos cos sin sin 112，化简得()1=-C B cos ，ππ<-<-C B ，C B =∴，即ABC ∆是等腰三角形。

(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素题型二：判断三角形的形状题型三：解决与面积有关问题题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析：由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。

（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。

（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。

（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。

③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。

由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。

如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

ab c2R 。

（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．解析由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形

(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式：或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

正弦定理余弦定理和解斜三角形学习精解

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形学习精解》一、复习要求：1．掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。

2．用正弦、余弦定理判断三角形的形状。

二、知识点回顾（1）正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径），（∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – bc 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b=a 2+b 2 - 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)三、典型例题分析：例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求bc 的范围分析：角边比转化，可用正弦定理解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B BB B B B BC b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22<<B ∴ １<４cos 2B-1<3 故 31<<b c 练习1：在∆ABC 中，若sinA=2cosBsinC,则∆ABC 的形状是例2：在∆ABC 中，已知4sinBsinC=1, B>C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。

解：2122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 21cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴332tan =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小C A B a c b（2）若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ求证cot θ=cotA+cotB+cotC解：在∆ABC 中，APB c PB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B c ABO BAP c sin sin ＝Bc sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴CC C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ ∴C B A BA B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝)(4122b a + 求这个三角形的各内角．３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值． θ A B C P θθ。

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正、余弦定理与解斜三角形
复习要点
一、在ABC △中，a b c 、、分别表示A B C ∠∠∠、、的对边 1.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
=== 2.余弦定理：222
222
222
2
2
2
222
2222cos cos 22cos cos 22cos cos 2b c a a b c bc A
A bc c a b b a c ac B
B ac a b c c a b ab C
C ab
+-=+-=
+-=+-⇔=
+-=+-=
3.三角形面积公式：111222
a b c S ah bh ch =
== ()111
sin sin sin 222
1
2
S bc A ac B ab C
S a b c r
====++⋅
其中R 为ABC △的外接圆的半径，r 为ABC △的内切圆的半径，a b c h h h 、、分别三条边为a b c 、、上的高．二、两个定理的应用：
1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．三、解决实际问题时常用概念有：
1.方位角：指从正方向顺时针旋转到目标方向线的夹角；
2.仰角和俯角都是同一铅垂面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，
称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角． 3.北α东即北偏东α，南β西即南偏西β．四、三角形中的边角关系：
（1）,sin()sin ,sin
cos ,tan cot 2222
A B C A B C
A B C A B C π++++=+=== （2）大边对大角，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（3）sin sin A B A B <⇔<；cos cos A B A B <⇔> （4）三角形中,,A B C 成等差数列，则0
60B = 例题选讲：
例1．锐角三角形的内角,,A B C ，满足1
tan tan sin 2A B A
-
=，则（）
Ａ．sin 2cos 0A B -= Ｂ．sin 2cos 0A B += Ｃ．sin 2sin 0A B -= Ｄ．sin 2sin 0A B +=
例2．在ABC ∆中，已知tan sin 2
A B
C +=，给出以下四个论断：①tan cot 1A B ⋅=；
②0sin sin A B <+≤
22sin cos 1A B +=；④222cos cos sin A B C +=，
其中正确的是（）
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．②③
例3．已知,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量(3,1)m =-，n ＝
(cos ,sin )A A .若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B ＝
例4．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
cos sin A C +的取值范围是．
例5．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且()f x 在[3,2]--上为减函数，
则在锐角ABC ∆中，有(sin )f A (cos )f B （填＂＞，或＜＂）
例6．在ABC △中，已知内角A π
=
3
，边BC =B x =，周长为y ．则 y 的最大值是．
例7．设ABC ∆中角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，a =，tan
tan 422
A B C
++=，2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．
例8．在ABC △中，5cos 13B =-
，4cos 5
C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =△，求BC 的长．
例9．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5
a B
b A
c -=．
（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．
例10
．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，
此时两船相距
1
A
2
A
120 105。